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2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题3导数的简单应用小题考法1导数的几何意义
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这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题3导数的简单应用小题考法1导数的几何意义，共2页。
A．－1 B．0 C．2 D．0或2
(2)(2023·高州一模)曲线f(x)＝(a＋2)x＋eq \f(1,x)(eq \f(1,2)A．(eq \f(1－\r(5),2)，eq \f(1＋\r(5),2)) B．(－1，2)
C．(－∞，eq \f(－\r(5)－1,2)) D．(eq \f(\r(5)－1,2)，2)
解析：(1)设直线l与曲线y＝ln (x＋a)的切点为P(x0，y0)，
由y′＝[ln (x＋a)]′＝eq \f(1,x＋a)，则eq \f(1,x0＋a)＝1，
则x0＝1－a，y0＝0，即切点为P(1－a，0)，所以直线l为y＝x－1＋a，
又直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)都相切，则有eq \f(|－1＋a|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，解得a＝2或a＝0.
故选D.
(2)由题意得，f′(x)＝a＋2－eq \f(1,x2)，
因为eq \f(1,2)设f(x)在A，B两点的切线斜率分别为k1，k2，
则a－2因为k1k2＝－1，所以a－2<0，a＋1>0，(a－2)(a＋1)<－1，
解得eq \f(1－\r(5),2)故选A.
答案：(1)D (2)A
求曲线的切线问题切点是关键，只需注意是“在”某点的问题还是“过”某点的问题即可．
1．(2023·广东模拟)曲线y＝(e2x＋ex)cs x在点(0，f(0))处的切线方程是__________．
解析：由y＝(e2x＋ex)cs x，得y′＝(2e2x＋ex)cs x－(e2x＋ex)sin x，所以y′|x＝0＝3，又x＝0时，y＝2，
所以曲线y＝(e2x＋ex)cs x在点(0，f(0))处的切线方程是y＝3x＋2.
答案：y＝3x＋2
2．(2023·深圳一模)已知函数f(x)＝2＋ln x，g(x)＝aeq \r(x)，若总存在两条不同的直线与函数y＝f(x)，y＝g(x)图象均相切，则实数a的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(1，2) D．(1，e)
解析：由f(x)＝2＋ln x，得f′(x)＝eq \f(1,x)，
设切点坐标为(t，2＋ln t)，则过切点的切线方程为y＝eq \f(1,t)(x－t)＋2＋ln t＝eq \f(1,t)x＋ln t＋1，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,t)x＋ln t＋1，,y＝a\r(x)，))得aeq \r(x)＝eq \f(1,t)x＋ln t＋1，
即x－ateq \r(x)＋tln t＋t＝0.
因为t>0，则at>0，得a>0；
由Δ＝a2t2－4tln t－4t＝0，得a2＝eq \f(4ln t＋4,t)，
令g(t)＝eq \f(4ln t＋4,t)，得g′(t)＝eq \f(4－4ln t－4,t2)＝eq \f(－4ln t,t2)，
可得当t∈(0，1)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，
当t∈(1，＋∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，
所以g(t)max＝g(1)＝4.
所以a2<4，解得－2又a>0，所以实数a的取值范围为(0，2)．
故选B.
答案：B
A．－1 B．0 C．2 D．0或2
(2)(2023·高州一模)曲线f(x)＝(a＋2)x＋eq \f(1,x)(eq \f(1,2)
C．(－∞，eq \f(－\r(5)－1,2)) D．(eq \f(\r(5)－1,2)，2)
解析：(1)设直线l与曲线y＝ln (x＋a)的切点为P(x0，y0)，
由y′＝[ln (x＋a)]′＝eq \f(1,x＋a)，则eq \f(1,x0＋a)＝1，
则x0＝1－a，y0＝0，即切点为P(1－a，0)，所以直线l为y＝x－1＋a，
又直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)都相切，则有eq \f(|－1＋a|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，解得a＝2或a＝0.
故选D.
(2)由题意得，f′(x)＝a＋2－eq \f(1,x2)，
因为eq \f(1,2)
则a－2
解得eq \f(1－\r(5),2)
答案：(1)D (2)A
求曲线的切线问题切点是关键，只需注意是“在”某点的问题还是“过”某点的问题即可．
1．(2023·广东模拟)曲线y＝(e2x＋ex)cs x在点(0，f(0))处的切线方程是__________．
解析：由y＝(e2x＋ex)cs x，得y′＝(2e2x＋ex)cs x－(e2x＋ex)sin x，所以y′|x＝0＝3，又x＝0时，y＝2，
所以曲线y＝(e2x＋ex)cs x在点(0，f(0))处的切线方程是y＝3x＋2.
答案：y＝3x＋2
2．(2023·深圳一模)已知函数f(x)＝2＋ln x，g(x)＝aeq \r(x)，若总存在两条不同的直线与函数y＝f(x)，y＝g(x)图象均相切，则实数a的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(1，2) D．(1，e)
解析：由f(x)＝2＋ln x，得f′(x)＝eq \f(1,x)，
设切点坐标为(t，2＋ln t)，则过切点的切线方程为y＝eq \f(1,t)(x－t)＋2＋ln t＝eq \f(1,t)x＋ln t＋1，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,t)x＋ln t＋1，,y＝a\r(x)，))得aeq \r(x)＝eq \f(1,t)x＋ln t＋1，
即x－ateq \r(x)＋tln t＋t＝0.
因为t>0，则at>0，得a>0；
由Δ＝a2t2－4tln t－4t＝0，得a2＝eq \f(4ln t＋4,t)，
令g(t)＝eq \f(4ln t＋4,t)，得g′(t)＝eq \f(4－4ln t－4,t2)＝eq \f(－4ln t,t2)，
可得当t∈(0，1)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，
当t∈(1，＋∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，
所以g(t)max＝g(1)＝4.
所以a2<4，解得－2
故选B.
答案：B
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