浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷 A卷 （含解析）

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浙教版数学 九上 第4章相似三角形 培优测试卷 A卷 （解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．现有一个测试距离为5m的视力表（如图），根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的ab的值为（　　）A．32 B．23 C．35 D．53【答案】D【解析】如图：∵ED∥BC，∴△ABC∽△AED，∴ab=ADAC=53．故选D．2．如图，在平行四边形 ABCD 中，点E是 AB 上任意一点，过点E作 EF∥BC 交 CD 于点F，连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点H，则下列结论中正确的是（　　） A．CFAE=FHAH B．AEBE=CHEF C．ADBH=AEBE D．BECD=FHAH【答案】D【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， EF//BC ， ∴AD=EF=BC ， AE=DF ， BE=CF ．A、 ∵AD//CH ，∴ΔADF∽ΔHCF ，∴ CFDF=FHAF ，即 CFAE=FHAF ，结论A不符合题意；B、 ∵AE//CF ， EF//CH ，∴ΔFCH∽ΔAEF ，∴ AECF=EFCH ，即 AEBE=EFCH ，结论B不符合题意．C、 ∵AD//BH ，∴ΔADF∽ΔHBA ，∴ ADHB=DFAB ，即 ADBH=AEAB ，结论C不符合题意；D、 ∵AB//CD ，∴ΔABH∽ΔFCH ，∴ CFAB=FHAH ，即 BECD=FHAH ，结论D符合题意；故答案为：D.3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（　　）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA【答案】D【解析】A．∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，不符合题意；B．∵△AOD∽△BOC，∴AOBO = ODCO ，∴AOOD = BOCO ．又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，不符合题意；C．∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO=∠ODC．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BDC．∵∠DAC=∠DBC，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，不符合题意；D．无法得出BC•CD=AC•OA，符合题意．故答案为：D．4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ） A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25【答案】D【解析】∵四边形ABCD为平行四边形∴DC=AB，DC∥AB∵DE：CE=2:3∴DE：AB=2:5∵DC∥AB ∴△DEF∽△BAF ∴S△DEFS△ABF=（DEAB）2=425，EFAF=DEAB=25∴S△DEFS△ADF=EFAF=25=410 ∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25故答案为：D.5．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（　　）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】如图所示：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APF∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　） A．2411 s B．95 s C．2411 s或 95 s D．以上均不对【答案】C【解析】设运动时间为ts，则BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，当△BAC∽△BPQ， BPAB ＝ BQBC ，即 t8 ＝ 6−2t6 ，解得t＝ 2411 ；当△BCA∽△BPQ， BPBC ＝ BQAB ，即 t6 ＝ 6−2t8 ，解得t＝ 95 ，综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 2411 s或 95 s，故答案为：C.7．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，连接DF交AC于点G，下列结论： ①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GE•GC；④若AF＝1，则EG＝ 542 ，其中结论正确个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图，连接BE，∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，在△BEC和△DEC中，DC=BC∠DCE=∠BCECE=CE ，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，∴∠ADE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠ADE＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EF＝BE，∴DE＝EF，故①符合题意；∵∠DEF＝90°，DE＝EF，∴∠EDF＝∠DFE＝45°，∵∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，∴∠ADF＝∠AEF，故②符合题意；∵∠GDE＝∠DCG＝45°，∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴DGEG=CGDG ，即DG2＝GE•CG，故③符合题意；如图，过点E作EN⊥AB于点N，∵AF＝1，AB＝3，∴BF＝2，AC＝ 32+32=32 ，∵BE＝EF，∴FN＝BN＝1，∴AN＝2，∴AE=22+22=22 ，∴CE=AC−AE=2 ，将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG，易证△DMG≌△DEG（SAS），△AMG是直角三角形，∴MG＝GE，∴MG2＝EG2＝AM2+AG2＝CE2+AG2，设EG＝x，则AG＝ 22−x ，∴(2)2+(22−x)2=x2 ，解得：x＝ 542 ，即EG＝ 542 ，故④符合题意．故答案为：D．8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：①AE=12CF；②ED2=EP⋅EB；③△PFD∽△PDB；④∠BPD=135∘，其中正确的是( )A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60∘，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘，∴∠ABE=∠DCF=30∘，∴AE=12BE=12CF；故①符合题意；∵PC=CD，∠PCD=30∘，∴∠PDC=75∘，∴∠FDP=15∘，∵∠DBA=45∘，∴∠PBD=15∘，∴∠EDP=∠EBD，∵∠DEP=∠DEP，∴△DEP∽△BED，∴EPED=EDEB，即ED2=EP⋅EB，故②符合题意；∵∠FDP=∠PBD=15∘，∠ADB=45∘，∴∠PDB=30∘，而∠DFP=60∘，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③不符合题意；∵∠PBD=15∘，∠PBD=30∘，∴∠BPD=135∘，故④符合题意；故答案为：C．9．如图，AB是 ⊙ O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，FC=1，则AC的长是（　　） A．522 B．352 C．453 D．523【答案】B【解析】连接BC，∵AB是 ⊙ O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∵BF⊥CD，∴∠CFB=90°，∴∠CBF+∠BC=90°，∴∠ACE=∠CBF，∵AE⊥CD，∴∠AEC=∠CFB=90°，∴△ACE∼△CBF ，∴AEBC=CEBF ，∵FB=FE=2，FC=1，∴CE=CF+EF=3， BC=CF2+BF2=12+22=5 ，∴AC5=32 ，∴AC=352 ，故答案为：B.10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ 65 ，则AC：AD的值是（　　） A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8【答案】B【解析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：∵A（3，3 3 ），B（6，0），∴AF＝3 3 ，OF＝3，OB＝6，∴BF＝3，∴OF＝BF，∴AO＝AB，∵tan∠AOB＝ AFOF ＝ 3 ，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，∴∠CED＝∠OAB＝60°，∴∠OCE＝∠DEB，∴△CEO∽△EDB，∴OEBD ＝ CEED ＝ COBE ，∵OE＝ 65 ，∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ 65 ＝ 245 ，设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，则 656−b ＝ ab ， 6−a245 ＝ ab ，∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，∴ab ＝ 23 ，即AC：AD＝2：3.解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 365 ，△DEB周长 545 ，∴相似比就是2：3，∴CE：DE＝2：3，即AC：AD＝2：3.故答案为：B.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，一等腰三角形，底边长是21厘米，底边上的高是21厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第　 　个.【答案】6【解析】设这张正方形纸条是第n张.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=21−3n21=321 ，解得：n=6.故答案为：6.12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=　 　．【答案】【解析】∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴DEAD=BDAB ，即 3AB=25 ，∴AB= 152 ，∵AB=AC，∴AC= 152 ，故答案为： 152 ，13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=9，BP=13BC=2，D在AC上，且∠APD=∠B，则CD=　 　． 【答案】89【解析】∵BP=13BC=2，∴BC=6，∴CP=BC-BP=4.∵AB=AC=9，∴∠B=∠C，∴∠BAP+∠APB=180°-∠B.∵∠APD=∠B，∴∠APB+∠DPC=180°-∠APD=180°-∠B，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴ABPC=BPCD，∴94=2CD，∴CD=89.故答案为：89.14．如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则ΔABC的面积为　 　．【答案】16【解析】由题意得：DE∥MF，所以△BDE∽△BMF，所以 BDBM=DEMF，即 BDBD+1=24，解得BD=1，同理解得：AN=6； 又因为四边形DENC是矩形， 所以DE=CN=2，DC=EN=3，所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，ΔABC的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.故答案为16.15．如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形.如果△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，那么S1S2的值等于　 　.【答案】5【解析】由图可知AB=12+12=2，BC=2，AC=32+12=10∵△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，可如图所示作出△DEF， △GHI，∴DE=12+22=5，DF=12+32=10，FE=32+42=5所以DEAB=EFBC=DFAC=52=102∴△DEF∽△BAC∴S△DEFS△ABC=DE2AB2=52同理可得GH=1，HI=2，GI=5且△HGI∽△BAC∴S△HGIS△ABC=HG2AB2=12∴S△HGI：S△ABC：S△DEF=1：2：5综上所述：S1S2=5故答案为：5.16．如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连接AE、DE得等边△AED，若 ABCD=23 ，则 CEBE ＝　 　. 【答案】14【解析】延长CB至M，使∠AMB＝60°，延长BC至N，使∠DNC＝60°，如图所示：∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABM＝∠DCN＝90°，∴∠BAM＝∠CDN＝30°，∴BM＝ 12 AM，CN＝ 12 DN，△ABM∽△DCN，∴AMDN=ABCD=23 ，设AM＝2a，则DN＝3a，BM＝ 12 AM＝a，CN＝ 12 DN＝ 32 a，∵△AED是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠AEM+∠NED＝120°，∵∠MAE+∠AEM＝120°，∴∠MAE＝∠NED，在△AME和△END中， ∠AME=∠DNC∠MAE=∠NEDAE=ED ，∴△AME≌△END（AAS），∴AM＝EN＝2a，ME＝ND＝3a，∴BE＝ME﹣BM＝2a，CE＝2a﹣ 32 a＝ 12 a，∴CEBE=14 ；故答案为： 14 .三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）α＝　 　 ，它们的相似比是　 　．（2）求边x、y的长度．【答案】（1）83°；32（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴x8=y11=32 ，解得，x＝12，y＝ 332 ．【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，它们的相似比为： 96=32 ，故答案为：83°； 32 ；18．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF；（2）若∠A=40°，求∠FME的度数．【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点， ∴ME= 12 BC，MF= 12 BC，∴ME=MF；（2）解：∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵MF=MB，ME=MC，∴∠MFB=∠ABC，∠MEC=∠ACB，∴∠BMF+∠CME=360°-140°×2=80°，∴∠FME=180°-80°=100°．19．已知，四边形 ABCD 的两条对角相交于点 P ， ∠ADB=∠BCA . （1）求证： △ADP∽△BCP .（2）若 DC=AP=6 ， DP=3 ，求 AB 的长.【答案】（1）证明： ∵∠ADB=∠BCA ，且 ∠DPA=∠CPB ， ∴△ADP∽△BCP.（2）解：由（1）得： △ADP∽△BCP ， ∴DPAP=CPBP ，且 ∠DPC=∠APB ，∴△DCP∽△ABP ，又∵CD=6 ， DP=3 ， AP=6 ，∴6AB=36 ，解得 AB=12 .20．如图， △ABC 中，点D在 AC 边上，且 ∠BDC=90∘+12∠ABD ． （1）求证： DB=AB ； （2）点E在 BC 边上，连接 AE 交 BD 于点F，且 ∠AFD=∠ABC ， BE=CD ，求 ∠ACB 的度数． （3）在（2）的条件下，若 BC=16 ， △ABF 的周长等于30，求 AF 的长． 【答案】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋ 12 ∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A， ∴ ∠A＝90°－ 12 ∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°， ∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－ 12 ∠ABD．∴ ∠A＝∠BDA＝90°－ 12 ∠ABD．∴DB＝AB．（2）解：如图1，作CH＝BE，连接DH， ∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）解：如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O． ∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴BFBD=BEBH=EFDH=16−xx ．∴BF=16−xxBD=16−xxAB ，EF=16−xxDH=(16−x)2x ．∵△ABF的周长等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋ 16−xxAB ＋x－ (16−x)2x =30，解得AB＝16－ x8 ．在Rt△ACO中，AC＝ x2 ，AO＝ 3x2 ，∴BO＝16－ x2 ．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即 x4x2+(16−x2)2=(16−x8)2 ．解得 x1=0 （舍去） x2=25621 ．∴AC＝ 25621 ．∴AF＝11．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，点P是边AC上的一个动点，∠APD＝∠ABC，AD∥BC，连接CD．（1）求证AD＝2AP； （2）如图①，若BA与CD的延长线交于点M，AP＝1，求AM的长； （3）如图②，若AB与DC的延长线交于点N，当△CDP与△BCN相似时，求证点P是AC的中点． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠DAP＝∠ACB又∵∠APD＝∠ABC∴△DAP∽△ACB∴ADAC=APBC∴AD10=AP5∴AD＝2AP（2）解：∵AP＝1， ∴AD＝2AP＝2∵AD∥BC∴△MAD∽△MBC∴AMMB=ADBC∴AMAM+10=25∴AM＝ 203（3）解：∵∠APD＝∠ABC ∴∠CPD＝∠CBN又∵∠ACP＞∠N∴当△CDP与△BCN相似时，只能是△CPD∽△CBN设AP＝x，BN＝y，则AD＝PD＝2x，CP＝10﹣x∵△CPD∽△CBN，∴BNDP=BCCP ，∴y2x=510−x∵AD∥BC，∴△NBC∽△NAD，∴BNNA=BCAD ，∴y10+y=52x联立两个方程后，解出x＝5，∴点P是AC的中点22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若 AFEF =3，求 CDCG 的值．（1）尝试探究 在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是　 　，CG和EH的数量关系是　 　， CDCG 的值是　 　．（2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若 AFEF =m（m＞0），求 CDCG 的值（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若 ABCD =a， BCBE =b，（a＞0，b＞0），则 AFEF 的值是　 　（用含a、b的代数式表示）．【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH；32（2）解：如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB． ∴ABEH = AFEF =m，∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴CGEH=BCBE =2，∴CG=2EH．∴CDCG = mEH2EH = m2（3）ab【解析】（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示． 则有△ABF∽△EHF，∴ABEH=AFEF=3 ，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．CDCG = ABCG = 3EH2EH = 32 ．故答案为：AB=3EH；CG=2EH； 32 ．3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴CGEH=BCBE =b，∴CD=bEH．又 ABCD =a，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴AFEF = ABEH = abEHEH =ab，故答案为：ab．23．（1）【证明体验】 如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，在AC上取一点P，连结AP，BP，CP，求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；（2）【思考探究】 如图2，在（1）条件下，若点P为AC的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；（3）【拓展延伸】如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP＝∠E，求AP⋅PE的值.【答案】（1）证明：∵AB＝AC， ∴AB=AC，∴∠ABC＝∠APB，∵∠PAC＝∠PBC，∠PCA＝∠PBA，∴∠PAC＋∠PCA＝∠ABC，∴∠APB＝∠PAC＋∠PCA.（2）解：延长BP至点D，使得PD＝PC， ∵若点P为AC的中点，∴AP=CP，∴AP＝CP，∠PAC＝∠PBA＝∠PCA，∴AP＝DP，∠APB＝2∠PBA，∴∠PAD＝∠D，∴∠APB－2∠PAD＝2∠D，∴∠PBA＝∠PAD＝∠D，∴AD＝AB＝6，∵∠D＝∠D，∴△ADP∽△BDA，∴ADBD=DPAD∴6AP+5=AP6，∴AP=−9（舍去）或AP=4.∴PA的值为4.（3）解：连结OC，OP，过点C作CH⊥BP于点H， ∵OC＝OP＝5＝CP，∴△OCP为等边三角形，∴∠PBC=12∠POC=30°，∵BC＝6，∴CH=12BC=3，BH=cos30°BC=33，∴PH=PC2−CH2=4，∴BP=4+33，∵∠E＝∠ABP，∠BAP＝∠PCE，∴△ABP∽△CEP，∴APCP=PBPE，∴AP⋅PE=PB⋅CP=20+153.24．有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.（1）【理解运用】如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求点C到AD的距离；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；（3）【拓展提升】在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 AEBE ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式.【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F. ∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE＝ AB2−BE2 ＝ 52−32 ＝4，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴EBCF ＝ ABCD ，∴3CF ＝ 54 ，∴CF＝ 125 ，（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形. 理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM.∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形.（3）解：如图③中，过点D作DH⊥x轴于H. ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2 2 ，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴BEAB ＝ AEBE ，∴AEBE ＝ AD4 ，∴u＝ AD4 ，设D（x，t），由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△ADH中，AD＝ AH2+AD2=(x+1)2+t2 ＝2 t ，∴u＝ AD4 ＝ t2 （0＜t＜4），即u＝ t2 （0＜t＜4）