2022~2023学年江苏省南通一中八年级（上）月考数学试卷（第一次）（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省南通一中八年级（上）月考数学试卷（第一次）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.对于下列各组条件，不能判定ΔABC≅△A′B′C′的一组是
( )
A. ∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′
B. ∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′
C. ∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′
D. AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′
3.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42∘，则这个等腰三角形的顶角是
( )
A. 42∘或138∘B. 48∘或132∘C. 48∘或138∘D. 42∘或132∘
4.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ΔABC≅ΔADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是
( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
5.如图，在ΔABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为
( )
A. 40∘B. 36∘C. 30∘D. 25∘
6.如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145∘，则∠EDF的度数为
( )
A. 45∘B. 55∘C. 35∘D. 65∘
7.如图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是
( )
A. 作线段CE的垂直平分线B. 作∠AOB的平分线
C. 连接EN，则ΔCEN是等边三角形D. 作CN//OA
8.如图，AD是ΔABC的边BC上的中线，AB=7，AD=5，则AC的取值范围为
( )
A. 59.如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为27和16，则ΔEDF的面积为
( )
A. 11B. 5.5C. 7D. 3.5
10.如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的三个顶点都在格点上，则与ΔABC有一条公共边且全等(不与ΔABC重合)的格点三角形(顶点都在格点上的三角形)共有
( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定ΔABC≅ΔDBE，则需要添加的一个条件是 ．
12.如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为 ．
13.若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则(m+n)2019的值是 ．
14.如图，在ΔABC中，∠C=90∘，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE=AC，连接AD，若BC=8，则BD+DE等于 ．
15.如图，D是ΔABC内部的一点，AD=CD，∠BAD=∠BCD，下列结论中，①∠DAC=∠DCA；②AB=AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC.所有正确结论的序号是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，点B(9,0)，且∠ACB=90∘，CA=CB，则点C的坐标为 ．
17.如图，在ΔABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF//BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM= ．
18.如图，在ΔABC中，∠B=25∘，∠A=100∘，点P在ΔABC的三边上运动，当ΔPAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量)，点A、D在l异侧，AB//DE，∠A=∠D，测得AB=DE．
(1)求证：ΔABC≅ΔDEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．
20.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
(1)若∠C=42∘，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE．
21.(本小题8分)
如图在平面直角坐标系中，ΔABC各顶点的坐标分别为：A(4,0)，B(−1,4)，C(−3,1)
(1)在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和ΔABC关于x轴对称；
(2)写出点A′，B′，C′的坐标；
(3)求ΔABC的面积．
22.(本小题8分)
作图题：如图，点M和点N在∠AOB内部，请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等．(保留作图痕迹，不写作法)
23.(本小题8分)
如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
(1)求证：ΔABD≅ΔACE；
(2)判断ΔBOC的形状，并说明理由．
24.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE相交于点D，DM⊥AB，交AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N．
求证：
(1)BM=CN；
(2)AM=12(AB+AC)．
25.(本小题8分)
如图，AB=12cm，∠CAB=∠DBA=60∘，AC=BD=9cm点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B匀速运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动，设点Q的运动速度为xcm/s.当ΔBPQ与ΔACP全等时，求x的值．
26.(本小题8分)
在ΔABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作ΔADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=26∘，则∠DCE= ．
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上(不与B，C两点重合)移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项 B 、 C 、 D 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项 A 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选： A ．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法结合各选项提供的已知条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解： A 、 ∠A=∠A′ ， ∠B=∠B′ ， AB=A′B′ ，正确，符合判定 ASA ；
B 、 ∠A=∠A′ ， AB=A′B′ ， AC=A′C′ ，正确，符合判定 SAS ；
C 、 ∠A=∠A′ ， AB=A′B′ ， BC=B′C′ ，不正确，其角不是两边的夹角；
D 、 AB=A′B′ ， AC=A′C′ ， BC=B′C′ ，正确，符合判定 SSS ．
故选： C ．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS 、 ASA 、 SAS 、 SSS ，直角三角形可用 HL 定理，但 AAA 、 SSA ，无法证明三角形全等．
3.【答案】B
【解析】【分析】分别从 ΔABC 是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图(1)，
∵AB=AC ， BD⊥AC ，
∴∠ADB=90∘ ，
∵∠ABD=42∘ ，
∴∠A=48∘ ；
如图(2)，
∵AB=AC ， BD⊥AC ，
∴∠BDC=90∘ ，
∵∠ABD=42∘ ，
∴∠BAD=48∘ ，
∴∠BAC=132∘ ．
综上所述，这个等腰三角形的顶角是 48∘ 或 132∘ ．
故选： B ．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】在 ΔADC 和 ΔABC 中，由于 AC 为公共边， AB=AD ， BC=DC ，利用 SSS 定理可判定 ΔADC≅ΔABC ，进而得到 ∠DAC=∠BAC ，即 ∠QAE=∠PAE ．
【解答】解：在 ΔADC 和 ΔABC 中，
AD=ABDC=BCAC=AC ，
∴ΔADC≅ΔABC(SSS) ，
∴∠DAC=∠BAC ，
即 ∠QAE=∠PAE ．
故选： D ．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用 SSS 判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据 AB=AC 可得 ∠B=∠C ， CD=DA 可得 ∠ADB=2∠C=2∠B ， BA=BD ，可得 ∠BDA=∠BAD=2∠B ，在 ΔABD 中利用三角形内角和定理可求出 ∠B ．
【解答】解： ∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵CD=DA ，
∴∠C=∠DAC ，
∵BA=BD ，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B ，
设 ∠B=α ，
则 ∠BDA=∠BAD=2α ，
又 ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180∘ ，
∴α+2α+2α=180∘ ，
∴α=36∘ ，
∴∠B=36∘ ，
故选： B ．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
6.【答案】B
【解析】【分析】由 ∠AFD=145∘ 知 ∠DFC=35∘ ，根据“ HL ”证 RtΔBDE 和 RtΔCFD 得 ∠BDE=∠CFD=35∘ ，从而由 ∠EDF=180∘−∠FDC−∠BDE 可得答案．
【解答】解： ∵∠AFD=145∘ ，
∴∠DFC=35∘ ，
∵DE⊥AB ， DF⊥BC ，
∴∠DEB=∠FDC=90∘ ，
在 RtΔBDE 和 RtΔCFD 中，
∵ BD=CFBE=CD ，
∴ΔBDE≅ΔCFD(HL) ，
∴∠BDE=∠CFD=35∘ ，
∴∠EDF=180∘−∠FDC−∠BDE=55∘ ，
故选： B ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】分析】由作图可知 ∠AOD=∠NCB ，推出 AO//NC ，可得结论．
【解答】解：由作图可知 ∠AOD=∠NCB ，
∴AO//NC ，
故选项 D 正确，
故选： D ．
【点评】本题考查作图 − 复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】【分析】延长 AD 至 E ，使 DE=AD ，连接 CE .根据 SAS 证明 ΔABD≅ΔECD ，得 CE=AB ，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长 AD 至 E ，使 DE=AD ，连接 CE ．
在 ΔABD 与 ΔECD 中，
DB=CD∠ADB=∠EDCAD=DE ，
∴ΔABD≅ΔECD(SAS) ，
∴CE=AB ．
在 ΔACE 中， AE−EC即 5+5−73故选： C ．
【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
9.【答案】B
【解析】【分析】过 D 作 DH⊥AC 于 H ，根据角平分线的性质得到 DF=DH ；根据 HL 定理得到 RtΔDEF≅RtΔDGH ，由全等三角形的面积相等得到 SΔDEF=SΔDGH ；由 ∠AED=∠AHD ， ∠BAD=∠CAD ， AD=AD ，根据 AAS 得到 ΔADF≅ΔADH ，由全等三角形的面积相等得到 SΔADF=SΔADH ；根据 SΔADF=SΔADE+SΔDEF ， SΔADH=SΔADG−SΔDGH ，把 ΔADG 和 ΔAED 的面积分别为27和16代入计算得到答案．
【解答】解：过 D 作 DH⊥AC 于 H ，
∵DF⊥AB ，
∴∠AFD=∠AHD=∠DHG=90∘ ，
∵AD 是 ΔABC 的角平分线，
∴DF=DH ， ∠BAD=∠CAD ，
∵DE=DG ，
∴RtΔDEF≅RtΔDGH(HL) ，
∴SΔDEF=SΔDGH ，
∵∠AFD=∠AHD ， ∠BAD=∠CAD ， AD=AD ，
∴ΔADF≅ΔADH(AAS) ，
∴SΔADF=SΔADH ，
∴SΔDEF+16=27−SΔDGH ，
∴SΔDEF=5.5 ．
故选： B ．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据题意证明 RtΔDEF≅RtΔDGH 、 ΔADF≅ΔADH 是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】根据全等三角形的判定分别求出以 AB 为公共边的三角形，以 CB 为公共边的三角形，以 AC 为公共边的三角形的个数，相加即可．
【解答】解：如图所示，
以 BC 为公共边可画出 ΔBDC ， ΔBEC ， ΔBFC 三个三角形和原三角形全等．
以 AB 为公共边可画出 ΔABG ， ΔABM ， ΔABH 三个三角形和原三角形全等．
以 AC 为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，
所以可画出6个．
故选： B ．
【点评】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
11.【答案】AC=DE
【解析】【分析】先求出 ∠ABC=∠DBE=90∘ ，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
【解答】解： AC=DE ，
理由是： ∵AB⊥DC ，
∴∠ABC=∠DBE=90∘ ，
在 RtΔABC 和 RtΔDBE 中，
AC=DEBE=BC ，
∴RtΔABC≅RtΔDBE(HL) ．
故答案为： AC=DE ．
【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有 SAS ， ASA ， AAS ， SSS ， HL ．
12.【答案】82∘
【解析】【分析】证明 ΔABC≅ΔADC 得 ∠D+∠ACD=∠B+∠ACB=49∘ ，进而根据三角形内角和定理得结果．
【解答】解： ∵AC 平分 ∠DCB ，
∴∠BCA=∠DCA ，
又 ∵CB=CD ， AC=AC ，
∴ΔABC≅ΔADC(SAS) ，
∴∠B=∠D ，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD ，
∵∠CAE=∠D+∠ACD=49∘ ，
∴∠B+∠ACB=49∘ ，
∴∠BAE=180∘−∠B−∠ACB−∠CAE=82∘ ，
故答案为： 82∘ ．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得 ∠B+∠ACB=49∘ ．
13.【答案】1
【解析】【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．
【解答】解： ∵ 点 A(1+m,1−n) 与点 B(−3,2) 关于 y 轴对称，
∴1+m=3 ， 1−n=2 ，
∴m=2 ， n=−1 ，
∴(m+n)2019=(2−1)2019=1 ；
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
14.【答案】8
【解析】【分析】根据垂直定义可得 ∠C=∠AED=90∘ ，然后利用 HL 证明 RtΔACD≅RtΔAED ，从而可得 CD=DE ，即可解答．
【解答】解： ∵DE⊥AB ，
∴∠AED=90∘ ，
∵∠C=90∘ ，
∴∠C=∠AED=90∘ ，
在 RtΔACD 和 RtΔAED 中，
AE=ACAD=AD ，
∴RtΔACD≅RtΔAED(HL) ，
∴CD=DE ，
∵BC=8 ，
∴BD+CD=8 ，
∴BD+DE=8 ，
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解： ∵AD=CD ，
∴∠DAC=∠DCA ，故①正确；
∵∠BAD=∠BCD ，
∴∠BAD+∠DAC=∠BCD+∠DCA ，
即 ∠BAC=∠BCA ，
∴AB=BC ，故②错误；
∵AB=BC ， AD=DC ，
∴BD 垂直平分 AC ，故③正确；
∴BD 平分 ∠ABC ，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】(6,6) 或 (3,−3)
【解析】【分析】先构造出 ΔACE≅ΔBCF ，得出四边形 OECF 是正方形，再用 OA=3 ， OB=9 ，求出 OE=OF=6 即可得出结论．
【解答】解：如图，当点 C 在第一象限时，过点 C 作 CE⊥OA ， CF⊥OB ，
∵∠AOB=90∘ ，
∴ 四边形 OECF 是矩形，
∴∠ECF=90∘ ，
∵∠ACB=90∘ ，
∴∠ACE=∠BCF ，
在 ΔACE 和 ΔBCF 中， ∠AEC=∠BFC=90∘∠ACE=∠BCFAC=BC ，
∴ΔACE≅ΔBCF(AAS) ，
∴CE=CF ，
∵ 四边形 OECF 是矩形，
∴ 矩形 OECF 是正方形，
∴OE=OF ，
∵AE=OE−OA=OE−3 ， BF=OB−OF=9−OF ，
∴OE=OF=6 ，
∴C(6,6) ，
当点 C 在第四象限时，过点 C′ 作 C′H⊥OA ， CG⊥OB ，
同理得， C′(3,−3)
故答案为： (6,6) 或 (3,−3) ．
【点评】此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的判定，解本题的关键是构造出全等三角形，是一道比较基础题目．
17.【答案】6
【解析】【分析】由 EF//BC ， ED 平分 ∠ADB ，推出 ∠MED=∠EDB=∠EDM ，推出 EM=DM ，同理可证 DM=FM ，推出 DM=12EF ，由此即可解决问题．
【解答】解： ∵EF//BC ， ED 平分 ∠ADB ，
∴∠MED=∠EDB=∠EDM ，
∴EM=DM ，
同理可证 DM=FM ，
∴DM=12EF ，
∵EF=12 ，
∴DM=6 ．
故答案为：6．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明 DM=EM=MF ，属于中考常考题型．
18.【答案】100∘ 或 55∘ 或 70∘
【解析】【分析】作出图形，然后分点 P 在 AB 上与 BC 上两种情况讨论求解．
【解答】解：①如图1，点 P 在 AB 上时， AP=AC ，顶角为 ∠A=100∘ ，
② ∵∠B=25∘ ， ∠A=100∘ ，
∴∠C=180∘−25∘−100∘=55∘ ，
如图2，点 P 在 BC 上时，若 AC=PC ，顶角为 ∠C=55∘ ，
如图3，若 AC=AP ，则顶角为 ∠CAP=180∘−2∠C=180∘−2×55∘=70∘ ，
当 PA=PC 时，则 ∠C=∠PAC=55∘ ，
∴ 顶角 =180∘−2×55∘=70∘ ，
综上所述，顶角为 100∘ 或 55∘ 或 70∘ ．
故答案为： 100∘ 或 55∘ 或 70∘ ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
19.【答案】【小题1】
证明： ∵AB//DE ，
∴∠ABC=∠DEF ，
在 ΔABC 与 ΔDEF 中
∠ABC=∠DEFAB=DE∠A=∠D ，
∴ΔABC≅ΔDEF ；
【小题2】
∵ΔABC≅ΔDEF ，
∴BC=EF ，
∴BF+FC=EC+FC ，
∴BF=EC ，
∵BE=10m ， BF=3m ，
∴FC=10−3−3=4m ．

【解析】1. 先证明 ∠ABC=∠DEF ，再根据 ASA 即可证明．
2. 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
根据全等三角形的性质即可解答．
20.【答案】【小题1】
解： ∵AB=AC ， AD⊥BC 于点 D ，
∴∠BAD=∠CAD ， ∠ADC=90∘ ，
又 ∠C=42∘ ，
∴∠BAD=∠CAD=90∘−42∘=48∘ ；
【小题2】
∵AB=AC ， AD⊥BC 于点 D ，
∴∠BAD=∠CAD ，
∵EF//AC ，
∴∠F=∠CAD ，
∴∠BAD=∠F ，
∴AE=FE ．

【解析】1. 根据等腰三角形的性质得到 ∠BAD=∠CAD ，根据三角形的内角和即可得到 ∠BAD=∠CAD=90∘−42∘=48∘ ；
2. 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到 ∠BAD=∠CAD 根据平行线的性质得到 ∠F=∠CAD ，等量代换得到 ∠BAD=∠F ，于是得到结论．
21.【答案】【小题1】如图所示：△ A′B′C′ ，即为所求；
【小题2】点 A′ 的坐标为 (4,0) ，点 B′ 的坐标为 (−1,−4) ，点 C′ 的坐标为 (−3,−1) ；
【小题3】ΔABC 的面积为： 7×4−12×2×3−12×4×5−12×1×7=11.5 ．

【解析】1. 直接利用关于 x 轴对称点的性质，进而得出答案；
2. 直接利用(1)中所画图形得出各点坐标即可；
3. 此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
利用 ΔABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
22.【答案】解：如图，点 P 即为所求．

【解析】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
23.【答案】【小题1】
证明：(1) ∵AB=AC ， ∠BAD=∠CAE ， AD=AE ，
∴ΔABD≅ΔACE(SAS) ；
【小题2】
ΔBOC 是等腰三角形，
理由如下：
∵ΔABD≅ΔACE ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE ，
∴∠OBC=∠OCB ，
∴BO=CO ，
∴ΔBOC 是等腰三角形．

【解析】1. 由“ SAS ”可证 ΔABD≅ΔACE ；
2. 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
由全等三角形的性质可得 ∠ABD=∠ACE ，由等腰三角形的性质可得 ∠ABC=∠ACB ，可求 ∠OBC=∠OCB ，可得 BO=CO ，即可得结论．
24.【答案】【小题1】
证明：连接 BD ，
∵AD 平分 ∠BAC ， DM⊥AB ， DN⊥AC ，
∴DM=DN ，
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴DB=DC ，
在 RtΔBMD 和 RtΔCND 中，
DM=DNBD=DC ，
∴RtΔBMD≅RtΔCND(HL) ，
∴BM=CN ；
【小题2】
在 RtΔAMD 和 RtΔAND 中，
DM=DNAD=AD ，
∴RtΔAMD≅RtΔAND(HL) ，
∴AM=AN ，
∵BM=CN ，
∴AB−AM=AN−AC ，
∴AB+AC=AN+AM ，
∴AB+AC=2AM ，
∴AM=12(AB+AC) ．

【解析】1. 连接 BD ，利用角平分线的性质可得 DM=DN ，再利用线段垂直平分线的性质可得 DB=DC ，然后利用 HL 证明 RtΔBMD≅RtΔCND ，从而利用全等三角形的性质即可解答；
2. 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
利用(1)的结论可证 RtΔAMD≅RtΔAND ，从而可得 AM=AN ，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
25.【答案】解：①若 ΔACP≅ΔBPQ ，
则 AC=BP ， AP=BQ ，
即 9=12−3t 3t=xt ，
解得， t=1 x=3 ；
②若 ΔACP≅ΔBQP ，
则 AC=BQ ， AP=BP ，
即 9=xt 3t=12−3t ，
解得， t=2 x=92 ；
综上所述，当 x=3 或 92 时， ΔACP 与 ΔBPQ 全等．

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分类讨论思想的渗透．
由 ΔACP≅ΔBPQ ，分两种情况：① AC=BP ， AP=BQ ，② AC=BQ ， AP=BP ，建立方程组求得答案即可．
26.【答案】【小题1】
26∘
【小题2】
①当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时， α 与 β 之间的数量关系是 α=β ，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在 ΔBAD 和 ΔCAE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS) ，
∴∠B=∠ACE ，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE ，
∴∠BAC=∠DCE ，
∵∠BAC=α ， ∠DCE=β ，
∴α=β ；
②分三种情况：
(Ⅰ)当 D 在线段 BC 上时， α+β=180∘ ，如图2所示，理由如下：
同理可证明： ΔABD≅ΔACE(SAS) ，
∴∠ADB=∠AEC ， ∠ABC=∠ACE ，
∵∠ADC+∠ADB=180∘ ，
∴∠ADC+∠AEC=180∘ ，
∴∠DAE+∠DCE=180∘ ，
∵∠BAC=∠DAE=α ， ∠DCE=β ，
∴α+β=180∘ ；
(Ⅱ)当点 D 在线段 BC 反向延长线上时， α=β ，如图3所示，理由如下：
同理可证明： ΔABD≅ΔACE(SAS) ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE ， ∠ABD=∠ACD+∠BAC ，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC ，
∴∠BAC=∠DCE ，
∵∠BAC=α ， ∠DCE=β ，
∴α=β ；
(Ⅲ)当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图1所示， α=β ；
综上所述，当点 D 在 BC 上移动时， α=β 或 α+β=180∘ ．

【解析】1.
如图1所示： ∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在 ΔBAD 和 ΔCAE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS) ，
∴∠ACE=∠B=12(180∘−26∘)=77∘ ， BD=CE ，
∴BC+DC=CE ，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE ，
∴∠BAC=∠DCE ，
∵∠BAC=26∘ ，
∴∠DCE=26∘ ，
故答案为： 26∘ ；
2. 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
①证 ΔBAD≅ΔCAE ，推出 ∠B=∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；
②分三种情况：(Ⅰ)当 D 在线段 BC 上时，证明 ΔABD≅ΔACE(SAS) ，则 ∠ADB=∠AEC ， ∠ABC=∠ACE ，推出 ∠DAE+∠DCE=180∘ ，即 α+β=180∘ ；
(Ⅱ)当点 D 在线段 BC 反向延长线上时， α=β ，同理可证明 ΔABD≅ΔACE(SAS) ，则 ∠ABD=∠ACE ，推出 ∠BAC=∠DCE ，即 α=β ；
(Ⅲ)当点 D 在线段 BC 的延长线上时，由①得 α=β ．