2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题1直线与圆小题考法1直线的方程及其应用

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A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
(2)(2023·青岛三模)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3
解析：(1)因为直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行，所以a≠0且eq \f(a,1)＝eq \f(1,a)≠eq \f(1,－1)，求得a＝1.
故选A.
(2)由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，
△ABC重心为(eq \f(－3＋3＋3,3)，eq \f(0＋0＋3,3))，即(1，1)，
又三角形为直角三角形，
所以外心为斜边中点(eq \f(－3＋3,2)，eq \f(0＋3,2))，即(0，eq \f(3,2))，
所以可得△ABC的欧拉线方程eq \f(y－1,x－1)＝eq \f(1－\f(3,2),1－0)，
即x＋2y－3＝0，
因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，
所以eq \f(a,1)＝eq \f(a2－3,2)≠eq \f(－9,－3)，解得a＝－1.
故选B.
答案：(1)A (2)B
1．解决两直线平行问题时，利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数后，要注意代入检验，排除两直线重合的可能性．
2．求解直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑每种方程形式需要满足的前提条件，例如点斜式和斜截式需要考虑斜率是否存在等．
1．(2023·广东一模)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2eq \r(3)，则边AC所在直线斜率的一个可能值为____________．
解析：设直线AB的倾斜角为α，由已知得kAB＝tan α＝2eq \r(3)，
设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tan θ，
因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，
当θ＝α＋60°，tan θ＝tan (α＋60°)＝eq \f(tan α＋tan 60°,1－tan αtan 60°)＝eq \f(2\r(3)＋\r(3),1－2\r(3)×\r(3))＝－eq \f(3\r(3),5)，所以kAC＝tan θ＝－eq \f(3\r(3),5)，
当θ＝α－60°，tan θ＝tan (α－60°)＝eq \f(tan α－tan 60°,1＋tan αtan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7)，所以kAC＝tan θ＝eq \f(\r(3),7)，
综上，kAC＝－eq \f(3\r(3),5)或kAC＝eq \f(\r(3),7).
答案：－eq \f(3\r(3),5)(或eq \f(\r(3),7))
2．(2023·深圳福田区校级模拟)点(0，1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为________．
解析：直线y＝k(x＋1)恒过点(－1，0)，
则点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离的最大值为点(－1，0)到(0，－1)的距离，
所以点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为
d＝eq \r(（0＋1）2＋（－1－0）2)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)