2022~2023学年江苏省苏州市太仓市四校联考八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市太仓市四校联考八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是
( )
A. SASB. SSSC. ASAD. AAS
3.如图，在正方形网格内(每个小正方形的边长为1)，有一格点三角形ABC(三个顶点分别在正方形的格点上)，现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，这样的三角形可以构造出
( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
4.如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若▵BPC的面积为6cm2，则▵ABC的面积
( )
A. 8cm2B. 10cm2C. 12cm2D. 14cm2
5.如图，AD是▵ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，▵ADG和▵AED的面积分别为29和16，则▵EDF的面积为
( )
A. 13B. 6.5C. 11D. 5.5
6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是( )
A. S1=2B. S2=3C. S3=6D. S1+S3=8
7.如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10，点E为射线DC上的一个动点，▵ADE与▵AD′E关于直线AE对称，当▵AD′B为直角三角形时，DE的长为( )
A. 2或8B. 83或18C. 83或2D. 2或18
8.如图，在▵ABC中，以AB,AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，连接EF,AD为BC边上的高线，延长DA交EF于点N，下列结论①∠EAN=∠ABC；②▵EAN≌▵BAD；③S▵AEF=S▵ABC；④EN=FN，其中正确的有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.黑板上写着18502，在正对着黑板的镜子里看到的数字是 ．
10.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1−∠2+∠3= ．
11.已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8.则边BC的长为 ．
12.在RtΔABC中，三边长分别用a、b、c表示，已知a=3、b=5，则c2= ．
13.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC的度数为 ．
14.如图，其中的△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，BE与CD相交于点I，若∠BAC=140°，则∠EIC= °.
15.如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交AC于F，AC=8，BC=12，则BF的 长为 ．
16.如图，Rt▵ABC纸片的直角边AC落在直线l上，∠ACB=90∘，AC=5，BC=6，平面内一点O到直线l的距离为9，Rt▵ABC纸片沿直线l左右移动，则OA+OB的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
如图，△ABC中，∠A=60°．
(1)试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到AB、BC两边的距离也相等(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，若∠ACP=15°，求∠BPC的度数．
18.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)试说明AD垂直平分EF；
(2)若AB=6，AC=4，S△ABC=15，求DE的长．
19.(本小题8分)
有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千踏板离地的 垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 m．
20.(本小题8分)
如图，▵ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
(1)求证：DC=BE；
(2)请探究∠AEC与∠BCE的关系．
21.(本小题8分)
如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
22.(本小题8分)
勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的 发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．
求证：AB2=BE2+AE2．
23.(本小题8分)
我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36∘的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．
小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．
定义：如果我们把n条线段将一个三角形分成n+1个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的n+1等分线图．
显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．
(1)如图2，▵ABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个▵ABC的4等分线的示意图．
(2)请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图(若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．)
24.(本小题8分)
已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD=DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F.使得BF//AC.连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
(1)求证：BF=CD+DE；
(2)若∠C=45°.求证：BD=BG．
25.(本小题8分)
如图，∠MON=90°，A是射线OM上一点且OA=8cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ.设P、Q两点运动时间为ts，其中0(1)OP+OQ=___ __cm；
(2)连接AC，判断▵OAC的形状，并说明理由；
(3)是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．
26.(本小题8分)
阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB>AC(如图)，怎样证明∠C>∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以点C落在AB上的点Cˈ处，即AC=ACˈ，据以上操作，易证明△ACD≌△ACˈD，所以∠ACˈD=∠C，又因为∠ACˈD>∠B，所以∠C>∠B．
感悟与应用：
(1)如图(a)，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图
，在 四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，( )
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握基本概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用 SSS ，答案可得．
【详解】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点D、C；
②任意作一点 O′ ，作射线 O′B′ ，以 O′ 为圆心， OC 长为半径画弧，交 O′B′ 于点 C′ ；
③以 C′ 为圆心， CD 长为半径画弧，交前弧于点 D′ ；
④过点 D′ 作射线 O′A′ ．
所以 ∠A′O′B′ 就是与 ∠AOB 相等的角；
作图完毕．
在 ▵OCD 与 ▵O′C′D′ ，
OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′ ，
∴ ▵OCD≌▵O′C′D′(SSS) ，
∴ ∠AOB=∠A′O′B′ ，
显然运用的判定方法是 SSS ．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于 2 2 ，又一角等于45°.据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
【详解】分三种情况找点，

①公共边是AC，符合条件的是△ACD；
②公共边是BC，符合条件的是△BCE；
③公共边是AB，符合条件的三角形有ABF、△ABG、△ABH
共有5个格点三角形与原三角形全等．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】延长AP交BC于点C，根据题意，通过ASA判定 ▵ABP≌▵DBP ，因为 ▵APC 和 ▵DPC 同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出 S▵ABC=2S▵BPC=12 ．
【详解】解：延长AP交BC于点C，如图所示，
，
∵ AP⊥BP ，
∴ ∠APB=∠DPB=90∘ ，
∵BP是 ∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABP=∠DBP ，
在 ▵ABP 和 ▵DBP 中，
∠ABP=∠DBPBP=BP∠APB=∠DPB ，
∴ ▵ABP≌▵DBP(ASA) ，
∴ AP=DP ，
∴ S▵ABP=S▵DBP ，
∵ ▵APC 和 ▵DPC 同底等高，
∴ S▵APC=SDPC ，
∴ S▵PBC=SDPB+S▵DPC=S▵ABP+S▵APC ，
∴ S▵ABC=2S▵BPC=12 ，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
5.【答案】B
【解析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△DEF=S△DGH，然后列式求解即可．
【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中， DE=DGDF=DH,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴ S▵DEF=S▵DGH,
∵△ADG和△AED的面积分别为为29和16，
∴△EDF的面积 =12×29−16=6.5
故选：B．
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出 CG=NG ， CF=DG=NF ，再根据三个正方形面积公式列式相加： S1+S2+S3=12 ，求出 GF2 的值，从而可以计算结论即可．
【详解】解： ∵ 八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=NG ， CF=DG=NF ，
∴S1=(CG+DG)2 ，
=CG2+DG2+2CG⋅DG ，
=GF2+2CG⋅DG ，
S2=GF2 ，
S3=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG⋅NF ，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG⋅DG+GF2+NG2+NF2−2NG⋅NF=3GF2=12 ，
∴GF2=4 ，
∴S2=4 ，
∵S1+S2+S3=12 ，
∴S1+S3=8 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出 3GF2=12 是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】分两种情况：当E点在线段DC上时，当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵▵AD′E ≌ ▵ADE ，
∴∠AD′E=∠D=90∘ ，
∵∠AD′B=90∘ ，
∴∠AD′B+∠AD′E=180∘ ，
∴B 、 D′ 、E三点共线，
∵S▵ABE=12BE⋅AD′=12AB⋅AD,AD′=AD ，
∴BE=AB=10 ，
∵BD′= AB2−AD′2= 102−62=8 ，
∴DE=D′E=10−8=2 ；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD′′+∠CBE=∠ABD′′+∠BAD′′=90∘ ，
∴∠CBE=∠BAD′′ ，
在 ▵ABD′′ 和 ▵BEC 中，
∵∠D′′=∠BCEAD′′=BC∠BAD′′=∠CBE ，
∴▵ABD′′ ≌ ▵BEC ，
∴BE=AB=10 ，
∵BD′′= 102−62=8 ，
∴DE=D′′E=BD′′+BE=8+10=18 ，
综上所知， DE=2 或18，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】根据∠EAN与∠BAD互余，∠ABC与∠BAD互余，利用同角的余角相等即可判断①；过E作EH⊥DN于点H，过F作FG⊥DN于点G，利用K字型全等，易证△AEH≌△BAD，从而判断②；同理可证△AFG≌△CAD，可得GF=AD=EH，再证△EHN≌△FGN，即可判断④；最后根据S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN，结合全等三角形即可判断③．
【详解】∵AD为BC边上的高，EAB=90°
∴∠EAN+∠BAD=90°，∠ABC+∠BAD=90°
∴∠EAN=∠ABC
故①正确；
如图所示，过E作EH⊥DN于点H，过F作FG⊥DN，交DN的延长线于点G，
∵△ABE为等腰直角三角形
∴AE=AB
在△AEH与△BAD中，
∵∠AHE=∠BDA=90°，∠EAH=∠ABD，AE=AB
∴△AEH≌△BAD(AAS)
显然△EAN与△BAD不全等，
故②错误；
同理可证△AFG≌△CAD(AAS)
∴FG=AD，
又∵△AEH≌△BAD
∴EH=AD
∴FG=EH
在△EHN和△FGN中，
∵∠ENH=∠FNG，∠EHN=∠FGN=90°，EH=FG
∴△EHN≌△FGN(AAS)
∴EN=FN
故④正确；
∵△AEH≌△BAD，△AFG≌△CAD，△EHN≌△FGN
∴S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN
=S△ABD+S△FGN+S△AFN
= S△ABD+S△AFG
=S△ABD+S△CAD
=S△ABC，
故③正确；
正确的有①③④共3个．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字型全等，作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】50281
【解析】根据轴对称图形的性质，进行解答即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．
故答案为：50281．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
10.【答案】45∘
【解析】如图，利用“边角边”证明 ▵ABC 和 ▵DEA 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ∠1=∠4 ，然后求出 ∠1+∠3=90∘ ， ∠1+∠3=90∘ 再判断出 ∠2=45∘ ，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在 ▵ABC 和 ▵DEA 中，
AB=DE∠ABC=∠DEABC=AE ，
∴ ▵ABC≅DEA ( SAS )，
∴ ∠1=∠4 ，
∵ ∠3+∠4=90∘ ，
∴ ∠1+∠3=90∘ ，
又∵ ∠2=45∘ ，
∴ ∠1−∠2+∠3=∠1+∠3−∠2=90∘−45∘=45∘ ．
故答案为： 45∘ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
11.【答案】21或9
【解析】根据题意， ▵ABC 可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在 ▵ABC 中， AB=17 ， AC=10 ，BC边上高 AD=8 ，
如图所示，当 ▵ABC 为锐角三角形时，
在 Rt▵ABD 中 AB=17 ， AD=8 ，由勾股定理得：
BD2=AB2−AD2=172−82=225 ，
∴ BD=15 ，
在 Rt▵ACD 中 AC=10 ， AD=8 ，由勾股定理得：
CD2=AC2−AD2=102−82=36 ，
∴ CD=6 ，
∴BC的长为： BC=BD+DC=15+6=21 ；
如图所示：当 ▵ABC 为钝角三角形时，
在 Rt▵ABD 中 AB=17 ， AD=8 ，由勾股定理得：
BD2=AB2−AD2=172−82=225 ，
∴ BD=15 ，
在 Rt▵ACD 中 AC=10 ， AD=8 ，由勾股定理得：
CD2=AC2−AD2=102−82=36 ，
∴ CD=6 ，
∴BC的长为： BC=BD−DC=15−6=9 ；
综上可得：BC的长为：21或9．
故答案为：21或9．
【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是 解题关键．
12.【答案】16或34
【解析】试题分析：当a、b为直角边时，则 c2 =9+25=34，当b为斜边时，则 c2 =25−9=16．
考点：直角三角形
13.【答案】15∘
【解析】由翻折的性质 AH=AB,MN 垂直平分 AD ，于是得到 DH=AH=AB=AD ，故此 ▵ADH 为等边三角形，由 ▵ADH 为等边三角形可知 ∠HAB=30∘ ，在 ▵ABH 中可求得 ∠ABH=75∘ ，故此可求得 ∠HBN=15∘ ．
【详解】解：∵ MN 垂直平分 AD ，
∴ DH=AH ．
由翻折的性质可知： AH=AB,
∴ AH=AD=DH ．
∴ ▵ADH 是一个等边三角形．
∴ ∠DAH=60∘ ．
∴ ∠HAB=90∘−60∘=30∘ ．
∵ AB=AH ，
∴ ∠ABH=12180∘−30∘=75∘,
∴ ∠HBC=∠ABC−∠ABH=90∘−75∘=15∘.
故答案为： 15∘ ．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得 ▵ADH 是一个等边三角形是解题的关键．
14.【答案】80
【解析】根据折叠的性质可得 ∠CBA=∠ABI,∠BCA=∠ICA ，根据三角形内角和以及∠BAC=140°，可得 ∠ABC+∠ACB=40∘ ，进而可得 ∠IBC+∠ICB=80∘ ，根据三角形的外角性质即可求得 ∠EIC ．
【详解】 ∵ △ABE和△ADC是由△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，
∴ ∠CBA=∠ABI,∠BCA=∠ICA ，
∵ ∠BAC=140°，
∴ ∠ABC+∠ACB=40∘ ，
∴ ∠IBC+∠ICB=2∠ABC+∠ACB=80∘ ，
∵ ∠EIC = ∠IBC+∠ICB ，
∴ ∠EIC =80∘ ．
故答案为： 80 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，求得 ∠ABC+∠ACB=40∘ 是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】根据角平分线的性质得到EF=EG，证明Rt△EFC≌Rt△EGC，根据全等三角形的性质得到CF=CG，根据题意列式计算即可．
【详解】解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，如图所示：
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECG=180°，
∴∠ECG=∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG=EF，
在Rt△EFC和Rt△EGC中，
EF=EGEC=EC ，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC(HL)，
∴CF=CG，
∴12−CF=8+CF，解得：CF=2，
∴BF=12−2=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出EF=EG是解题的关键．
16.【答案】13
【解析】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1，当A、O、B1共线时， OA+OB 最小，即可求得．
【详解】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1
当A、O、B1共线时， OA+OB 最小
C B1=9+9−6=12
根据勾股定理得
A B1= 52+122 =13
∴ OA+OB 的最小值是13
故答案为：13
【点睛】本题考查轴对称−最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．
17.【答案】【小题1】
解：(1)如图，
【小题2】
(2)如图，
∵PD是BC的中垂线，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC=∠ABP，
∵∠A=60°，
∴∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=120°，
∵∠ACP=15°，
∴∠ABP=35°．
∴∠BPC=110°

【解析】1. 利用垂直平分线的作法结合角平分线的作法进而得出答案
2. 根据中垂线的性质得出∠PBC=∠PCB，根据角平分线的性质得出∠PBC=∠ABP，根据三角形内角和定理推出∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=120°，进而得到∠ABP=35°，进而可得∠BPC的大小．
18.【答案】【小题1】解：
∵ AD 平分 ∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC ，
∴∠AED=AFD=90∘ ，
在 Rt▵ADE 和 Rt▵ADF 中，
AD=ADDE=EF ，
∴ Rt▵ADE ≌ Rt▵ADF HL.
∴AE=AF.
又 ∵∠EAD=FAD,AO=AO
∴ ▵AEO ≌ ▵AFO
∴EO=FO,∠AOE=∠AOF=90∘,
∴AD 是线段 EF 的垂直平分线
【小题2】解：
S▵ABC=S▵ABD+S▵ACD=15.
∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=15,
∵AB+AC=10,DE=DF.
∴12⋅AB+AC⋅DE=15,
∴DE=DF=3.

【解析】1. 根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
2. 根据 S▵ABC=S△ADB+S△ADC=15, 可以求得 DE 的长度．
19.【答案】解：在 Rt▵ACB 中，
AC2+BC2=AB2 ，
设秋千的绳索长为 xm ，
则 AC=AD−DE=AD−BF−DE=x−1.5−0.5=x−1m ，
故 x2=22+x−12 ，
解得： x=2.5 ，
答：绳索AD的长度是 2.5m ．
故答案为： 2.5 ．

【解析】设秋千的绳索长为 xm ，根据题意可得 AC=x−1m ，利用勾股定理可得 x2=22+x−12 ，再解方程即可得出答案．
20.【答案】【小题1】
证明：∵ AD 是高，
∴ AD⊥BD ，
∵ CE 是中线，
∴E为 AB 的中点，
∴ AE=BE=DE ，
∵G为 CE 的中点， DG⊥CE ，
∴ DC=DE ，
∴ DC=BE ；
【小题2】
解：设 ∠BCE=α ，
∵ DE=DC ，
∴ ∠DEC=∠DCE=α ，
∴ ∠BDE=∠DEC+∠DCE=2α ，
∵ BE=DE ，
∴ ∠B=∠BDE=2α ，
∴ ∠AEC=∠B+∠BCE=3α ，
∴ ∠AEC=3∠BCE.

【解析】1. 由直角三角形斜边上的中线的性质与垂直平分线的性质得出 AE=BE=DE,DC=DE ，则可得出结论；
2. 由等腰三角形的性质及外角的性质可得出结论．
21.【答案】【小题1】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
BD=CE∠B=∠CBE=CF ，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形
【小题2】
当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°−∠BED−∠EFC=180°−∠DEB−∠EDB=∠B
当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，
∴∠B=∠DEF=60°，
则△DEF是 等边三角形．

【解析】1. 首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形
2. ∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论．
22.【答案】解：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，
∴S四边形ABCD= SΔABD+SΔBDC=12BD⋅AE+12BD⋅CD=12AE⋅AE+12BD⋅BE=12AE2+12BD⋅BE ，
又∵S四边形ABCD= SΔABC+SΔADC=12AB⋅BC+12CD⋅DE=12AB⋅AB+12BE⋅DE=12AB2+12BE⋅DE ，
∵12AE2+12BD⋅BE=12AB2+12BE⋅DE ，
∴AB2=AE2+BD⋅BE−BE⋅DE，
∴AB2=AE2+(BD−DE)⋅BE，即AB2=BE2+AE2．

【解析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．
23.【答案】【小题1】
如图 2 ，取三边的中点 D ， E ， F ，并连接，得 4 个等腰三角形；
【小题2】
①如图，取三边的中点 D ， E ， F ，得 4 个等边三角形；
②如图，作 CF⊥AB 于点 F ，取 CA 和 CB 的中点 D ， E ，连接 DF ， EF ，得 ▵ADF 和 △BEF 是等边三角形， ▵CDF 和 △CEF 是底角为 30∘ 的等腰三角形；
③如图，在 CA 上取点 E ，在 CB 上取点 F ，使 CE=2AE ， CF=2BF ，再取 EF 的中点 D ，连接 DA ， DB ，
所以 ▵AEF 是等边三角形， ▵DAB 是等腰三角形，
▵ADE 和 ▵BDF 是等腰三角形．

【解析】1. 取三边的中点 D ， E ， F ，并连接，即可画出一个这个 ▵ABC 的 4 等分线的示意图；
2. ①如图，取三边的中点 D ， E ， F ，得 4 个等边三角形；②作 CF⊥AB 于点 F ，取 CA 和 CB 的中点 D ， E ，连接 DF ， EF ，得 ▵ADF 和 △BEF 是等边三角形， ▵CDF 和 △CEF 是底角为 30∘ 的等腰三角形；③如图，在 CA 上取点 E ，在 CB 上取点 F ，使 CE=2AE ， CF=2BF ，再取 EF 的中点 D ，连接 DA ， DB ， ▵AEF 是等边三角形， ▵DAB 是等腰三角形， ▵ADE 和 ▵BDF 是等腰三角形．
24.【答案】【小题1】
证明：(1)∵BF // AC，
∴∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，
∴BO=CO，
在△BOF与△COA中，
∠BFO=∠CAO∠FBO=∠ACOBO=CO
∴△BOF≌△COA(AAS)，
∴BF=CA=CD+AD，
∵AD=DE，
∴BF=CD+DE；
【小题2】
∵BD是边AC的高，AD=DE
∴BD垂直平分AE，
∴BA=BE，∠BAC=∠BEA，
又∵BF // AC，
∴∠BEA=∠EBF=∠BAC，∠FBG=∠C=45°，
在△BAC与△EBF中，
AC=BF∠BAC=∠EBFBA=EB
∴△BAC≌△EBF(SAS)，
∴∠BFE=∠C=45°，
又∵∠BGE=∠FBG+∠EFB=90°=∠BDE，
在△BEG与△BED中，
∠BGE=∠BDE∠EBC=∠EBDBE=BE
∴△BEG≌△BED(AAS)，
∴BG=BD．

【解析】1. 利用平行线的性质证明△BOF≌△COA，得BF=CA即可；
2. 由BD是AE的垂直平分线可知BE=BA，则通过SAS证明△BAC≌△EBF，得∠BFE=∠C=45°，从而∠BGF=90°，再通过AAS证明△BEG≌△BED即可得出BD=BG．
25.【答案】【小题1】
8
【小题2】
解： ▵ OAC为等腰直角三角形，理由如下：
∵ ▵ PCQ为等腰直角三角形，
∴∠PCQ=90°，CP=CQ，
又∵∠MON=90°，
∴∠CQO+∠CPO=360°−∠MON−∠PCQ=180°，
又∵∠CPA+∠CPO=180°，
∴∠CPA=∠CQO，
由题意可得：OQ=AP=t，
∴在 ▵ CQO与 ▵ CPA中，
CQ=CP∠CQO=∠CPAOQ=AP
∴ ▵ CQO≌ ▵ CPA(SAS)，
∴OC=AC，∠OCQ=∠ACP，
∴∠OCQ+∠OCP=∠ACP+∠OCP，
即：∠PCQ=∠ACO=90°，
∵∠ACO=90°，OC=AC，
∴ ▵ OAC为等腰直角三角形；
【小题3】
解：∵ ▵ PCQ为等腰直角三角形，
∴PQ2=CP2+CQ2=2CP2，
∴要使得线段PQ的长度最小，则线段CP的长度最小即可，
如图，过点C作CH⊥OA，垂足为点H，
∴当点P与点H重合时，CP即可取得最小值，
∵ ▵ OAC为等腰直角三角形，CH⊥OA，OA=8cm，
∴CH=AH= 12 OA=4，
∴CP的最小值为4，此时t=4，
∴此时PQ2的最小值=CP2+CQ2=2CP2=32，
∴存在实数t，使得线段PQ的长度最小，此时t的值为4，PQ2的最小值为32．

【解析】1.
解：(1)由题意可得：OQ=AP=t，
∵OA=8cm，
∴OP=OA−AP=8−t，
∴OP+OQ=8−t+t=8(cm)，
故答案为：8；
2. 由等腰直角三角形 ▵ PCQ可得∠PCQ=90°，CP=CQ，再结合∠MON=90°，可证得∠CPA=∠CQO，由此可证得 ▵ CQO≌ ▵ CPA(SAS)，再根据全等三角形的性质即可证得等腰直角三角形 ▵ OAC；
3. 先根据等腰直角三角形的性质可将求线段PQ的最小值转化为求线段CP的最小值，再根据垂线段最短可得当CP⊥OA时，CP取得最小值，由此即可求得答案．
26.【答案】【小题1】
解：(1)BC−AC=AD．
理由如下：如图(a)，在 CB上截取CE=CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
又CD=CD，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴DE=DA，
∵∠B=30°，
∴∠A=∠CED=60°，
∴∠CED=2∠CBA，
∵∠CED=∠CBA+∠BDE，
∴∠CBA=∠BDE，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BE=BC−CE=BC−AC，
∴BC−AC=AD．
【小题2】
①如图，在AB上截取AM=AD，连接CM，( )
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠MAC，
∵AC=AC，
∴△ADC≌△AMC(SAS)，
∴∠D=∠AMC，CD=CM=12，
∵CD=BC=12，
∴CM=CB，
∴∠B=∠CMB，
∵∠CMB+∠CMA=180°，
∴∠B+∠D=180°；
②过点C作CN⊥AB于点N，设BN=a，
∵CB=CM=12，
∴BN=MN=a，
在Rt△BCN中，CN2=BC2−BN2=122−a2，
在Rt△ACN中，CN2=AC2−AN2=162−(8+a)2，
则122−a2=162−(8+a)2，
解得：a=3，
即BN=MN=3，
则AB=14．

【解析】1. 在CB上截取CE=CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE=DA，∠A=∠CED=60°，据此∠CED=2∠CBA，结合∠CED=∠CBA+∠BDE知∠CBA=∠BDE，即可得DE=BE，进而得出答案；
2.
①在AB上截取AM=AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC得∠D=∠AMC，CD=CM，结合CD=BC知CM=CB，据此得∠B=∠CMB，根据∠CMB+∠CMA=180°可得；
②过点C作CN⊥AB于点N，设BN=a，由CB=CM知BN=MN=a，CN2=BC2−BN2=AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．