2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题1直线与圆小题考法2圆的方程

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(2)(多选题)(2023·广州二模)已知圆M：x2＋y2＋6x＋8y＝0，则( )
A．圆M关于直线x－y＋1＝0对称
B．圆M被直线x－y＋3＝0截得的弦长为2eq \r(17)
C．圆M关于直线x－y＋1＝0对称的圆为x2＋y2＋10x＋4y＋4＝0
D．若点P(a，b)在圆M上，则 eq \r(（a－3）2＋（b－4）2)的最小值为5
解析：(1)圆C：x2＋y2－x＋2y＝0的圆心C(eq \f(1,2)，－1)，半径eq \f(\r(5),2)，点C(eq \f(1,2)，－1)关于直线l：x＋y＝0对称的点坐标为C′(1，－eq \f(1,2))，
则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋eq \f(1,2))2＝eq \f(5,4).
(2)因为圆M的一般方程为x2＋y2＋6x＋8y＝0，
所以(x＋3)2＋(y＋4)2＝52，
故圆心M(－3，－4)，半径为r＝5，
故－3－(－4)＋1≠0，则直线x－y＋1＝0不过圆心M，故A错误；
点M到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|－3－（－4）＋3|,\r(12＋（－1）2))＝2eq \r(2)，
则圆M被直线x－y＋3＝0截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(25－8)＝2eq \r(17)，故B正确；
设圆M关于直线x－y＋1＝0对称的圆的圆心为N(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y＋4,x＋3)＝－1，,\f(x－3,2)－\f(y－4,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－2，))即N(－5，－2)，
故圆M关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝25，
即x2＋y2＋10x＋4y＋4＝0，故C正确；
eq \r(（a－3）2＋（b－4）2)表示P(a，b)与点A(3，4)的距离，
又因为|MA|＝eq \r(（－3－3）2＋（－4－4）2)＝10，
所以eq \r(（a－3）2＋（b－4）2)的最小值是10－r＝5，故D正确．
故选BCD.
答案：(1)(x－1)2＋(y＋eq \f(1,2))2＝eq \f(5,4) (2)BCD
求圆的方程的两种方法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
1．(2023·广东一模)已知动圆N经过点A(－6，0)及原点O，点P是圆N与圆M：x2＋(y－4)2＝4的一个公共点，则当∠OPA最小时，圆N的半径为________．
解析：如图，
记圆N半径为R，∠OPA＝θ，则∠ANO＝2θ，∠BNO＝θ，
所以sin ∠OPA＝sin ∠BNO＝eq \f(|BO|,|ON|)＝eq \f(3,R)，
当∠OPA最小时，R最大，此时两圆内切．
由已知设动圆N的圆心为N(－3，t)，
又圆心M(0，4)可得R－2＝|MN|，
即eq \r(（－3－0）2＋（t－0）2)－2＝eq \r(（－3－0）2＋（t－4）2)，
解得t＝4，所以R＝5，即圆N的半径为5.
答案：5
2．(2023·日照二模)古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯(Pappus，公元3世纪末)在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线，今有平面内三条给定的直线l1，l2，l3，且l2，l3均与l1垂直．若动点M到l2，l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等，则动点M在直线l2，l3之间的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：因为l2，l3均与l1垂直，所以l2∥l3，
又动点M到l2，l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等，
记直线l1为y＝0，l2为x＝0，l3为x＝a，M(x，y)，
则M到直线l1，l2，l3的距离分别为|y|，|x|，|a－x|，
由已知可得：y2＝|x|·|a－x|，
又动点M在直线l2，l3之间，所以x与a－x同号，
则y2＝x(a－x)，即x2＋y2－ax＝0，
也就是(x－eq \f(a,2))2＋y2＝eq \f(a2,4).
所以动点M在直线l2，l3之间的轨迹是圆．
故选A.
答案：A