2022~2023学年江苏省南通市南通田家炳中学八年级（上）月考数学试卷（10月）（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省南通市南通田家炳中学八年级（上）月考数学试卷（10月）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是
( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
4.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为( )
A. 13B. 17C. 13或17D. 13或10
5.如图，已知O为ΔABC三边垂直平分线的交点，且∠A=50∘，则∠BOC的度数为
( )
A. 80∘B. 100∘C. 105∘D. 120∘
6.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为
A. 3B. 4.5C. 6D. 7.5
7.在等腰三角形ABC中，CA=CB，过点A作▵ABC的高AD.若∠ACD=30∘，则这个三角形的底角与顶角的度数比为
( )
A. 2:5或10:1B. 1:10C. 5:2D. 5:2或1:10
8.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【】
A. B. C. D.
9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF//AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
10.如图：等腰▵ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则▵CDM周长的最小值为
( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若点Am+2,3与点B−4,n+5关于y轴对称，则m+n= ．
12.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰▵ABC中，∠A=80∘，则它的特征值k= ．
13.已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
14.如图，在▵ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若▵AFC是等边三角形，则∠B= °.
15.如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ．
16.如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC= ．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF =73，连接AD，则AB= ．
18.如图，AD⊥BC，AB+BD=DC，∠B=54∘，则∠C= ．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为线段AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)直接写出∠ACF的度数= ．
20.(本小题8分)
▵ABC中AB=AC，∠B=30∘，点P在BC边上运动(P不与B.C重合)，连接AP，作∠APQ=∠B，PQ交AB于点Q．
(1)如图1，当PQ//CA时，判断△APB的形状并说明理由；
(2)在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．
21.(本小题8分)
在▵ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90∘，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
(1)如图②，当∠C≠90∘，AD为▵ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想．
(2)如图③，当∠ACB≠90∘，AD为▵ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形，对称轴有2条；
故选：D．
【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】由轴对称图形的性质可得△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】如图，连接 BB′，
∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，
∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，
∴∠C′AF=10°，
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ABB′=∠AB′B=40°，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数．
【详解】延长AO交BC于D．
∵点O在AB的垂直平分线上．
∴AO=BO．
同理：AO=CO．
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA．
∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC．
∵∠A=50°．
∴∠BOC=100°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查：(1)线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．(2)三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6.【答案】C
【解析】【详解】因为在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，
所以∠CBD=30°，∠C=60°，∠BDC=90°，
因为DE⊥BC于点E，
所以∠CDE=30°，
在Rt△CDE中，∠CDE=30°，
所以CE= 12CD ，
所以CD=3，
又因为在Rt△CDB中，∠CBD=30°，
所以CD= 12BC ，
所以BC=6，即AB=6，故选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】分等腰三角形顶角是钝角和锐角两种情况讨论即可．
【详解】解：情况1：如图：
∵ ∠ACD=30∘ ，
∴ ∠ACB=180∘−∠ACD=150∘ ，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15º，
底角与顶角的度数比为：15º:150º=1:10；
情况2：如图：
∵ ∠ACD=30∘ ，CA=CB，
∴∠B=∠CAB= 180∘−30∘2=75∘ ，
底角与顶角的度数比为：75º:30º=5:2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5:2或1:10，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用.分情况讨论是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，
在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，
即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，
三角形的一个顶点对着正方形的边．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：∵ BF//AC ，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确，
在△CDE与△DBF中，
∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF ，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
10.【答案】C
【解析】【分析】连接 AD ， AM ，由于 ▵ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C ， MA=MC ，推出 MC+DM=MA+DM≥AD ，故AD的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 AD ， MA ．
∵▵ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
∴AD⊥BC ，
∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=18 ，解得 AD=6 ，
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C ， MA=MC ，
∴MC+DM=MA+DM≥AD ，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴▵CDM 的周长的最小值为
AD+12BC=6+12×6=6+3=9 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称 − 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】0
【解析】【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出m、n的值，代入求值即可．
【详解】解： ∵ 点 A(m+2,3) 与点 B(−4,n+5) 关于 y 轴对称，
∴m+2=4 ， 3=n+5 ，
解得： m=2 ， n=−2 ，
∴m+n=0 ，
故答案为：0
【点睛】本题考查了坐标与图形−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键．
12.【答案】85 或 14
【解析】【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【详解】解：①当 ∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： 180∘−80∘2=50∘
∴特征值 k=80∘50∘=85
②当 ∠A 为底角时，顶角的度数为： 180∘−80∘−80∘=20∘
∴特征值 k=20∘80∘=14
综上所述，特征值 k 为 85 或 14 ．
故答案为 85 或 14 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知 ∠A 的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
13.【答案】9cm或21cm
【解析】【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．
根据题意得 x+x2=45×33+2y+x2=45×23+2 ，或 x+x2=45×23+2y+x2=45×33+2 ，
解得 x=18y=9 或 x=12y=21 ，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为9cm或21cm．
故答案为：9cm或21cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14.【答案】30
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF．
15.【答案】0【解析】【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：(1)当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，
(2)当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，
∴CD= 12 BE=5，
∴0故答案为：0【点睛】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16.【答案】60°
【解析】【分析】由 ∠AOB 的度数利用邻补角互补可得出 ∠AOD=60∘ ，结合 OD=OA 可得出 ΔAOD 为等边三角形，而根据旋转全等模型由 SAS 易证出 ΔBAO≅ΔCAD ，根据全等三角形的性质可得出 ∠ADC=∠AOB=120∘ ，再根据 ∠BDC=∠ADC−∠ADO 即可求出 ∠BDC 的度数．
【详解】解： ∵ΔABC 为等边三角形，
∴AB=AC ， ∠BAC=60∘ ．
∵∠AOB=120∘ ， ∠AOD+∠AOB=180∘ ，
∴∠AOD=60∘ ．
又 ∵OD=OA ，
∴ΔAOD 为等边三角形，
∴AO=AD ， ∠OAD=60∘ ， ∠ADO=60∘ ．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60∘ ，
∴∠BAO=∠CAD ．
在 ΔBAO 和 ΔCAD 中，
AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD ，
∴ΔBAO≅ΔCAD(SAS) ，
∴∠ADC=∠AOB=120∘ ，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADO=60∘ ．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了等边三角形 的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明 ΔBAO≅ΔCAD ，找出 ∠ADC=∠AOB=120∘ 是解题的关键．
17.【答案】143
【解析】【分析】作CG⊥AB于G.根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ADC的面积，可得到CG的长.在Rt△AGC中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可得AC的长，即可得到结论．
【详解】如图，作CG⊥AB于G.
∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ADC的面积，
∴ 12 AB⋅CG= 12 AB⋅ED+ 12 AC⋅DF，
∴AB⋅CG=AB⋅ED+AC⋅DF．
∵AB=AC，
∴CG=ED+DF= 73，
∵∠BAC=30°，
∴AC=2CG= 143 ，
∴AB= 143 ．
故答案为： 143 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解答问题，属于中考常考题型．
18.【答案】27∘
【解析】【分析】在DC上取DE=DB.连接AE，在 ▵ABD 和 ▵AED 中，BD=ED，∠ADB=∠ADE，AD=AD.证明 ▵ABD≌▵AED (SAS)即可求解．
【详解】解：如图，在DC上取DE=DB，连接AE．
∵ AD⊥BC ，
∴ ∠ADB=∠ADE=90∘ ，
在 ▵ABD 和 ▵AED 中，
BD=DE∠ADB=∠ADEAD=AD ，
∴ ▵ABD≌▵AED (SAS)．
∴AB=AE，∠B= ∠AEB=54∘ ，
又∵AB+BD=DC，
∴EC=DC−DE=DC−BD=(AB+BD)−BD=AB=AE，
即EC=AE，
∴∠C= ∠AEB=27∘ ，
故答案为： 27∘ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】【小题1】
∵△ABC是等边三角形，∴AB= BC，∠ABE+ ∠EBC =60°，
∵△BEF是等边三角形，∴EB= BF，∠CBF + ∠EBC = 60°，
∴∠ABE =∠CBF，
在△ABE和△CBF，∵AB= BC，∠ABE= ∠CBF， EB= BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)；
【小题2】
90°

【解析】1. 根据△ABC和△BEF是等边三角形，可得AB= BC，EB= BF，∠ABE =∠CBF，即可求证；
2.
解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAE = 30°，∠ACB = 60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF =∠BAE = 30°，
∴∠ACF = ∠BCF +∠ACB = 30°+60°=90°．
20.【答案】【小题1】
△APB 是直角三角形，理由如下：
∵ AB=AC ， ∠B=30∘ ，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵ PQ//CA ， ∠APQ=∠B =30°，
∴∠PAC=∠APQ=30°，
∴∠BAP=120°−30°=90°，
∴ △APB 是直角三角形；
【小题2】
△APQ 的形状可以是等腰三角形，理由如下：
①当QA=QP时，∠QAP=∠QPA=30°，
∴ ∠BQP =∠QAP+∠QPA=60°，
②当PA=PQ时，∠PQA= 12×(180∘−30∘)=75∘ ，
∴ ∠BQP =180°−75°=105°，
③当AQ=AP时，∠AQP=∠APQ=30°，
∴∠QAP=120°=∠BAC，即点P与点C重合，不符合题意，
综上所述， ∠BQP 的度数为60°或105°．

【解析】1. 先由等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，则∠BAC=120°，再由平行线的性质得∠PAC=∠APQ=30°，进而求出∠BAP=90°，即可；
2. 本题主要考查直角三角形的判定定理，等腰三角形的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质定理以及分类讨论思想，是解题的关键．
21.【答案】【小题1】
解： AB=CD+AC ．
理由为：
在 AB 上截取 AG=AC ，连接 DG ，如图②所示，
∵ AD 为 ∠BAC 的平分线，
∴ ∠GAD=∠CAD ，
在 △ADG 和 △ADC 中，
AG=AC∠GAD=CADAD=AD ，
∴ ▵ADG≌▵ADC(SAS) ，
∴ DG=CD ， ∠AGD=∠ACB ．
∵ ∠ACB=2∠B ，
∴ ∠AGD=2∠B ．
又∵ ∠AGD=∠B+∠GDB ，
∴ ∠B=∠GDB ，
∴ BG=DG=DC ，
则 AB=BG+AG=CD+AC ；
【小题2】
解： AB=CD−AC ．
理由为：
在 AF 上截取 AG=AC ，连接 DG ，如图③所示，
∵ AD 为 ∠FAC 的平分线，
∴ ∠GAD=∠CAD ，
在 △ADG 和 ▵ACD 中，
AG=AC∠GAD=CADAD=AD ，
∴ ▵ADG≌▵ACD(SAS) ，
∴ CD=GD ， ∠AGD=∠ACD ，
∴ ∠ACB=∠FGD ．
∵ ∠ACB=2∠B ，
∴ ∠FGD=2∠B ．
又∵ ∠FGD=∠B+∠GDB ，
∴ ∠B=∠GDB ，
∴ BG=DG=DC ，
则 AB=BG−AG=CD−AC ．

【解析】1. 首先在 AB 上截取 AE=AC ，连接 DE ，易证 ▵ADE≌▵ADC(SAS) ，则可得 ∠AED=∠C ， ED=CD ，又由 ∠AED=∠ACB ， ∠ACB=2∠B ，所以 ∠AED=2∠B ，即 ∠B=∠BDE ，易证 DE=CD 进而求解；
2. 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
首先在 BA 的延长线上截取 AE=AC ，连接 ED ，易证 △EAD≌△CAD ，可得 ED=CD ， ∠AED=∠ACD ，又由 ∠ACB=2∠B ，易证 DE=EB ，则可求解．