2023年天津市中学数学九上期末联考试题

这是一份2023年天津市中学数学九上期末联考试题，共18页。试卷主要包含了已知⊙O的半径为4cm，下列命题错误的是，若反比例函数的图象上有两点P1，代数式有意义的条件是，下列方程是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
2．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知AC=3，CD=2，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O上
C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定
5．下列命题错误的是 ( )
A．经过三个点一定可以作圆
B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
6．若反比例函数的图象上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那么（ ）
A．y1＞y2＞0B．y2＞y1＞0C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
7．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（ ）
A．B．2C．1.5D．
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（ ）
A．0或4B．或C．1或5D．无实根
9．代数式有意义的条件是（ ）
A．B．C．D．
10．下列方程是一元二次方程的是( )
A．B．C．D．
11．如图，在平面直角坐标系中，点， 将沿轴向右平移得,此时四边形是菱形，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
12．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为180°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．30cm
二、填空题（每题4分，共24分）
13．设、是关于的方程的两个根，则__________．
14．若，则______．
15．关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，则m的取值范围是__________．
16．方程x2﹣9x＝0的根是_____．
17．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．
18．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是____.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线的“方点”的坐标；
（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与轴相交于、两点（在左侧），与轴相交于点，连接.若点是直线上方抛物线上的一点，求的面积的最大值；
（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由.
21．（8分）如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
22．（10分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若△PAB的面积为4，求点P的坐标．
23．（10分）如图，在中，AC=4，CD=2，BC=8，点D在BC边上，
(1)判断与是否相似?请说明理由.
(2)当AD=3时，求AB的长
24．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝1
（2）5x2+2x﹣1＝1．
25．（12分）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
26．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线y=x与BC边相交于D．
（1）求点D的坐标：
（2）若抛物线y=ax＋bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式：
（3）P为x轴上方（2）题中的抛物线上一点，求△POA面积的最大值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得 p=﹣1．
故选C．
考点：一元二次方程的解
2、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵DE∥BC，∴，故本选项正确；
B、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故本选项错误；
D、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误．
故选：A．
本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答的关键．
3、A
【分析】利用直角三角形的斜边中线与斜边的关系，先求出AB，再利用直角三角形的边角关系计算csA．
【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=4,
∴csA==.
故选A.
本题考查了直角三角形斜边的中线与斜边的关系、锐角三角函数．掌握直角三角形斜边的中线与斜边的关系是解决本题的关键．在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．
4、A
【分析】根据点与圆的位置关系判断即可.
【详解】∵点P到圆心的距离为3cm，
而⊙O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内，
故选：A．
此题考查的是点与圆的位置关系,掌握点与圆的位置关系的判断方法是解决此题的关键.
5、A
【解析】选项A，经过不在同一直线上的三个点可以作圆；选项B，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；选项C，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；选项D，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选A.
6、A
【详解】∵点P1（1，y1）和P2（2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1=1，y2=，
∴y1＞y2＞1．
故选A．
7、B
【详解】解：∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACB=30°，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，∴∠OAE=∠FCO，
在△AOE和△COF中，∵∠OAE=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=AE，
∴=2，
故选B．
本题考查翻折变换（折叠问题）．
8、B
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点，由于方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37=0的根为.
【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点
所以抛物线经过点
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为.
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9、B
【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：B
本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开方数大于等于1．
10、B
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：选项：是一元一次方程，故不符合题意；
选项：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；
选项：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
选项：不是整式方程，故不符合题意；
综上，只有B正确．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．
11、A
【分析】首先由平移的性质，得出点C的纵坐标，OA=DE=3，AD=OE，然后根据勾股定理得出CD，再由菱形的性质得出点C的横坐标，即可得解.
【详解】由已知，得点C的纵坐标为4，
OA=DE=3，AD=OE
∴
∵四边形是菱形
∴AD=BC=CD=5
∴点C的横坐标为5
∴点C的坐标为
故答案为A.
此题主要考查平面直角坐标系中，根据平移和菱形的性质求解点坐标，熟练掌握，即可解题.
12、D
【分析】根据底面周长=展开图的弧长可得出结果．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=30（cm），
即这个圆锥的底面半径为30cm．
故选：D．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=1
故答案为1．
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．
14、-1
【分析】由可得，，再代入代数式计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 原式＝，
故填：－1．
本题考查比例的基本性质，属于基础题型．
15、m＞﹣
【分析】根据根的判别式，令△＞0，即可计算出m的值．
【详解】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，
∴△＝1﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＞0，
解得m＞﹣．
故答案为﹣．
本题考查了一元二次方程系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键．
16、x1＝0，x2＝1
【分析】观察本题形式，用因式分解法比较简单，在提取x后，左边将变成两个式子相乘为0的情况，让每个式子分别为0，即可求出x．
【详解】解：x2﹣1x＝0
即x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案为x1＝0，x2＝1．
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的应用．
17、5．
【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分 N在矩形ABCD内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，
∴∠MAB＝∠MNB＝90°．
∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，
∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，
∴只有∠BNC＝90°．
①
当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图3．
∵∠BNC＝∠MNB＝90°，
∴M、N、C三点共线，
∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，
∴NC＝4．
设AM＝MN＝x，
∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，
∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，
35+（5﹣x）5＝（4+x）5，
解得x＝3；
当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图5．
∵∠BNC＝∠MNB＝90°，
∴M、C、N三点共线，
∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，
∴NC＝4，
设AM＝MN＝y，
∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，
∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，
35+（y﹣5）5＝（y﹣4）5，
解得y＝9，
则所有符合条件的M点所对应的AM和为3+9＝5．
故答案为5．
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．
18、
【解析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，
故答案为：．
本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
三、解答题（共78分）
19、截去的小正方形的边长为2cm．
【分析】由等量关系：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解
【详解】设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣1x2=80%×10×8，
80﹣1x2=61，
1x2=16，
x2=1．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
20、（1）抛物线的方点坐标是，；（2）当时，的面积最大，最大值为；（3）存在，或
【分析】(1)由定义得出x=y，直接代入求解即可
(2)作辅助线PD平行于y轴，先求出抛物线与直线的解析式，设出点P的坐标，利用点坐标求出PD的长，进而求出面积的二次函数，再利用配方法得出最大值
(3)通过抛物线与直线的解析式可求出点B，C的坐标，得出△OBC为等腰直角三角形，过点C作交x轴于点M，作交y轴于点N，得出M，N的坐标，得出直线BN、MC的解析式然后解方程组即可.
【详解】解：（1）由题意得：∴
解得，
∴抛物线的方点坐标是，.
（2）过点作轴的平行线交于点.
易得平移后抛物线的表达式为，直线的解析式为.
设，则.
∴
∴
∴当时，的面积最大，最大值为.
(3)如图所示，过点C作交x轴于点M，作交y轴于点N
由已知条件得出点B的坐标为B(3,0)，C的坐标为C(0,3)，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴可得出M、N的坐标分别为：M(-3,0)，N(0,-3)
直线CM的解析式为：y=x+3
直线BN的解析式为：y=x-3
由此可得出：或
解方程组得出：或
∴或
本题是一道关于二次函数的综合题目，解题的关键是根据题意得出抛物线与直线的解析式.
21、见解析
【分析】连接AA′，作AA′的垂直平分线得到它的中点O，则点O为对称中心，延长BO到B′，使OB′=OB，延长CO到C′，使OC′=OC，则△A′B′C′满足条件．
【详解】如图，点O和△A′B′C′为所作．
本题考查了根据旋转变化作图的知识，根据作线段的垂直平分线找到对称中心是解决问题的关键．
22、（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）P点坐标为（1﹣，2），（1+，2）
【分析】（1）当时，可求点A，点B坐标，当，可求点C坐标；
（2）设点P的纵坐标为，利用三角形面积公式可求得，代入y=﹣x2+2x+3即可求得点P的横坐标，从而求得答案.
【详解】（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，
令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
则A（﹣1，0），B（3，0），
令，得到y=﹣x2+2x+3=3，
则C点坐标为（0，3）；
故答案为：A（﹣1，0），B（3，0），（0，3）；
（2）设点P的纵坐标为，
∵点P为抛物线上位于x轴上方，
∴，
∵△PAB的面积为4，
∴，
解得：，
∵点P为抛物线上的点，
将代入y=﹣x2+2x+3得：﹣x2+2x+3=2，
整理得x2﹣2x﹣1=0，
解得：x1=1﹣，x2=1+，
∴P点坐标为：（1﹣，2），（1+，2）．
本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键．
23、（1），见解析；（2）
【分析】（1）由 可得 以及∠C=∠C可证；
（2）由可得，即可求出AB的长.
【详解】解：（1）理由如下：
∵AC=4，CD=2，BC=8，
∴，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴，
（2）∵，
∴，
∴；
本题考查了相似三角形的判定及运用，掌握相似三角形的判定及运用是解题的关键.
24、（1）x1=-2，x2=6；（2）x1=，x2=
【分析】（1）先移项，两边再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2-4ac的值，代入公式求出即可．
【详解】（1）(x-2)2-16=1，
(x-2)2=16，
两边开方得：x-2=±4，
解得：x1=-2，x2=6；
（2）5x2+2x-1=1，
b2-4ac=22+4×5×1=24，
x=，
∴x1=，x2=
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查了学生的计算能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
25、 (1)1;(2)-1
【分析】（1）根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把a=2cm，b=3cm，d=6cm代入进行计算即可；
（2）设=k，得出a=2k，b=3k，c=1k，代入a+b-5c=15，求出k的值，从而得出c的值．
【详解】（1）∵a，b，c，d是成比例线段
∴，
即，
∴c=1；
（2）设=k，则a=2k，b=3k，c=1k，
∵a+b-5c=15
∴2k+3k-20k=15
解得：k=-1
∴c=-1．
此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
26、（1）(4，3)；（2）y=x+x；（3）
【分析】（1）根据矩形的性质可知点D的纵坐标为3，代入直线解析式即可求出点D的横坐标，从而可确定点D的坐标；
（2）直接将点A、D的坐标代入抛物线解析式即可；
（3）当P为抛物线顶点时，△POA面积最大，将抛物线解析式化为顶点式，求出点P的坐标，再计算面积即可．
【详解】解：（1）设D的横坐标为x,则根据题意有3=x，则x=4
∴D点坐标为（4，3）
（2）将A（6，0），D(4,3)代入y=ax＋bx中，得
解得：
∴此抛物线的表达式为：y=x+x；
（3）由于△POA底边为OA=6，
∴当P为抛物线顶点时，△POA面积最大
∴
∴
∴的最大值为
本题是一道二次函数与矩形相结合的题目，熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…