2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题3随机变量及其概率分布列大题考法3概率统计与函数的交汇性问题

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题3随机变量及其概率分布列大题考法3概率统计与函数的交汇性问题，共4页。试卷主要包含了406 5等内容，欢迎下载使用。

(1)若P(X＝5)＝P(X＝95)，求数学期望E(X)；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数θ(0<θ<1)的取值有关．团队A提出函数模型为p＝ln (1＋θ)－eq \f(2,3)θ2.团队B提出函数模型为p＝eq \f(1,2)(1－e－θ)．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量Xi(i＝1，2，…，10)表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量Xi(i＝1，2，…，10)的实验结果xi(i＝1，2，…，10)绘制成频数分布图，如图所示．
①试写出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”发生的概率表达式(用p表示，组合数不必计算)；
②在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率P(X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10)最大，称θ0是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出最大似然估计．参考数据：ln eq \f(3,2)≈0.406 5.
解：(1)由题知，随机变量X服从二项分布，X～B(n，eq \f(1,2))，由P(X＝5)＝P(X＝95)，即Ceq \\al(5,n)(eq \f(1,2))5(1－eq \f(1,2))n－5＝Ceq \\al(n－5,n)·(eq \f(1,2))n－5(1－eq \f(1,2))5，得n＝100，所以E(X)＝np＝50.
(2)①A＝“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，
P(A)＝[Ceq \\al(1,10)p(1－p)9]3[Ceq \\al(2,10)p2(1－p)8]3[Ceq \\al(3,10)p3(1－p)7]2·[Ceq \\al(4,10)p4(1－p)6][Ceq \\al(6,10)p6(1－p)4]
P(A)＝(Ceq \\al(1,10))3(Ceq \\al(2,10))3(Ceq \\al(3,10))2(Ceq \\al(4,10))2p25(1－p)75.
②记g(p)＝ln(Ceq \\al(1,10))3(Ceq \\al(2,10))3(Ceq \\al(3,10))2(Ceq \\al(4,10))2＋25ln p＋75ln(1－p)，则g′(p)＝eq \f(25,p)－eq \f(75,1－p)＝eq \f(25－100p,p（1－p）)，
当00，g(p)单增，
当eq \f(1,4)当p＝eq \f(1,4)时，g(p)取得最大值，即P取得最大值，
在团体A提出的函数模型p＝ln (1＋θ)－eq \f(2,3)θ2，(0<θ<1)中，
记函数f1(x)＝ln (1＋x)－eq \f(2,3)x2，(0当00，f1(x)单增，
当eq \f(1,2)当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取得最大值ln eq \f(3,2)－eq \f(1,6)在团体B提出的函数模型p＝eq \f(1,2)(1－e－θ)中，
记函数f2(x)＝eq \f(1,2)(1－e－x)，f2(x)单调递增，
令f2(x)＝eq \f(1,4)，解得x＝ln 2，则θ＝ln 2是θ的最大似然估计．
概率统计与函数的交汇主要是最值问题，解决问题的关键在于通过概率知识构建函数模型．
(2023·高州二模)春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多．某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 eq \f(2,9)，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为p，在社交媒体平台复购的概率为 eq \f(17,27).
(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为X，若D(X)＝eq \f(3,4)，试求X的分布列和期望；
(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为P，当P取得最大值时，q为何值？
(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整．已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第(2)问所得q值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额．
解：(1)由题意得，在短视频平台购票的人中，复购概率为p，复购的人数X满足二项分布，即X～B(4，p)，
故D(X)＝4p(1－p)＝eq \f(3,4)，故p＝eq \f(1,4)或eq \f(3,4).
又知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
①当p＝eq \f(1,4)时，P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)(eq \f(1,4))0(eq \f(3,4))4＝eq \f(81,256)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)(eq \f(1,4))1(eq \f(3,4))3＝eq \f(108,256)＝eq \f(27,64)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)(eq \f(1,4))2(eq \f(3,4))2＝eq \f(54,256)＝eq \f(27,128)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)(eq \f(1,4))3(eq \f(3,4))1＝eq \f(12,256)＝eq \f(3,64)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)(eq \f(1,4))4(eq \f(3,4))0＝eq \f(1,256)，
所以X得分布列为：
此时数学期望E(X)＝4×eq \f(1,4)＝1.
②p＝eq \f(3,4)时，P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)(eq \f(3,4))0(eq \f(1,4))4＝eq \f(1,256)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)(eq \f(3,4))1(eq \f(1,4))3＝eq \f(12,256)＝eq \f(3,64)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)(eq \f(3,4))2(eq \f(1,4))2＝eq \f(54,256)＝eq \f(27,128)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)(eq \f(3,4))3(eq \f(1,4))1＝eq \f(108,256)＝eq \f(27,64)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)(eq \f(3,4))4(eq \f(1,4))0＝eq \f(81,256)，
所以X得分布列为：
此时数学期望E(X)＝4×eq \f(3,4)＝3.
(2)设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为q1，由题得，q1＝eq \f(17,27)q.P＝Ceq \\al(1,3)(q1)1(1－q1)2＝3q1(qeq \\al(2,1)－2q1＋1)＝3(qeq \\al(3,1)－2qeq \\al(2,1)＋q1)，P′＝3(3qeq \\al(2,1)－4q1＋1)＝3(3q1－1)(q1－1)，令P′＝0，得q1＝eq \f(1,3)或1，所以q1∈(0，eq \f(1,3))时，P′>0，函数P单调递增，当q1∈(eq \f(1,3)，1)时，P′<0，函数P单调递减．故当q1＝eq \f(1,3)，P取得最大值．由eq \f(17,27)q＝q1可得，q＝eq \f(9,17).
(3)短视频平台：(100×2%)×(900 000×eq \f(2,9))－eq \f(900 000,100)×4＝364 000(元)，
社交媒体平台：(100×5%)×(170 000×eq \f(9,17))－eq \f(170 000,100)×5＝441 500(元)，
净利润总额：364 000＋441 500＝805 500(元)．
故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805 500元．X
0
1
2
3
4
P
eq \f(81,256)
eq \f(27,64)
eq \f(27,128)
eq \f(3,64)
eq \f(1,256)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,256)
eq \f(3,64)
eq \f(27,128)
eq \f(27,64)
eq \f(81,256)