2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题2基本初等函数函数与方程小题考法2函数与方程

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A．－32 B．32 C．16 D．8
(2)(2023·汕头潮阳区三模)已知函数f(x)＝ae2x－x2有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A．[0，eq \f(1,e2)) B．(0，eq \f(1,e2))
C．[0，eq \f(4,e2)) D．(0，eq \f(4,e2))
解析：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
又函数g(x)＝xf(x)－1，
所以g(－x)＝(－x)f(－x)－1＝(－x)[－f(x)]－1＝xf(x)－1＝g(x)，
所以函数g(x)是偶函数，
所以函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的，
所以函数g(x)在[－6，6]上所有的零点的和为0，
所以函数g(x)在[－6，＋∞)上所有的零点的和，即函数g(x)在(6，＋∞)上所有的零点之和，
由0即f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x，0所以函数f(x)在(0，2]上的值域为[eq \f(1,2)，1]，
当且仅当x＝2时，f(x)＝1，
又因为当x>2时，f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)
所以函数f(x)在(2，4]上的值域为[eq \f(1,4)，eq \f(1,2)]，
函数f(x)在(4，6]上的值域为[eq \f(1,8)，eq \f(1,4)]，
函数f(x)在(6，8]上的值域为[eq \f(1,16)，eq \f(1,8)]，
当且仅当x＝8时，f(x)＝eq \f(1,8)，
函数f(x)在(8，10]上的值域为[eq \f(1,32)，eq \f(1,16)]，
当且仅当x＝10时，f(x)＝eq \f(1,16)，
故f(x)同理g(x)＝xf(x)－1在(10，12]上无零点，
依此类推，函数g(x)在(8，＋∞)无零点，
综上函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.
故选D.
(2)函数f(x)＝ae2x－x2(a∈R)有三个零点，
即为f(x)＝0有3个实根，
可得a＝eq \f(x2,e2x)有3个实根，设g(x)＝eq \f(x2,e2x)，
可得g′(x)＝eq \f(2x（1－x）,e2x)，
由00，g(x)递增；
x>1或x<0，g′(x)<0，g(x)递减，
可得x＝0处g(x)取得极小值0，x＝1处取得极大值eq \f(1,e2)，
画出y＝g(x)的图象和直线y＝a，可得：
当0故选B.
答案：(1)D (2)B
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
1．(2023·广州荔湾区校级模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,m)，0≤x<1，,\f(－x,m（x＋1）)，－1A．{－1}∪[eq \f(1,4)，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[eq \f(1,4)，＋∞)
C．{－1}∪[eq \f(1,5)，＋∞)
D．{－1}∪(eq \f(1,5)，1)
解析：令h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0≤x<1，,\f(－x,x＋1)，－1则f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,m)，0≤x<1，,\f(－x,m（x＋1）)，－1令g(x)＝f(x)－4x－1，即f(x)＝4x＋1，
故eq \f(1,m)h(x)＝4x＋1，
所以h(x)＝4mx＋m，
作出函数h(x)的图象如图所示，
函数g(x)的零点个数即为函数y＝h(x)的图象与直线y＝4mx＋m的交点个数，
直线y＝4mx＋m过定点(－eq \f(1,4)，0)，
当直线y＝4mx＋m过点(1，1)时，m＝eq \f(1,5)；
当直线y＝4mx＋m与曲线y＝eq \f(－x,x＋1)＝eq \f(1,x＋1)－1(－1设切点坐标为(x0，eq \f(1,x0＋1)－1)，由y′＝－eq \f(1,（x＋1）2)，
故切线的斜率为k＝－eq \f(1,（x0＋1）2)，
所以－eq \f(1,（x0＋1）2)＝eq \f(\f(1,x0＋1)－1－0,x0＋\f(1,4))，解得x0＝－eq \f(1,2)，
则4m＝－eq \f(1,（－\f(1,2)＋1）2)＝－4，解得m＝－1，
结合图象可知，当m≥eq \f(1,5)或m＝－1时，函数y＝h(x)的图象与直线y＝4mx＋m只有一个交点，
即函数g(x)在区间(－1，1)上有且仅有一个零点，
所以实数m的取值范围是{－1}∪[eq \f(1,5)，＋∞)．
故选C.
答案：C
2．(2023·高州一模)函数f(x)＝eq \f(－x2＋4x－4,ex)，若关于x的方程f2(x)－2nf(x)＋eq \f(4,e8)＝0有6个不同的实数解，则实数n的取值范围为________________．
解析：f(x)＝eq \f(－x2＋4x－4,ex)的定义域为R，
所以f′(x)＝eq \f(（－2x＋4）ex－（－x2＋4x－4）ex,（ex）2)＝eq \f(x2－6x＋8,ex)＝eq \f(（x－2）（x－4）,ex)，
所以当24时，f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，2)，(4，＋∞)上单调递增，在(2，4)上单调递减，其中f(2)＝0，f(4)＝－eq \f(4,e4)，
f(x)＝eq \f(－（x－2）2,ex)≤0
令f(x)＝t，要想关于x的方程f2(x)－2nf(x)＋eq \f(4,e8)＝0有6个不同的实数解，
则方程t2－2nt＋eq \f(4,e8)＝0在(－eq \f(4,e4)，0)上有两个根，
则Δ＝4n2－eq \f(16,e8)>0，解得n>eq \f(2,e4)或n<－eq \f(2,e4)，
不妨设方程的两个根为t1，t2，且t1则t1t2＝eq \f(4,e8)>0，由两根均小于0，
所以t1＋t2＝2n<0，则n<－eq \f(2,e4)，
令g(t)＝t2－2nt＋eq \f(4,e8)，则有－eq \f(4,e4)所以－eq \f(4,e4)0，解得n>－eq \f(5,2e4).
综上：实数n的取值范围为(－eq \f(5,2e4)，－eq \f(2,e4))．
答案：(－eq \f(5,2e4)，－eq \f(2,e4))