2022~2023学年江苏省南通市如皋市实验初中八年级（上）月考数学试卷（第一次）（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省南通市如皋市实验初中八年级（上）月考数学试卷（第一次）（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列美丽的图案中不是轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为( )
A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°
3.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在线段( )
A. AB的垂直平分线上B. AC的垂直平分线上
C. BC的垂直平分线上D. 不能确定
4.如图，AE // DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的
( )
A. AB=CDB. EC=BFC. ∠A=∠DD. AB=BC
5.一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红打算只带其中的两块去玻璃店并买回一块和以前一样的玻璃，她需要( )
A. 带其中的任意两块B. 带1，4或3，4就可以了
C. 带1，4或2，4就可以了D. 带1，4或2，4或3，4均可
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )
A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°
7.如图，已知▵ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD=4，则▵ABC的面积是
( )
A. 64B. 48C. 32D. 42
8.如图，AB⊥CD，且AB=CD，CE⊥AD，BF⊥AD，分别交AD于E、F两点，若BF=a，EF=b，CE=c，则AD的长为( )
A. a+cB. b+cC. a−b+cD. a+b−c
9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为( )
A. 4.6或7B. 7或8C. 4.6或8D. 4.6或7或8
10.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，点A(−3,5)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ．
12.如图，在▵ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则▵ABD的周长为 ．
13.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE=2，AB=5，则AC长是 ．
14.如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=3cm，DE=4cm，则CD= cm．
15.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于E.若∠ABC=52°，∠C=32°，AB=5.2，BC=9.8，则AE= ．
16.在▵ABC中，若AB=5，AC=7，则中线AD的最小整数值是 ．
17.如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD=BA．EF垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF.当∠B=30°，∠BAF=90°时，则∠DAC的度数为 ．
18.如图，在▵ABC中，AH是高，AE/​/BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=4S△ADE，BH=3，则BC= ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−2,2)，B(−4,−2)
(1)用无刻度直尺作出线段AB的垂直平分线．
(2)将点B先向右平移9个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为 ．
(3)点D与点A关于y轴对称，在直角坐标系中找一点P，使它到A、D、C三点距离相等，则P点坐标为 ．
20.(本小题8分)
如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠2=40°，求∠C的度数．
21.(本小题8分)
如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且AC=DF，BF=CE.求证：FG=CG．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF.再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．
23.(本小题8分)
已知在平面直角坐标系中A(0,2)，P(3,3)，且PA⊥PB．
(1)如图1，求点B的坐标；
(2)如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持PA1⊥PB1，求OB1−OA1的值．
24.(本小题8分)
如图1，△ABC中，∠ABC=∠ACB.点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE=CF．
(1)若∠DEF=∠ABC，求证：DE=EF；
(2)若∠A+2∠DEF=180∘，BC=9，EC=2BE，求BD的长：
25.(本小题8分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形，请说明理由．
26.(本小题8分)
如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
(1)如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四边形吗？请说明理由．
(2)如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12∠AEB．
(3)如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=12∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
考点：轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠ A′CB′ ，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵△ACB≌△ A′CB′ ，
∴∠ACB=∠ A′CB′ ，
∴∠ACB − ∠ A′ CB=∠ A′CB′ − ∠ A′ CB，
∴∠AC A′ =∠BC B′ =30°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】由已知条件BC=BD+AD及图形知BC=BD+CD知AD=CD，根据线段垂直平分线的性质可判断出答案．
【详解】解：∵BC=BD+AD=BD+CD，
∴AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
故选：B．
【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．得到AD=CD是正确解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵AE // DF，
∴∠A=∠D，
∵AE=DF，
∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD，
∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD，
故选A．
5.【答案】D
【解析】想要买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边或两个角及一条边即可．
【详解】解：由图可知，带上1和4相当于有两个角和一条边，所以可得两块三角形玻璃全等；同理，带上3和4也相当于有两角夹一边，同样也可以得三角形全等；2和4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，2又确定了底边的方向，继而可得全等；
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，联系实际，灵活运用所学知识是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴ ∠B=180∘−90∘−50∘=40∘ ．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，
∴ BC=BD ，
∴ ∠BCD=∠BDC=12180∘−40∘=70∘ ，
∴ ∠ACD=90∘−70∘=20∘ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】连接 AM ，过 M 作 ME⊥AB 于 E ， MF⊥AC 于 F ，根据角平分线的性质得出 ME=MD=MF=4 ，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接 AM ，过 M 作 ME⊥AB 于 E ， MF⊥AC 于 F ，
∵MB 和 MC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， MD⊥BC ， MD=4 ，
∴ME=MD=4 ， MF=MD=4 ，
∵▵ABC 的周长是 16 ，
∴AB+BC+AC=16 ，
∴▵ABC 的面积 S=S▵AMC+S▵BCM+S▵ABM =12×AC×MF+12×BC×DM+12×AB×ME
=12×AC×4+12×BC×4+12×AB×4
=2AC+BC+AB
=2×16=32 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出 DM=ME=ME=4 是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】根据直角三角形两锐角互余和等量代换可得∠A=∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，可得AD的长．
【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD，∠A=∠C，∠CED=∠AFB=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+(b−c)=a+b−c，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．
9.【答案】D
【解析】根据点M和点N不同位置进行分类讨论，根据题意，容易得到∠MEC=∠CFN，∠MCE=∠CNF.只需MC=NC，就可得到△MEC与△CFN全等，即可解决问题．
【详解】解：①当0≤t<4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM=2t，BN=3t，AC=8，BC=15．
当MC=NC，即8−2t=15−3t，
解得t=7，不合题意舍去；
②当4≤t<5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC=NC，则点M与点N重合，即2t−8=15−3t，
解得t=4.6；
③当5≤t< 233 时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC=NC即2t−8=3t−15，
解得t=7；
④当 233 ≤t<11.5时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC=NC即2t−8=8，
解得t=8；
综上所述：当t等于4.6或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是分情况讨论时间t的取值范围．
10.【答案】B
【解析】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
OP=OPPE=PF
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故(2)正确，
MN的长度是变化的，故(4)错误，
故选：B．
11.【答案】(−3,−5)
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【详解】解：∵点A(−3,5)与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为(−3,−5)．
故答案为：(−3,−5)．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12.【答案】19
【解析】由题意可得： MN 垂直平分 BC ，则 BD=CD ，即可求解．
【详解】解：由题意可得： MN 垂直平分 BC ，则 BD=CD ，
▵ABD 的周长 =AD+BD+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19
故答案为： 19
【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
13.【答案】4
【解析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵S△ADB= 12 AB×DE= 12 ×5×2=5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9−5=4，
∴ 12 AC×DF=4，
∴ 12 AC×2=4，
∴AC=4
故答案为4．
【点睛】本题考查了角平分线性质，解题的关键是作出辅助线．
14.【答案】7
【解析】先证明△ABD≌△ACE，从而证得BD=CE=3cm，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
同理∠ADE=∠AED，
∴180°−∠ADE=180°−∠AED，即∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∵ ∠ADB=∠AEC∠B=∠CAB=AC ，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE=3cm，
∴CD=DE+CE=4+3=7(cm)，
故答案为：7．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABD≌△ACE．
15.【答案】2.3
【解析】延长AE交BC于F，则△ABE≌△FBE(ASA)，可得AE= 12 AF，根据度数关系可以得出AF=FC=BC−AB，即可求出．
【详解】解：延长AE交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
∠AEB=∠FEB=90∘BE=BE∠ABE=∠FBE ，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，AB=BF=5.2，
∴∠BAF=∠BFA= 12× (180°−52°)=64°，
∵∠C=32°，
∴∠CAF=∠AFB−∠C=32°，
∴∠CAF=∠C，
∴AF=CF，
∵BC=9.8，
∴CF=BC−BF=4.6，
∴AF=4.6，
∴AE=2.3，
故答案为：2.3．
【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形相关知识点，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
16.【答案】2
【解析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形 三边关系定理得出答案．
【详解】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=7，CE=5，
设AD=x，则AE=2x，
∴2<2x<12，
∴1∴1∴AD 最小整数解为 2
故答案为： 2 ．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，倍长中线法证明三角形全等，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
17.【答案】45°
【解析】连接AD，AF，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠BAD的度数，利用线段垂直平分线的性质可得∠CAF=∠C，结合三角形的内角和定理可求得∠AFB及∠C的度数，进而可求解；
【详解】解：连接AD，AF，
∵AB=BD，∠B=30°，
∴ ∠BAD=∠BDA=180∘−30∘2=75∘ ，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF=∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°−30°=60°，
∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C，
∴∠C=∠CAF=30°，
∴∠DAC=∠ADB−∠C=75°−30°=45°
故答案为：45°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，利用类比推理求解是解题的关键．
18.【答案】8
【解析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明 △ABH≌△EAF ， Rt▵ACH≌Rt▵EDF ，由此可得 SΔABH=S△EAF ， S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE ，再结合 S△ABC=S△ABH+S△ACH=4S△ADE 可得 S△ACHS△ABH=53 ，由此可得 CHBH=53 ，进而即可求得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA=∠AHB=∠AHC=90°，
∵AE /​/ BC，
∴∠EAF=∠B，
在 ▵ABH 与 ▵EAF 中，
∠AHB=∠EFA∠B=∠EAFAB=EA
∴ △ABH≌△EAF (AAS)，
∴ AH=EF ， S△ABH=S△EAF ，
在Rt ▵ACH 与Rt ▵EDF 中，
AH=EFAC=DE
∴ Rt△ACH≌Rt△EDF (HL)，
∴ S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE ，
∵ S△ABC=S△ABH+S△ACH=4S△ADE ，
∴ S△ABH+S△EAF+S△ADE=4S△ADE ，
∴ 2S△ABH+S△ADE=4S△ADE ，
解得： S△ABH=32S△ADE ，
∴ S△ACH=4S△ADE−S△ABH=52S△ADE ，
∴ S△ACHS△ABH=52S△ADE32S△ADE=53 ，
∴ 12CH⋅AH12BH⋅AH=53 ，
即 CHBH=53 ，
又∵BH=3，
∴CH=5，
∴BC=BH+CH=3+5=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：如下图，直线 l1 即为线段AB的垂直平分线；
【小题2】
(5， −1 )
【小题3】
(0， −3 )

【解析】1. 根据垂直平分线的性质作出线段AB的垂直平分线即可
2.
将点B先向右平移9个单位再向上平移1个单位得到点C，
则点C的坐标为(5， −1 )．
故答案为：(5， −1 )；
3.
解：由(2)可知，点C(5， −1 )，
由对称的性质可知点D(2,2)，
连接AD、CD，并作出线段CD的垂直平分线 l2 ，如下图，
直线 l2 与y轴的交点即为点P，此时点P(0， −3 )．
故答案为：(0， −3 )．
20.【答案】【小题1】解：∵∠1=∠2，∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，∵ ∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED ，∴△AEC≌△BED(ASA)．
【小题2】解：
∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∴∠C=∠EDC．
在△EDC中，∵∠1=∠2=40°，∴∠C=∠EDC=(180°−40°)÷2=70°．

【解析】1. 根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED
2. 由(1)可知：EC=ED，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数．
21.【答案】证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴ ∠B=∠E=90∘ ，
∵ BF=CE ，
∴ BF+FC=CE+FC ，
∴ BC=EF ，
又∵ AC=DF ，
∴ Rt▵ABC≌Rt▵DEF(HL) ，
∴ ∠ACB=∠DFE ，
∴ FG=CG ．

【解析】首先证明借助HL证明 Rt▵ABC≌Rt▵DEF ，由全等三角形的性质可知 ∠ACB=∠DFE ，然后由“等角对等边”即可证明 FG=CG ．
22.【答案】解：选择已知__①__，结论__②__.
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE.
∵∠ACD=∠B.
∴∠DCE +∠ACD=∠BCE +∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA.
∵AF平分∠BAC，
∴CF=EF.
选择已知_②___，结论___①__.
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B.
∴∠DCE +∠ACD=∠BCE +∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA.
∵CF=EF．
∴AF平分∠BAC．

【解析】选择①作为已知，②作为结论时证明∠ACE =∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论；选择②作为已知，①作为结论时，证明∠ACE =∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论．
本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】【小题1】
解：如下图，过点P(3,3)作 PC⊥x 轴于点C，作 PD⊥y 轴于点D，
则四边形OCPD为正方形， PC=PD=3 ， ∠PDA=∠PCB=90∘ ，
∵ PA⊥PB ，
∴ ∠CPD=∠BPA=90∘ ，
∴ ∠DPA+∠APC=∠APC+∠CPB ，
∴ ∠DPA=∠CPB ，
在 ▵PAD 和 ▵PBC 中，
∠DPA=∠CPBPD=PC∠PDA=∠PCB ，
∴ ▵PAD≌▵PBC(ASA) ，
∴ AD=BC ， PA=PB ，
∵点A(0,2)，P(3,3)，
∴ OA=2 ， OD=PC=3 ，
∴ AD=OD−OA=3−2=1 ，
∴ AD=BC=1 ，
∵四边形OCPD为正方形，
∴ OC=PD=3 ，
∴ OB=OC+BC=3+1=4 ，
∴点B(4,0)
【小题2】
由(1)可知， PA=PB ，
∵ ∠APB=∠A1PB1=90∘ ，即 ∠APA1+∠A1PB=∠A1PB+∠BPB1 ，
∴ ∠APA1=∠BPB1 ，
∵ ∠PAO+∠PBO=360∘−∠AOB−∠APB=360∘−90∘−90∘=180∘ ，
又∵ ∠PBB1+∠PBO=180∘ ，
∴ ∠PAO=∠PBB1 ，
在 ▵PAA1 和 ▵PBB1 中，
∠PAA1=∠PBB1PA=PB∠APA1=∠BPB1 ，
∴ ▵PAA1≌▵PBB1(ASA) ，
∴ AA1=BB1 ，
∴ OB1−OA1=OB+BB1−(AA1−OA)=OB+OA=4+2=6 ．

【解析】1. 过点作 PC⊥x 轴于点C，作 PD⊥y 轴于点D，由ASA证明 ▵PAD≌▵PBC ，可得出 PA=PB 、 AD=BC=1 ，求出OB的值，即可确定B点坐标
2. 由ASA证明 ▵PAA1≌▵PBB1 ，得出 AA1=BB1 ，然后由 OB1−OA1=OB+OA 即可获得结果．
24.【答案】【小题1】
证明：∵∠ABC=∠ACB，
又∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∠DEC=∠DEF+∠CEF，
∠DEF=∠ABC，
∴∠BDE=∠CEF，
在△DBE和△ECF中，
∠DBC=∠ECF∠BDE=∠CEFBE=CF ，
∴△DBE≌△ECF(AAS)，
∴DE=EF
【小题2】
解：∵∠A+2∠DEF=180°，∠A+2∠B=180°，
∴∠DEF=∠B，
∴△DBE≌△ECF(AAS)，
∴DB=EC，
∵BC=9，EC=2BE，
∴EC=6，BE=3，
∴BD=EC=6．

【解析】1. 先证得∠BDE=∠CEF，再用角角边证明△DBE≌△ECF，其性质得DE=EF
2. 证明∠DEF=∠B，求出EC，利用全等三角形的性质证明BD=EC，即可解决问题
25.【答案】【小题1】
证明：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形；
【小题2】
解：∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ADO=α−60°，∠AOD=360°−110°−α−60∘=190∘−α，
∴∠OAD=180°−∠ADO−∠AOD=50°；
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60∘，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，α−60°=50°，
∴α=110°．
当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】1. 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△OCD是等边三角形，再根据全等可得∠ADC=∠BOC=150°，继而得到∠ADO为90°，即可求解
2. 根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，进而得到∠OAD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
26.【答案】【小题1】
解：四边形ABCD是互补等对边四边形，
理由：如图2，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，
连接AC，BD，
∵点D是AE的中点，
∴BD⊥AE，
∴∠ADB=90°，
同理：∠BCA=90°，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
∴四边形ABCD是互补等对边四边形．
【小题2】
解：∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
AD=BC∠DAB=∠CBAAB=BA ，
∴△ABD≌△BAC(SAS)，
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA= 180∘−∠AEB2 =90° − 12 ∠AEB，
∴∠ABD=90° − ∠EAB=90° − (90° − 12 ∠AEB)= 12 ∠AEB，
同理：∠BAC= 12 ∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC= 12 ∠AEB；
【小题3】
解：仍然成立；
理由如下：如图4所示：
过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，
∠AGD=∠BFC∠BCA=∠ADCAD=BC ，
∴△AGD≌△BFC(AAS)，
∴AG=BF，
在Rt△ABG和Rt△BAF中，
AB=BAAG=BF ，
∴Rt△ABG≌Rt△BAF(HL)，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC= 12 ∠AEB．

【解析】1. 先判断出AE=BE，再判断出∠ADB=90°，即可得出结论．
2. 根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；
3. 仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC.因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．