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    2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型一直线与圆01
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    2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型一直线与圆

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    这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型一直线与圆,共3页。试卷主要包含了已知直线x-my+1=0与⊙C等内容,欢迎下载使用。

    A.1 B.eq \f(\r(15),4) C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(6),4)
    解析:圆x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心C(2,0),半径为r=eq \r(5);
    设P(0,-2),切线为PA、PB,则PC=eq \r(22+22)=2eq \r(2),
    △PAC中,sin eq \f(α,2)=eq \f(\r(5),2\r(2)),所以cs eq \f(α,2)=eq \r(1-\f(5,8))=eq \f(\r(3),2\r(2)),
    所以sin α=2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)=2×eq \f(\r(5),2\r(2))×eq \f(\r(3),2\r(2))=eq \f(\r(15),4).
    故选B.
    答案:B
    2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与⊙C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值________.
    解析:由圆C:(x-1)2+y2=4,可得圆心坐标为C(1,0),半径为r=2,
    因为△ABC的面积为eq \f(8,5),可得S△ABC=eq \f(1,2)×2×2×sin ∠ACB=eq \f(8,5),
    解得sin ∠ACB=eq \f(4,5),设eq \f(1,2)∠ACB=θ,所以2sin θcs θ=eq \f(4,5),
    可得eq \f(2sin θcs θ,sin2θ+cs2θ)=eq \f(4,5),所以eq \f(2tan θ,tan2θ+1)=eq \f(4,5),所以tan θ=eq \f(1,2)或tan θ=2,
    所以cs θ=eq \f(2,\r(5))或cs θ=eq \f(1,\r(5)),
    所以圆心到直线x-my+1=0的距离d=eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(5)),
    所以eq \f(2,\r(1+m2))=eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(1+m2))=eq \f(2,\r(5)),
    解得m=±eq \f(1,2)或m=±2.
    答案:2(或-2或eq \f(1,2)或-eq \f(1,2))
    3.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1,直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=eq \r(2),则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
    A.eq \f(1+\r(2),2) B.eq \f(1+2\r(2),2)
    C.1+eq \r(2) D.2+eq \r(2)
    解析:如图,设∠OPC=α,
    则-eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,4),
    根据题意可得:∠APO=45°,
    因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))=|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(PD,\s\up6(→))|·cs (α+eq \f(π,4))
    =1×eq \r(2)cs αcs(α+eq \f(π,4))
    =cs2α-sin αcs α
    =eq \f(1+cs 2α-sin 2α,2)
    =eq \f(1,2)+eq \f(\r(2),2)cs (2α+eq \f(π,4)),又-eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,4),
    所以当2α+eq \f(π,4)=0,α=-eq \f(π,8),cs (2α+eq \f(π,4))=1时,
    eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取得最大值eq \f(1+\r(2),2).
    故选A.
    答案:A
    4.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程______________.
    解析:圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),半径r1=1,
    圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心坐标为C(3,4),半径r2=4,
    如图,
    因为|OC|=r1+r2,所以两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条.
    因为kOC=eq \f(4,3),所以l1的斜率为-eq \f(3,4),设直线l1:y=-eq \f(3,4)x+b,即3x+4y-4b=0,
    由eq \f(|-4b|,5)=1,解得b=eq \f(5,4)(负值舍去),
    则l1:3x+4y-5=0;
    由图可知,l2:x=-1;l2与l3关于直线y=eq \f(4,3)x对称,
    联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=\f(4,3)x,))解得l2与l3的一个交点为(-1,-eq \f(4,3)),在l2上取一点(-1,0),
    该点关于y=eq \f(4,3)x的对称点为(x0,y0),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0,2)=\f(4,3)·\f(x0-1,2),,\f(y0,x0+1)=-\f(3,4))),解得对称点为(eq \f(7,25),-eq \f(24,25)).
    所以kl3=eq \f(-\f(24,25)+\f(4,3),\f(7,25)+1)=eq \f(7,24),则l3:y=eq \f(7,24)(x+1)-eq \f(4,3),
    即7x-24y-25=0.
    所以与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程为x=-1(填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正确).
    答案:x=-1(填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正确).
    5.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是________.
    解析:点A(-2,3),B(0,a),kAB=eq \f(a-3,2),所以直线AB关于y=a对称的直线的斜率为:eq \f(3-a,2),所以对称直线方程为y-a=eq \f(3-a,2)·x,即:(3-a)x-2y+2a=0,
    (x+3)2+(y+2)2=1的圆心(-3,-2),半径为1,
    所以eq \f(|3(a-3)+4+2a|,\r(4+(3-a)2))≤1,得12a2-22a+6≤0,
    解得a∈[eq \f(1,3),eq \f(3,2)].
    答案:[eq \f(1,3),eq \f(3,2)]
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