2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题4导数的综合应用大题考法1利用导数研究函数的零点

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(1)当a＝0时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝eq \f(1,2)时，证明：对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)>0；
(3)讨论函数f(x)在(0，π)上零点的个数．
(1)解：已知f(x)＝ex－axsin x－x－1，a∈R，函数定义域为R，
当a＝0时，f(x)＝ex－x－1，
可得f′(x)＝ex－1，
当x0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
(2)证明：当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝ex－eq \f(1,2)xsin x－x－1，
可得f′(x)＝ex－eq \f(1,2)(sin x＋xcs x)－1，
f″(x)＝ex－cs x＋eq \f(1,2)xsin x，
由(1)知，当a＝0时，f(x)≥f(0)＝0，
所以ex≥x＋1，
则f″(x)＝ex－cs x＋eq \f(1,2)xsin x≥x＋1－cs x＋eq \f(1,2)xsin x
＝(1－cs x)＋eq \f(1,2)x(2＋sin x)>0，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f′(x)>f′(0)＝0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f(x)>f(0)＝0，
故对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)>0.
(3)解：当a≤eq \f(1,2)时，x∈(0，π)，axsin x≤eq \f(1,2)xsin x，
而f(x)＝ex－axsin x－x－1≥ex－eq \f(1,2)xsin x－x－1，
由(2)知，f(x)>0，所以f(x)没有零点；
若a>eq \f(1,2)，此时f′(x)＝ex－a(sin x＋xcs x)－1，
①当0