2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题1函数的图象与性质小题考法3函数的图象及应用

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(2)(2023·惠州一模)“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A．y＝|x|eq \r(4－x2) B．y＝xeq \r(4－x2)
C．y＝eq \r(－x2＋2|x|) D．y＝eq \r(－x2＋2x)
(3)(2023·新乡三模)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x－2)＝2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)．若对任意x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤eq \f(3,8)成立，则a的取值范围是( )
A．[eq \f(7,2)，＋∞) B．[eq \f(5,2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \f(3,2)] D．(－∞，－eq \f(5,2)]
解析：(1)f(x)＝eq \f(ex（2x－1）,x－1)，定义域为{x|x≠1}，
所以f′(x)＝eq \f(ex（2x2－3x）,（x－1）2)，
令f′(x)>0⇒x∈(－∞，0)∪(eq \f(3,2)，＋∞)，
所以f(x)在(－∞，0)和(eq \f(3,2)，＋∞)上单调递增，排除A、D，
当x<0时，2x－1<0，x－1<0，
所以f(x)>0，排除B.
故选C.
(2)由图可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数y＝xeq \r(4－x2)和y＝eq \r(－x2＋2x)都不满足，故排除B、D；
而y＝|x|eq \r(4－x2)的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，
且0即函数y＝|x|eq \r(4－x2)的最大值为2，
又“心形”函数的最大值为1，故排除A；
由y＝eq \r(－x2＋2|x|)的图象过点(0，0)，(－2，0)，(2，0)，
且0即函数y＝eq \r(－x2＋2|x|)的最大值为1，满足题意，故C满足．
故选C.
(3)因为当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)；f(x－2)＝2f(x)，
所以f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)，即若f(x)在(0，2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的eq \f(1,2)；若减少2，则对应y值变为原来的2倍．
当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，
f(x)max＝f(1)＝1，
故当a<0时，对任意x∈[a，＋∞)，f(x)≤eq \f(3,8)不成立，
当x∈(2，4]时，f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)＝－eq \f(1,2)(x－3)2＋eq \f(1,2)∈[0，eq \f(1,2)]，
同理当x∈(4，6]时，f(x)＝－eq \f(1,4)(x－5)2＋eq \f(1,4)∈[0，eq \f(1,4)]，
以此类推，当x>4时，必有f(x)≤eq \f(3,8).
函数f(x)和函数y＝eq \f(3,8)的图象如图所示：
因为当x∈(2，4]时，f(x)＝－eq \f(1,2)(x－3)2＋eq \f(1,2)∈[0，eq \f(1,2)]，
令－eq \f(1,2)(x－3)2＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,8)，解得x1＝eq \f(7,2)，x2＝eq \f(5,2)(舍去)，
因为当x∈[a，＋∞)时，f(x)≤eq \f(3,8)成立，所以a≥eq \f(7,2).
故选A.
答案：(1)C (2)C (3)A
1．已知函数解析式判断函数图象的关键是根据选项中图象的异同点选择函数对应的性质进行具体分析推理，常用排除法．
2．数形结合是解决函数问题经常用到的数学方法．
1．(2023·广州一模)函数f(x)＝x－eq \f(sin x,x3)在[－π，π]上的图象大致为( )
解析：根据题意，函数f(x)＝x－eq \f(sin x,x3)＝eq \f(x4－sin x,x3)，
在[－π，π]上，f(－x)＝－eq \f(x4＋sin x,x3)
有f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，排除C、D，
f(－eq \f(π,2))＝－eq \f(π,2)－eq \f(1,（－\f(π,2)）3)<0，排除A，
故选B.
答案：B
2.(2023·广东模拟)已知函数y＝f(x)部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝x sin 2x
B．f(x)＝x sin x
C．f(x)＝2|x| sin x
D．f(x)＝2|x| sin 2x
解析：由图象知f(x)＝0，x∈[0，π]有三个零点经验证只有A、D满足，排除B、C选项，
A中函数满足f(－x)＝－xsin (－2x)＝xsin 2x＝f(x)为偶函数，
D中函数满足f(－x)＝2|－x| sin (－2x)＝－2|x| sin 2x＝－f(x)为奇函数，
而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D.
故选D.
答案：D
3．(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝x·|x－a|的图象与直线y＝－4的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是( )
A．a<－4 B．a≤－4
C．－4≤a<0 D．a>－4
解析：f(x)＝x·|x－a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x－a），x≥a，,－x（x－a），x①当a>0时，其图象如图1.
函数f(x)＝x·|x－a|的图象与直线y＝－4的公共点只有1个，不符合题意．
②当a<0时，其图象如图2：
函数f(x)＝x·|x－a|的图象与直线y＝－4的公共点不少于两个时，f(eq \f(a,2))＝－eq \f(a2,4)≤－4，
解得a≤－4；

③当a＝0时，其图象如图3，
结合图象，不符合题意．
综上所述：实数a的取值范围是a≤－4.
故选B.
答案：B