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    2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型二圆锥曲线的方程与几何性质

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    这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型二圆锥曲线的方程与几何性质,共4页。试卷主要包含了设椭圆C1,已知双曲线C,已知椭圆C等内容,欢迎下载使用。

    A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(6)
    解析:由椭圆C2:eq \f(x2,4)+y2=1可得a2=2,b2=1,所以c2=eq \r(4-1)=eq \r(3),
    所以椭圆C2的离心率为e2=eq \f(\r(3),2),
    因为e2=eq \r(3)e1,所以e1=eq \f(1,2),所以eq \f(c1,a1)=eq \f(1,2),
    所以aeq \\al(2,1)=4ceq \\al(2,1)=4(aeq \\al(2,1)-beq \\al(2,1))=4(aeq \\al(2,1)-1),
    所以a=eq \f(2\r(3),3)或a=-eq \f(2\r(3),3)(舍去).
    故选A.
    答案:A
    2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→)),eq \(F2A,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→)),则C的离心率为________.
    解析:法一 如图,设F1(-c,0),F2(c,0),B(0,n),
    设A(x,y),则eq \(F2A,\s\up6(→))=(x-c,y),eq \(F2B,\s\up6(→))=(-c,n),
    又eq \(F2A,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→)),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-c=\f(2,3)c,,y=-\f(2,3)n,))可得A(eq \f(5,3)c,
    -eq \f(2,3)n),
    又eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→)),且eq \(F1A,\s\up6(→))=(eq \f(8,3)c,-eq \f(2,3)n),eq \(F1B,\s\up6(→))=(c,n),
    则eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F1B,\s\up6(→))=eq \f(8,3)c2-eq \f(2,3)n2=0,化简得n2=4c2.
    又点A在C上,
    则eq \f(\f(25,9)c2,a2)-eq \f(\f(4,9)n2,b2)=1,整理可得eq \f(25c2,9a2)-eq \f(4n2,9b2)=1,
    代n2=4c2,可得eq \f(25c2,a2)-eq \f(16c2,b2)=9,即25e2-eq \f(16e2,e2-1)=9,
    解得e2=eq \f(9,5)或eq \f(1,5)(舍去),
    故e=eq \f(3\r(5),5).
    法二 由eq \(FA,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)eq \(FB,\s\up6(→)),得eq \f(|\(F2A,\s\up6(→))|,|\(F2B,\s\up6(→))|)=eq \f(2,3),
    设|eq \(F2A,\s\up6(→))|=2t,|eq \(F2B,\s\up6(→))|=3t,由对称性可得|eq \(F1B,\s\up6(→))|=3t,
    则|eq \(AF1,\s\up6(→))|=2t+2a,|eq \(AB,\s\up6(→))|=5t,
    设∠F1AF2=θ,则sin θ=eq \f(3t,5t)=eq \f(3,5),
    所以cs θ=eq \f(4,5)=eq \f(2t+2a,5t),解得t=a,
    所以|eq \(AF1,\s\up6(→))|=2t+2a=4a,|eq \(AF2,\s\up6(→))|=2a,
    在△AF1F2中,
    由余弦定理可得cs θ=eq \f(16a2+4a2-4c2,16a2)=eq \f(4,5),
    即5c2=9a2,即e=eq \f(3\r(5),5).
    答案:eq \f(3\r(5),5)
    3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:eq \f(x2,3)+y2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2,直线y=x+m与C交于点A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍,则m=( )
    A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(2),3) C.-eq \f(\r(2),3) D.-eq \f(2,3)
    解析:记直线y=x+m与x轴交于M(-m,0),
    椭圆C:eq \f(x2,3)+y2=1的左,右焦点分别为F1(-eq \r(2),0),
    F2(eq \r(2),0),
    由△F1AB面积是△F2AB的2倍,可得|F1M|=2|F2M|,
    所以|-eq \r(2)-xM|=2|eq \r(2)-xM|,解得xM=eq \f(\r(2),3)或xM=3eq \r(2),
    所以-m=eq \f(\r(2),3)或-m=3eq \r(2),所以m=-eq \f(\r(2),3)或m=-3eq \r(2),
    联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)+y2=1,,y=x+m,))可得,4x2+6mx+3m2-3=0,
    因为直线y=x+m与C相交,所以Δ>0,解得m2<4,
    所以m=-3eq \r(2)不符合题意,
    故m=-eq \f(\r(2),3).
    故选C.
    答案:C
    4.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-eq \r(3)(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
    A.p=2
    B.|MN|=eq \f(8,3)
    C.以MN为直径的圆与l相切
    D.△OMN为等腰三角形
    解析:直线y=-eq \r(3)(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,可得eq \f(p,2)=1,所以p=2,
    所以A正确;
    抛物线方程为y2=4x,与C交于M,N两点,
    直线方程代入抛物线方程可得:3x2-10x+3=0,
    xM+xN=eq \f(10,3),
    所以|MN|=xM+xN+p=eq \f(16,3),所以B不正确;
    M,N的中点的横坐标:eq \f(5,3),中点到抛物线的准线的距离为:1+eq \f(5,3)=eq \f(8,3),
    所以以MN为直径的圆与l相切,所以C正确;
    3x2-10x+3=0,
    不妨可得xM=3,xN=eq \f(1,3),yM=-2eq \r(3),xN=eq \f(2\r(3),3),
    |OM|=eq \r(9+12)=eq \r(21),|ON|=eq \r(\f(1,9)+\f(12,9))=eq \f(\r(13),3),
    |MN|=eq \f(16,3),所以△OMN不是等腰三角形,所以D不正确.
    故选AC.
    答案:AC
    5.(2023·全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:eq \f(x2,9)+eq \f(y2,6)=1的两个焦点,点P在C上,cs ∠F1PF2=eq \f(3,5),则|PO|=( )
    A.eq \f(13,5) B.eq \f(\r(30),2) C.eq \f(19,5) D.eq \f(\r(35),2)
    解析:椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,6)=1,F1,F2为两个焦点,c=eq \r(3),
    O为原点,P为椭圆上一点,cs ∠F1PF2=eq \f(3,5),
    设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨m>n,
    可得m+n=6,4c2=m2+n2-2mncs ∠F1PF2,
    即12=m2+n2-eq \f(6,5)mn,可得mn=eq \f(15,2),m2+n2=21,
    eq \(PO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(PF1,\s\up6(→))+eq \(PF2,\s\up6(→))),
    可得|PO|2=eq \f(1,4)(eq \(PF1,\s\up6(→))2+eq \(PF2,\s\up6(→))2+2eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→)))
    =eq \f(1,4)(m2+n2+2mncs ∠F1PF2)
    =eq \f(1,4)(m2+n2+eq \f(6,5)mn)
    =eq \f(1,4)(21+eq \f(6,5)×eq \f(15,2))=eq \f(15,2).
    可得|PO|=eq \f(\r(30),2).
    故选B.
    答案:B
    6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq \r(5),C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
    A.eq \f(1,5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
    解析:双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq \r(5),
    可得c=eq \r(5)a,所以b=2a,
    所以双曲线的渐近线方程为:y=±2x,
    一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,圆的圆心(2,3),半径为1,
    圆的圆心到直线y=2x的距离为:eq \f(|4-3|,\r(1+4))=eq \f(1,\r(5)),
    所以|AB|=2 eq \r(1-\f(1,5))=eq \f(4\r(5),5).
    故选D.
    答案:D
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