2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题3圆锥曲线中的最值范围证明问题大题考法2范围问题

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题3圆锥曲线中的最值范围证明问题大题考法2范围问题，共3页。
(1)求双曲线C的方程；
(2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．
解：(1)根据题意可得∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由AF＝BF，可得a＋c＝eq \f(b2,a)，
所以a2＋2a＝22－a2，解得a＝1，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)显然直线MN不可能与坐标轴平行，
所以设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,3x2－y2＝3，))可得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则根据题意可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m2－1≠0，,Δ>0，))且y1＋y2＝－eq \f(6mn,3m2－1)，y1y2＝eq \f(3（n2－1）,3m2－1)，①
由k1k2＝－2，可得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，②
将①代入②中可得3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化简可消去所得的含m的项，
从而解得n＝5或n＝－1(舍去)，所以直线MN的方程为x－my－5＝0，所以d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，
又MN都在双曲线的右支上，
所以3m2－10，y2