2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题4圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题考法2定值问题

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(1)求双曲线C的标准方程及渐近线方程；
(2)若点P为双曲线C右支上一点，射线PF1，PF2分别交双曲线C于点A，B，试探究eq \f(|PF1|,|AF1|)－eq \f(|PF2|,|BF2|)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：(1)因为△OMN为正三角形，
由对称性知∠MOF1＝30°，
又因为|OM|＝c＝eq \r(a2＋b2)，
所以|MF1|＝eq \f(1,2)|MO|＝eq \f(1,2)c，|OF1|＝eq \f(\r(3),2)|OM|＝eq \f(\r(3)c,2)，
不设M(－eq \f(\r(3)c,2)，eq \f(c,2))，因为M∈C，所以得：eq \f(3c2,2)－eq \f(c2,b2)＝4，
即(3b2－2)c2＝8b2，则(3b2－2)(2＋b2)＝8b2，
3b4－4b2－4＝0，即(3b2＋2)(b2－2)＝0，
所以b2＝2，所以双曲线C的标准方程为：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，
渐近线方程为y＝±x.
(2)证明：由(1)可得F1(－2，0)，F2(2，0)，
①当PF2⊥x轴时，由对称性不妨设点P(2，eq \r(2))，B(2，－eq \r(2))，
PF1：y＝eq \f(\r(2),2＋2)(x＋2)＝eq \f(\r(2),4)(x＋2)，代入eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，
消去x得7y2－8eq \r(2)y＋2＝0，得yA＝eq \f(\r(2),7)，所以xA＝－eq \f(10,7)，
所以eq \f(|PF1|,|AF1|)＝eq \f(yP,yA)＝7，eq \f(|PF2|,|BF2|)＝－eq \f(yP,yB)＝1，
则eq \f(|PF1|,|AF1|)－eq \f(|PF2|,|BF2|)＝7－1＝6，
②当PE2不垂直x轴时，由对称性不妨设P(x0，y0)(y2>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线PA：y＝eq \f(y0,x0＋2)(x＋2)，代入eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，消去x得(eq \f(x0＋2,y0)y－2)2－y2＝2，
因为xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝2，所以eq \f(4x0＋6,yeq \\al(2,0))y2－eq \f(4（x0＋2）,y0)y＋2＝0，
由韦达定理：y1y0＝eq \f(yeq \\al(2,0),2x0＋3)，所以y1＝eq \f(y0,2x0＋3)>0，
同理，y2＝－eq \f(y0,2x0－3)