适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题过关检测2三角函数与解三角形

这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题过关检测2三角函数与解三角形，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角θ的终边经过点P(,a),若θ=-,则a=( )
A.B.C.-D.-
2.(2023·湖南长沙一模)若,则cs 2α的值为( )
A.-B.C.-D.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=( )
A.B.C.6D.5
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)部分图象如图所示,则f=( )
A.B.C.-D.
5.已知sin+cs α,则sin(2α+)=( )
A.-B.-C.D.
6.某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=.已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为( )
A.5-5B.5
C.D.5
7.在△ABC中,“tan Atan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.函数f(x)=2sin(x+)+cs 2x的最大值为( )
A.1+B.C.2D.3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R为
10.(2023·广东深圳一模)已知函数f(x)的图象是由函数y=2sin xcs x的图象向右平移个单位长度得到的,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在区间[-]上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的图象关于点(,0)对称
11.关于f(x)=sin x·cs 2x的说法正确的为( )
A.∀x∈R,f(-x)-f(x)=0
B.∃T≠0,使得f(x+T)=f(x)
C.f(x)在定义域内有偶数个零点
D.∀x∈R,f(π-x)-f(x)=0
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若依次成等差数列,则下列结论不一定成立的是( )
A.a,b,c依次成等差数列
B.依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cs=-,则sin 2α=.
14.(2023·新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cs ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
15.在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=100 cm,EF=80 cm,FC=60 cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为 cm2.(答案如有根号可保留)
16.如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 m2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2023·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
18.(12分)(2023·广西钦州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),最小正周期为π,且其恰满足条件①②③中的两个条件:
①φ=;②图象的一个最高点为(,2);③图象与y轴的交点为(0,).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f()=,求sin(-α)-sin2(+α)的值.
19.(12分)(2023·陕西渭南二模)随着生活水平的不断提高,人们更加关注健康,重视锻炼.通过“小步道”,走出“大健康”,健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图,A-B-C-A为某区的一条健康步道,AB,AC为线段,是以BC为直径的半圆,AB=2 km,AC=4 km,∠BAC=.
(1)求的长度;
(2)为满足市民健康生活需要,提升城市品质,改善人居环境,现计划新建健康步道A-D-C(B,D在AC两侧),其中AD,CD为线段.若∠ADC=,求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少千米?
20.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,f(0)=,f=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在锐角△ABC中,若A>B,f()=,求cs,并证明sin A>.
21.(12分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老张预计这只股票未来的走势可用曲线DE描述,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定函数解析式中的常数a,b,ω,φ,并且求得ω=.
(1)请你帮老张算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F的横坐标);
(2)老张如能在今天以点D处的价格买入该股票3 000股,到见顶处点F的价格全部卖出,不计其他费用,这次操作他能赚多少元?
22.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域;
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在区间上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
专题过关检测二 三角函数与解三角形
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C 解析 由题意,角θ的终边经过点P(,a),可得|OP|=(O为坐标原点),又由θ=-,根据三角函数的定义,可得cs,且a<0,解得a=-
2.A 解析 由可得,tan(α-)=,
所以tanα=tan(+α-)==2,
所以cs2α=cs2α-sin2α==-
3.B 解析 因为sinA=6sinB,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcsC,即c2=62+12-2×6×1,解得c=
4.D 解析 由题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象知,A=2,T==3π,所以T=4π=,所以ω=
又f=2sin=2,可得+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=2sin
故f=2sin=2sin
5.D 解析 由sin+csα可得sincsα-cssinα=+csα,
csα-sinα=+csα,
sinα+csα=-,
∴sin=-,
∴sin=sin=cs=1-2sin2
6.C 解析 在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为h,则h=2+1·sin,又S△CDE=DE·h=CD·CEsin,即5DE=CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CEcs=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=CD·CE,所以DE2DE,则DE,故DE的最小值为
7.D 解析 因为tanAtanB>1,所以>1,因为00,csAcsB>0,故A,B同为锐角,
因为sinAsinB>csAcsB,
所以csAcsB-sinAsinB<0,即cs(A+B)<0,
所以1”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.
8.B 解析 因为f(x)=2sin+cs2x,
所以f(x)=2sin+sin=2sin(x+)+2sincs
令θ=x+,g(θ)=2sinθ+2sinθcsθ=2sinθ+sin2θ,
则g'(θ)=2csθ+2cs2θ=2(2cs2θ-1)+2csθ=4cs2θ+2csθ-2,
令g'(θ)=0,得csθ=-1或csθ=,当-1≤cs时,g'(θ)≤0;当csθ≤1时,g'(θ)≥0,
所以当(k∈Z)时,g(θ)单调递减;
当(k∈Z)时,g(θ)单调递增,
所以当θ=+2kπ(k∈Z)时,g(θ)取得最大值,此时sinθ=,
所以f(x)max=2+2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.ACD 解析 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中结论正确;
由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,
又csC=>0,所以C为锐角,所以B中结论错误;
由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,
又csA=,
所以cs2A=2cs2A-1=,所以cs2A=csC.
由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C,
所以2A=C,所以C中结论正确;
由正弦定理,得2R=(R为△ABC外接圆半径),
又sinC=,
所以2R=,解得R=,所以D中结论正确.
10.AD 解析 y=2sinxcsx=sin2x,将其图象向右平移个单位长度得f(x)=sin2(x-)=sin(2x-),则f(x)的最小正周期T==π,故A选项正确;令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,故B选项错误;令2x-+kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,故C选项错误;令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心为(,0),k∈Z,故D选项正确.故选AD.
11.BD 解析 对于A,当x=时,f-f=sincs-sincs=-0,故A错误.
对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cs[2(x+2π)]=sinxcs2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正确.
对于C,因为f(-x)=sin(-x)cs(-2x)=-sinxcs2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,
因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.
对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cs[2(π-x)]-sinxcs2x=sinxcs2x-sinxcs2x=0,故D正确.
12.ABD 解析 因为依次成等差数列,所以,整理得,
所以2,整理得2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.但数列a,b,c或或a3,b3,c3不一定是等差数列,除非a=b=c,但题目没有说△ABC是等边三角形.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.- 解析 由cs=-可得cs(α+)=,所以(csα-sinα)=,
即csα-sinα=,两边平方可得1-sin2α=,故sin2α=-
14.[2,3) 解析 由题意可知,要使函数f(x)=csωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=csωx(ω>0)的图象在区间[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=csωx(ω>0)的最小正周期为T,画出函数y=csωx(ω>0)的大致图象,如图.
要满足题意,需要2T≤2π<3T,即15.14 400 解析 连接AC交EF于点O(图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以△AEO与△CFO相似,所以,所以EO=50cm,FO=30cm,在△AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cs∠AEO=(100)2+(50)2-2×10050cs60°=22500,所以AO=150cm,同理CO=90cm,所以AC=240cm,从而BC==120cm,所以矩形ABCD的面积为14400cm2.
16.(10 000+25 000) 解析 在△OAB中,
∵∠AOB=θ,OB=100m,OA=200m,
∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cs∠AOB,
即AB=100,
∴S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OB·sinθ+AB2,
于是S四边形OACB=1002=1002[sin(θ-φ)+](其中tanφ=2),
所以当sin(θ-φ)=1时,S四边形OACB取最大值10000=10000+25000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10000+25000)m2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解 (1)方法一:由题意知A+B=3C,
∵A+B+C=π,∴C=,A+B=
由2sin(A-C)=sinB,得2sin(A-)=sin(-A)=sin[π-(A+)]=sin(A+),
∴2(sinAcs-csAsin)=sinAcs+csAsin
∴2(sinA-csA)=sinA+csA.
∴sinA=3csA.
由sin2A+cs2A=1,得sin2A=
∵A∈(0,π),∴sinA=
方法二:∵A+B=3C,A+B+C=π,
∴C=,B=3C-A.
∵2sin(A-C)=sinB,
∴2sinAcsC-2csAsinC=sin(-A),
∴2sinAcsC-2csAsinC=sincsA-cssinA.
代入数据,得sinA-csA=csA+sinA.
整理得sinA=csA,∴tanA=3.
∵0(2)过点C作AB的垂线,垂足为点D,则CD为AB边上的高.
由正弦定理得,故BC==3
∵sinA=,由(1)知A∈(0,),
∴csA=
∴sinB=sin(-A)=sincsA-cssinA=
∴CD=BCsinB=3=6.
综上,AB边上的高为6.
18.解 (1)因为f(x)的最小正周期为π,
所以=π(ω>0),所以ω=2.
此时f(x)=2sin(2x+φ).
若满足条件①,则φ=
若满足条件②,则f()=2,即sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-
若满足条件③,则f(0)=,即sinφ=,
又|φ|<,所以φ=
因为f(x)恰满足条件①②③中的两个条件,
所以只能满足条件①③.
此时f(x)=2sin(2x+).
(2)因为f()=,由(1)知,sin(α+)=
又sin2(α+)+cs2(α+)=1,
所以cs2(α+)=1-()2=
所以sin(-α)-sin2(+α)=sin[π-(α+)]-sin2[+(α+)]=sin(α+)-cs2(α+)
==-
19.解 (1)在△ABC中,由余弦定理,可得
BC===2,
所以的长为π×2=π,即的长度为πkm.
(2)记AD=a,CD=b,则在△ACD中,由余弦定理可得a2+b2-2abcs=16,
即a2+b2-ab=16,从而(a+b)2=16+3ab≤16+3()2,
所以(a+b)2≤16,所以a+b≤8,当且仅当a=b=4时,等号成立.所以新建健康步道A-D-C的最长路程为8km.
故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加(8-π-2)km.
20.解 (1)由f(0)=,得sinφ=,又0<φ<,所以φ=
由f=0,得sin=0,
所以ω=kπ,k∈Z,即ω=(6k-1),k∈Z.
由ω>0,结合题中函数f(x)的图象可知,所以0<ω<,
所以有0<(6k-1)<,即又k∈Z,所以k=1,从而ω=(6×1-1)=2,因此,f(x)=sin
(2)由f,得sin(A-B)=,
又由题意可知0故cs(A-B)=,于是cs,sin,
又A+B>,所以A=,
又因为函数y=sinx在区间内单调递增,A,
所以sinA>sin()=
21.解 (1)∵点C,D关于直线l对称,
∴点C坐标为(2×34-44,16),即(24,16).
把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,
得
②-①,得a=-3,
③-①,得a=-6,
∴2sin-2sinφ=sin-sinφ,
∴csφ+sinφ=csφ+sinφ,
csφ=sinφ=-1)sinφ,
∴tanφ=-0<φ<π,∴φ=,代入②,得b=19.将φ=,b=19代入①得,a=6.
于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sin[(68-x)+]+19.
设点F的坐标为(xF,yF),
则由(68-xF)+,解得xF=92.
因此可知,当x=92时,股价见顶.
(2)由(1)可知,yF=6sin[(68-92)+]+19=6sin+19=25,故这次操作老张能赚3000×(25-16)=27000(元).
22.解 (1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cs(ωx+φ)=2sin,
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω=2.
又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sin=0,
所以φ-=kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=,因此f(x)=2sin2x.
令+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,
又因为x,
故函数f(x)的单调递减区间为
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函数y=g(x)=2sin(4x-)的图象,当x时,4x-,当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-时,函数g(x)取得最大值,且最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].
(3)由方程g(x)=,即2sin,即sin(4x-)=(*)
因为x,可得4x-,设θ=4x-,其中,则方程(*)可转化为sinθ=,
结合正弦函数y=sinθ的图象,如图,可得方程sinθ=在区间上有5个解,设这5个解分别为θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,
即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,
解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,
所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=