2022~2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校八年级上学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校八年级上学期期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分类．下面图标分别为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾，其中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.底边上的高为4，且底边长为12的等腰三角形周长为( )
A. 8 10+12B. 2 34+12C. 4 10+12D. 4 13+12
3.下列说法正确的是( )
A. 364=±4B. 若x2=1，则x=1
C. 16的平方根是±4D. 36的算术平方根是6
4.下列说法中正确的有( )
(1)如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，则▵ABC是直角三角形；
(2)如果∠A+∠B=∠C，那么▵ABC是直角三角形；
(3)如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是 直角三角形；
(3)如果三边长分别是n2−1，2n，n2+1n>1，则ABC是直角三角形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.某人一天饮水1.9×103mL，这个数精确到
( )
A. 0.1mLB. 1mLC. 10mLD. 100mL
6.下列说法：① (−10)2=−10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③−3是 81的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
7.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在▵ABC的
( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
8.如图，△ABC中，∠B=60∘，AB=8，点D在BC边上，且AD=AC.若BD=32，则CD的长为
( )
A. 4B. 52C. 5D. 112
9.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和
10.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=4，动点P满足S▵PCD=14S长方形ABCD，则点P到A，B两点的 距离之和PA+PB的最小值为( )
A. 4B. 5C. 7D. 13
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若二次根式 2x−3有意义，则x的取值范围是
12. 18× 2÷ 3= ．
13.一个正数的两个平方根为a+2和a−6，则这个数为 ．
14.设a，b是有理数，且满足a+ 2b=3−2 2，则ba的值为 ．
15.一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R= 米．(球的体积：V球=43πR3，其中R为球的半径)
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ．
17.数轴上点A对应的数是−1，点C对应的数是−4，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为 ．
18.如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算：
(1)|2− 5|+ 15× 20；
(2) xy2÷ 5y⋅ 15x(x>0 , y>0)．
20.求下列各式中x的值：
(1)4x−22=36；
(2)x+53−27=0．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知实数x，y满足y= x−13+ 13−x+5，求：
(1)x与y的值；
(2)x2−y2的平方根．
22.(本小题8分)
如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，▵ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB= ，BC= ，AC= ；
(2)判断▵ABC的形状，并说明理由；
(3)直接写出AC边上的高= ．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=5，D为BC边上一点，且CD=1，AD= 26，BD=4，点E是AB边上的动点，连接DE．
(1)求AB的长；
(2)当△BDE是直角三角形时，求AE的长．
24.(本小题8分)
我国南宋时期数学家秦九韶(约1202−约1261)曾提出利用三角形三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积S= pp−ap−bp−c．在▵ABC中，已知BC=4，AC=7.5，AB=8.5．
(1)如图1，利用秦九韶公式求▵ABC的面积；
(2)如图2，▵ABC的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O到边AB的距离．
25.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠C=90∘，点P在边AC上运动，点D在边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DP与DE的位置关系，并说明理由：
(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长．
(3)若AC=3，BC=4，则PE的最小值为 .(直接写出结果)
26.(本小题8分)
在▵ABC中，∠BAC=90∘，点D是BC上一点，将▵ABD沿AD翻折后得到▵AED∠B=∠E，边AE交射线BC于点F．
(1)如(图1)，当AE⊥BC时，求证：DE//AC
(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x∘(0①如(图2)，当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得▵DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
27.(本小题8分)
如图1，ΔABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4，
(1)试说明ΔABC是等腰三角形；
(2)已知SΔABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)，
①若ΔDMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的 中点，问在点M运动的过程中，ΔMDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不合题意
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意
C、是轴对称图形，故本选项不合题意
D、是轴对称图形，故本选项不合题意
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵底边上的高为4，且底边长为12的等腰三角形，
∴腰长= 62+42=2 13 ，
∴等腰三角形周长= 2 13 + 2 13 +12=4 13 +12．
故选：D．
根据等腰三角形的性质和勾股定理求出腰长，进而即可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握等腰三角形三线合一是关键．
3.【答案】D
【解析】【详解】解：A、∵ 364 =4，
∴选项A计算错误，不符合题意；
B、∵x2=1，
∴x=±1，
∴选项B错误，不符合题意；
C、∵ 16 =4，
∴4的平方根是±2，
∴选项C错误，不符合题意；
D、∵一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根又叫算术平方根，
∴36的算术平方根是6，
∴选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据平方根和立方根的定义即可得出答案．
本题主要考查平方根和立方根的定义，关键是要牢记平方根的概念．
4.【答案】C
【解析】解：(1)不正确， ▵ABC 中最大角为 180∘×53+4+5=75∘ ，则 ▵ABC 不是直角三角形；
(2)正确，因为 ∠A+∠B=∠C ， ∠A+∠B+∠C=180∘ ，则 ∠C=90∘ ，则 ▵ABC 是直角三角形；
(3)正确，设三边分别为 6x ， 8x ， 10x ，则有 6x2+8x2=10x2 ，则 ABC 是直角三角形；
(4)正确，因为 n2−12+2n2=n2+12 ， n>1 ，则 ABC 是直角三角形；
所以正确的有三个，，
故选：C．
根据直角三角形的判定以及勾股定理逆定理进行分析，从而得到答案．
本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和有一角为 90∘ 的三角形为直角三角形是解题的关键．．
5.【答案】D
【解析】解：一天饮水 1.9×103mL 中的 1.9×103 精确到 100 mL ．
故选D．
根据近似数的精确度求解．
本题考查了近似数，解决本题的关键是掌握精确度的概念．
6.【答案】C
【解析】解：①∵ −102=10 ，
∴ −102=−10 是错误的；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③∵ 81=9 ，
∴−3是 81 的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和可能是有理数，如 2+− 2=0 ，故原说法是错误的；
⑥无限不循环小数是无理数，因此无理数都是无限小数，故说法正确；
综上分析可知，正确的是②③④⑥，共4个，故C正确．
故选：C．
根据平方根，算术平方根，立方根，实数与数轴，无理数的定义，实数的分类逐一分析即可．
本题主要考查了实数的分类，数轴及平方根、立方根、算术平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如 2, 3, 5 等，也有 π 这样的数．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴木凳应放的最适当的位置是在 ▵ABC 的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．
本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵AD=AC，AE⊥BC，
∴DE=CE= 12 CD，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=8，
∴BE= 12 AB=4，
∵ BD=32 ，
∴DE=BE−BD= 52 ，
∴CD=2DE=5，
故选：C．
如图，过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DE=CE= 12 CD，由∠B=60°可得∠BAE=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得BE= 12 AB，根据线段的和差关系即可求出DE的长，进而可得CD的长．
本题考查等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形底边的高线、底边的中线和顶角的角平分线重合；30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2−b2−a(c−b)=a2−ac+ab=a(a+b−c)，
较小两个正方形重叠部分的长=a−(c−b)，宽=a，
则较小两个正方形重叠部分底面积=a(a+b−c)，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选C．
根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10.【答案】B
【解析】解：如图，设△PCD中CD边上的高是h．
∵ S▵PCD=14S长方形ABCD ， AD=4 ，
∴ 12⋅CD⋅h=14CD⋅AD ．
∴ h=12AD=2 ．
∴动点P在与CD平行且与CD的距离是2的直线l上．
∴连接AC交直线l于点P′．
∵l // CD， AD=4 ，四边形 ABCD 是长方形，
∴l⊥AD，l⊥BC．
∴直线l是BC边的垂直平分线，
∴BP′=CP′，
∴AP′+BP′=AP′+CP′，
∴AC的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=4，
∴ AC= 32+42=5 ，
即PA+PB的最小值为5．
故选：B．
首先根据 S▵PCD=14S长方形ABCD 可证明动点P在与CD平行且与CD的距离是2的直线l上，连接AC交直线l于点P′，并由垂直平分线的性质可得BP′=CP′，则AC的长就是所求的最短距离，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识，得出动点P所在的位置是解题的关键．
11.【答案】x≥ 32
【解析】解：∵二次根式 2x−3 有意义，
∴2x−3≥0，
∴x≥ 32 ．
故答案是：x≥ 32 ．
根据二次根式的被开方数为非负数列式计算．
本题考查二次根式有意义的条件；即被开方数为非负数．
12.【答案】2 3
【解析】解： 18× 2÷ 3
=3 2× 2×1 3
=3×2× 3 3× 3
=6× 33
=2 3 ，
故答案为： 2 3 ．
利用二次根式的性质进行乘除运算．
本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则．
13.【答案】16
【解析】解：根据题意得：a+2+a−6=0，解得：a=2，
所以这个数是：(2+2)2=16．
故答案为：16．
根据正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，进而可得答案．
本题考查了平方根的性质，属于基础题目，熟知平方根的性质是解题的关键．
14.【答案】−8
【解析】解：∵ a+ 2b=3−2 2 ，
∴ a−3+b+2 2=0 ，
∴ a−3=0,b+2=0 ，
∴ a=3,b=−2 ，
ba=−23=−8 ．
故答案为−8．
利用实数运算性质可得 a−3=0,b+2=0 解方程求出 a=3,b=−2 ，再代入求值即可．
本题考查实数的性质，代数式的值，掌握实数的性质得出 a−3=0,b+2=0 是解题关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵V球= 43 πR3，
∴ 43 πR3=36π，
解得R=3；
故答案为：3．
根据V球= 43 πR3公式列等式，再开立方即可求解．
本题主要考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
16.【答案】4cm
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠CAB=120°，
∴∠B=∠C=30°，
连接AM，AN，
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，∠BAM=∠B=30°，
∴∠CAM=∠BAC−∠BAM=120°−30°=90°，
∴CM=2AM=2BM，
∴3BM=BC=12cm，
∵BM=4cm，
同理可得，CN=4，
∴MN=BC−CN−BM=12−4−4=4(cm)．
故答案为：4cm．
根据题意先求得∠B=∠C=30°，进而根据垂直平分线的性质可得AM=BM，∠BAM=∠B=30°，在 Rt▵CAM 中，根据含30度角的直角三角形的性质求得 CM=2AM=2BM ，结合已知条件可得 BM=4 ，同理可得 CN=4 ，进而即可求得 MN 的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】−1± 10
【解析】解：如图，

根据勾股定理得： AB= 32+12= 10 ，
∴AD=AB= 10 ，
若点 D 在点 A 的左侧，则点 D 表示的数为： −1− 10 ；
若点 D 在点 A 的右侧，则点 D 表示的数为： −1+ 10 ；
故答案为： −1± 10 ．
根据题意画出图形，利用勾股定理求得 AB ，分类讨论，点 D 在 A 点的两侧，分别求解即可．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，注意以 A 为圆心， AB 长为半径画弧，交数轴两个点，数形结合是解题的关键．
18.【答案】94
【解析】【分析】取 BC 的中点 G ，连接 MG ，根据等边三角形的性质和旋转可以证明 ▵MBG≌▵NBH ，可得 MG=NH ，根据垂线段最短，当 MG⊥CH 时， MG 最短，即 HN 最短，由直角三角形的性质可求得线段 HN 长度的最小值．
【详解】解：如图，取 BC 的中点G，连接 MG ，
∵线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 BN ，
∴ ∠MBH+∠HBN=60∘ ，
又∵ ▵ABC 是等边三角形，
∴ ∠ABC=60∘ ，
即 ∠MBH+∠MBC=60∘ ，
∴ ∠HBN=∠GBM ，
∵ CH 是等边三角形的高，
∴ BH=12AB ，
∴ BH=BG ，
又∵ BM 旋转到 BN ，
∴ BM=BN ，
在 ▵MBG 和 ▵NBH 中，
BM=BN∠GBM=∠HBNBG=BH ，
∴ ▵MBG≌▵NBH ( SAS )，
∴ MG=NH ，
根据垂线段最短，当 MG⊥CH 时， MG 最短，即 HN 最短，
此时 ∠BCH=12×60∘=30∘ ，
∴ CG=12BC=12×9=92 ，
∴ MG=12CG=94 ，
∴ HN=94 ．
∴线段 HN 长度的最小值是 94 ．
故答案为： 94 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
19.【答案】【小题1】
解：原式 = 5−2+2
= 5 ；
【小题2】
xy2÷ 5y⋅ 15x(x>0 , y>0)
解：原式 = xy25y× 15x
= 5xy5× 15x
=x 3y ．

【解析】1. 先算绝对值，二次根式的乘法，再算加减即可；
2. 先算除法，再算乘法即可．
本题主要考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握相应的运算法则．
20.【答案】【小题1】
解： 4x−22=36
∴ x−22=9 ，
即 x−2=±3 ，
解得： x=−1 或5；
【小题2】
解： x+53−27=0
x+53=27 ，
∴ x+5=3 ，
解得： x=−2 ．

【解析】1. 利用平方根的性质解答，即可求解；
2. 利用立方根的 性质解答，即可求解．
本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
21.【答案】【小题1】
解：∵x−13≥0，13−x≥0，
∴x=13，
∴y=0+5=5；
【小题2】
∵x2−y2=132−52=144，
∴x2−y2的平方根是±12．

【解析】1. 根据算术平方根的被开方数的非负性得到x=13，即可求出y；
2. 根据平方根定义解答即可．
22.【答案】【小题1】
13
2 13
65
【小题2】
解： ▵ABC 是直角三角形，
理由：∵ AB2+BC2=65 ， AC2=65 ，
∴ AB2+BC2=AC2 ，
∴ ▵ABC 是直角三角形；
【小题3】
2665 65

【解析】1.
解：由题意得：
AB= 22+32= 13 ，
BC= 42+62=2 13 ，
AC= 82+12= 65 ，
故答案为： 13 ， 2 13 ， 65 ；
利用勾股定理，进行计算即可解答；
2. 利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
3.
设 AC 边上的高为h，
∵ ▵ABC 的面积 =12AC⋅h=12AB⋅BC ，
∴ AC⋅h=AB⋅BC ，
∴ 65h= 13×2 13 ，
∴ h=2665 65 ，
故答案为： 2665 65 ．
利用面积法，进行计算即可解答．
23.【答案】【小题1】
解：在△ACD中，∵ AC2=25 ， CD2=1 ， AD2=26 ，
∴ AC2+CD2=AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，且 ∠C=90∘ ，
∵ BD=4 ，
∴ BC=4+1=5 ，
∴在Rt△ACB中， AB= AC2+BC2= 52+52=5 2 ；
【小题2】
∵ AC=BC=5 ， ∠C=90∘ ，
∴ ∠B=45∘ ，
∴△BDE是直角三角形需分两种情况分析：
①当 ∠BDE=90∘ 时， BD=DE=4 ，
∴在Rt△BDE中， BE= BD2+DE2=4 2 ，
∴ AE=AB−BE=5 2−4 2= 2 ；
②当 ∠BED=90∘ 时， SΔABD=12AB⋅DE=12BD⋅AC ，即 5 2DE=4×5 ，
解得： DE=2 2 ，
∴ BE=DE=2 2 ，
∴ AE=AB−BE=5 2−2 2=3 2 ；
综上所述，AE的长为 2 或3 2 ．

【解析】1. 先根据勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，且 ∠C=90∘ ，求得 BC=CD+BD=5 ，然后根据勾股定理直接计算即可求解．
2. 根据等边对等角以及直角三角形的两锐角互余可得 ∠B=45∘ ，根据△BDE是直角三角形需分两种情况分析：①当 ∠BDE=90∘ 时， BD=DE=4 ，②当 ∠BED=90∘ 时，根据勾股定以及等面积法即可求解．
24.【答案】【小题1】
∵BC=4,AC=7.5,AB=8.5,
∴p=4+7.5+8.52=10,
S▵= 10×10−4×10−7.5×10−8.5=15.
【小题2】
连接 OC ，作 OF⊥AB 于点 F ，

∵ 点 O 为 ▵ABC 的角平分线交点，
∴ 点 O 到 AB ， AC ， BC 的距离相等，长度为 OF ，
设 OF=h, ，则 S▵ABC=S▵ACO+S▵BCO+S▵ABO
=12AC•h+12BC•h+12AB•h
=12×4h+12×7.5h+12×8.5h
=15.
∴h=1.5.

【解析】1. 由秦九韶公式可得 p 的值，再由 S= pp−ap−bp−c 求解．
2. 连接 OC ，作 OF⊥AB 于点 F ，由角平分线的性质可得点 O 到三角形三边的距离相等，通过 S▵ABC=S▵ACO+S▵BCO+S▵ABO 求解．
25.【答案】【小题1】
DP⊥DE，理由如下：
∵PD=PA
∴∠A=∠PDA
∴∠CPD=2∠A
∵EF垂直平分线段BD
∴BE=DE
∴∠EDB=∠B
∴∠CED=2∠B
∵∠ACB=90゜
∴∠A+∠B=90゜
∴∠CPD+∠CED=2(∠A+∠B)=2×90゜=180゜
∵四边形的内角和为360゜
∴∠PDE=360゜−(∠CPD+∠CED)−∠ACB=90゜
∴DP⊥DE
【小题2】
如图，连接PE
设DE=x，则可得BE=x，CE=4−x
∵PA=PD=1
∴CP=2
在Rt△PCE和Rt△PDE中，由勾股定理得： PE2=PC2+CE2=22+(4−x)2 ， PE2=PD2+DE2=12+x2
∴ 12+x2=22+(4−x)2
解方程得： x=198
即DE的长为 198
【小题3】
125

【解析】1. 由题意可得∠CPD=2∠A，∠CED=2∠B，而∠A+∠B=90゜，故可得∠CPD+∠CED=180゜，从而由四边形的内角和知DP与DE是垂直关系；
2. 连接PE，设DE=x，则可得BE=x，CE=4−x，又PA=PD=1，故CP=2，分别在Rt△PCE和Rt△PDE中，用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可；
3.
如图，连接PE、CD，取PE的中点O，分别连接OC、OD
∵∠ACB=∠PDE=90゜，OC、OD分别是两个直角三角形的斜边PE上的中线
∴ OC=OD=12PE
∴OC+OD=PE
∵OC+OD≥CD
∴当CD最短时，OC+OD=PE最小
当CD垂直AB时，CD最小
∵ 12AC⋅BC=12AB⋅CD
由勾股定理得： AB= AC2+BC2= 32+42=5
∴ CD=AC•BCAB=3×45=125
即PE的最小值为 125
故答案为： 125
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂线段最短等知识，用到了方程思想来求线段的长，把求PE的最小值问题转化为求OC+OD的最小值问题是本题(3)的关键与难点．
26.【答案】【小题1】
证明： ∵∠BAC=90∘ ， AE⊥BC ，
∴∠CAF+∠BAF=90∘ ， ∠B+∠BAF=90∘ ，
∴∠CAF=∠B ，
由翻折可知， ∠B=∠E ，
∴∠CAF=∠E ，
∴AC//DE ；
【小题2】
(2)① ∵∠C=2∠B ，
∠C+∠B=90∘ ，
∴∠C=60∘ ， ∠B=30∘ ，
∵DE⊥BC ， ∠E=∠B=30∘ ，
∴∠BFE=60∘ ，
∵∠BFE=∠B+∠BAF ，
∴∠BAF=30∘ ，
由翻折可知， x=∠BAD=12∠BAF=15∘ ；
② ∠BAD=x∘ ，则
∠ADB=180∘−∠B−∠BAD=150∘−x
∠ADF=∠B+∠BAD=30∘+x
由翻折可知： ∠ADE=∠ADB
∴ ∠FDE=∠ADE−∠ADF=120−2x∘ ，
∠DFE=∠AFC=2x+30∘ ，
当 ∠EDF=∠DFE 时，
120−2x=2x+30 ，
解得， x=22.5 ，
当 ∠DFE=∠E=30∘ 时，
2x+30=30 ，
解得， x=0 ，
∵0∴ 不合题意，故舍去，
当 ∠EDF=∠E=30∘ ，
120−2x=30 ，
解得， x=45 ，
综上可知，存在这样的x的值，使得 ▵DEF 中有两个角相等，且 x=22.5 或45．

【解析】1. 由 ∠BAC=90∘ ，根据同角的余角相等，可得 ∠CAF=∠B ，由折叠的性质可知 ∠B=∠E ，等量代换，从而得证；
2.
①根据翻折，和已知条件，求得 ∠BAF=30∘ ，从而求得 x 的值
②由①的结论可求得 ∠FDE=120−2x∘ ， ∠DFE=2x+30∘ ，分情形讨论，当 ∠EDF=∠DFE 时，当 ∠DFE=∠E=30∘ ，当 ∠EDF=∠E=30∘ ，解方程即可求得 x ，根据题干中 x 的取值范围取舍．
27.【答案】【小题1】
证明：设 BD=2x,AD=3x,CD=4x ，
则 AB=5x ，
在 RtΔACD 中， AC= AD2+CD2=5x ，
∴ AB=AC ，
∴ ΔABC 是等腰三角形；
【小题2】
解：设 BD=2x,AD=3x,CD=4x ，
则 AB=5x ，
SΔABC=12×5x×4x=40cm2 ，而 x>0. ，
∴ x=2cm ，
则 BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=AB=10cm ，
由题意可知当点M到达点A时点N刚好到达点C，此时 t=10 ．
①当 MN/​/BC 时， AM=AN ，
即 10−t=t ，
∴ .t=5 ；
当 DN//BC 时， AD=AN ，
得： t=6 ；
∴若 ΔDMN 的边与 BC 平行，t值为5或6．
②∵点E是边 AC 的中点， CD⊥AB ，
∴ DE=12AC=5 cm，
当点M在 BD 上，即 0≤t<4 时， ΔMDE 为钝角三角形，但 DM≠DE ；
当 t=4 时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在 DA 上，即 4如果 DE=DM ，则 t−4=5 ，
∴ t=9 ；
如果 ED=EM ，则点M运动到点A，
∴ t=10 ；
如果 MD=ME=t−4 cm，
过点E作 EF⊥AB 于F，如图3所示：
此时 EF=12CD=4 cm，
∵ ED=EA ，
∴ .DF=AF=12AD=3 cm，
∵ BM=tcm,BF=4+3=7cm ，
∴ FM=t−7 cm，
∵ EF=4 cm，
则在 中， (t−4)2−(t−7)2=42 ，
∴ t=496 ．
综上所述，符合要求的t值为9或10或 496 ．

【解析】1. 设 BD=2x,AD=3x,CD=4x ，则 AB=5x ，由勾股定理求出 AC ，即可得出结论；
2.
由 ΔABC 的面积求出 BD、AD、CD、AC ；①当 MN/​/BC 时， AM=AN ；当 DN//BC 时， AD=AN ；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出 DE=5, ，根据题意得出当点M在 DA. 上，即 4