02等比数列-浙江省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份02等比数列-浙江省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知实数是2、8的等比中项，则（ ）
A．B．C．4D．5
2．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2023上·浙江宁波·高二期末）某汽车集团公司大力发展新能源汽车，已知2021年全年生产新能源汽车4500辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量是前一年的，那么2030年全年生产新能源汽车（ ）
A．辆B．辆
C．辆D．辆
4．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点，则（ ）
A．，，始终成等比数列
B．，，始终成等比数列
C．，，始终成等比数列
D．，，始终成等比数列
6．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列是递增的等比数列，，，则公比（ ）
A．B．1C．D．
7．（2023上·浙江金华·高二统考期末）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增
8．（2023上·浙江金华·高二统考期末）小芳“双”以分期付款的方式购买一台标价元的笔记本电脑，购买当天付了元，以后的八个月，每月日小芳需向商家支付元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息（月利率为），若月算分期付款的首月，则第个月小芳需要给商家支付（ ）
A．550元B．560元C．570元D．580元
9．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,……（也可表示为30,30,31,30,31,32,30,31,32,33,….,30,31……3k-1）若该数列的前n项和为Sn,则满足60≤Sn≤1600的整数n的个数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
10．（2023上·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）等比数列中，，，记为数列的前项积，则的最大值是（ ）
A．256B．512C．1024D．2048
二、多选题
11．（2022上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数（k，b为常数）的图象上，则为等差数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
12．（2022上·浙江台州·高二校考期末）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列判断正确的是（ ）
A．第2列，，必成等比数列
B．第1列，，不一定成等比数列
C．
D．若9个数之和等于9，则
13．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）记数列的前项和为，，，则（ ）
A．可能是常数列
B．可能是等比数列
C．可能是等差数列
D．可能既不是等差数列，也不是等比数列
14．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）设正项等比数列的前项和为，前项积为，公比为，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为递增数列，则
C．
D．若为递减数列，当且仅当时，取得最大值
15．（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
16．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数（互素是指两个整数的公约数只有1），例如，，，则（ ）
A．B．数列是递增数列
C．的前10项中最大项为第3项D．的前项和，则
17．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则
18．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）记为等比数列的前项和，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．成等比数列D．成等比数列
三、填空题
19．（2022上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知数列的首项，前n项和为，若，则 ．
20．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则 ．（，，）
21．（2023上·浙江台州·高二台州市书生中学校考期末）数列满足，且，则
22．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）在等比数列中，，则数列的前5项和是 .（用具体数字作答）
23．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知数列满足：，且数列是等比数列，数列是等差数列，试写出数列的一个通项公式： ．
四、解答题
24．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知等差数列满足，数列是等比数列，数列的前项和，
(1)求数列和的通项；
(2)求数列的前n项和.
25．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）设正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
26．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知数列的前n项和为，，；
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)令，求数列的前n项和．
27．（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，对任意正整数n，恒成立，试求m的取值范围．
28．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
29．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年（2023年）起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的以创收.记2023年为第一年，为第年末林区面积（单位：千平方公里）.
(1)确定与的递推关系（即把用表示）；
(2)证明：数列是等比数列，并求；
(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？
30．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，设数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
31．（2023上·浙江台州·高二期末）已知数列为等比数列，且．数列的前n项和记为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
32．（2023上·浙江宁波·高二期末）记，已知数列和分别满足：．
(1)求的通项公式；
(2)求．
33．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
五、应用题
34．（2023上·浙江宁波·高二期末）为了促销，某大型电器商场，对某种型号的进口电视机销售进行分期付款，规定：现场购买时先付款，其余的在2年（24个月，不得提前）内每月（首付日后的第30天）固定支付等额数量的钱（设A元），以一月为一期计算复利，已知此电视机每台售价为24000元，月息0.45%．[温馨提示：分期付款公平交易原则：余款和分期付款的已付款均有利息收入．]
(1)若有本金18000元，月息0.45%，复利计，求经过24个月后的本息和；（精确到1元）
(2)求A的值．（精确到1元）
（可用参考数据：）
参考答案：
1．A
【分析】由等比中项的定义列方程求解即可.
【详解】因为实数是2、8的等比中项，
所以，得，
故选：A
2．B
【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案.
【详解】当时，，故，，
当时，，分以下几种情况，
当时，，此时；
当时，，此时，
当时，，此时；
当时，，此时；
故当时，与可正可负，故排除A、C.
当时， ，故， ；
当时，，由于与同号，故，
所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；
故选：B
3．C
【分析】依题意知产量符合等比数列，且公比，首项为4500，利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】依题意知产量符合等比数列，且公比，首项为4500，
故2030年产量为．
故选：C.
4．D
【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
A选项，时，，图象符合.
B选项，时，，图象符合.
C选项，时，，图象符合.
D选项，由图可知，都是负数，所以，
但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合.
故选：D
5．A
【分析】联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得弦长，由等比中项性质判断等比数列即可.
【详解】由题意知，直线l斜率存在，设OP方程为，则AM的方程为，则，.
设直线或，则该直线必与椭圆存在交点，设为，
由得，
则，
则直线与椭圆交得的弦长为.
当时，该弦长为；
当时，该弦长为，即.
∵，∴，，成等比数列.
故选：A
6．C
【分析】由方程利用等比数列的性质先求，再代入，联立方程组求出.
【详解】已知，所以，解得，即①；
又，则，即②；又，
由①②得，所以，解得或.
因为数列是递增的等比数列，所以.
故选：C.
7．D
【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.
【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为，
由题意，得，
时，，有，，数列单调递增，A选项错误；
时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误；
时，，解得，
时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误；
时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性.
8．B
【分析】准确理解题意，代入数据计算即可.
【详解】第3个月小芳需要给商家支付元.
故选：B.
9．B
【分析】对新定义的数列进行分组,分析出组内的个数,组中项的和,组内最后一项,及所有项的和,找到规律后,计算所有项的和,计算其距离60,1600最近的正整数,分析这些项的前后,求出60≤Sn≤1600的整数n的范围,进而计算个数即可.
【详解】由题记第一组数为:1,个数为1,和为1,最后一个数为第1项,;
第二组数为:1,3,个数为2,和为,
最后一个数为第1+2项,;
第三组数为:1,3,9,个数为3,和为,
最后一个数为第1+2+3项,;
第四组数为:1,3,9,27,个数为4,和为,
最后一个数为第1+2+3+4项,;
;
第组数为:1,3,9,27,,,个数为,和为,
最后一个数为第项,
,
因为,所以,
由60≤Sn≤1600可知,从开始计数,
因为,第28项是第七组的最后一项,
第七组的数为:1,3,9,27,,,
所以,
所以要满足60≤Sn≤1600,则,,
故n的个数为个.
故选:B
【点睛】方法点睛:该题考查数列的综合应用,属于难题,关于数列新定义中有循环规律题的方法有:
(1)根据定义多写几项,找到规律;
(2)根据循环的节点进行分组;
(3)分别分析组中的项的规律、组内个数、和、最后一项等关键信息;
(4)再代入到题中,分析问题即可.
10．C
【分析】根据等比数列的通项公式求出和，得和，再根据二次函数知识与指数函数单调性可求出结果.
【详解】设公比为，由，得，
所以，
所以，
因为，
所以当或时，取得最大值，
又，所以的最大值是.
故选：C
11．ABC
【分析】直接利用数列的递推关系式，等差数列和等比数列的定义判断A，B，C，D的结论．
【详解】对于A：点在函数，为常数）的图象上，故，
故（常数），则为等差数列，故A正确；
对于B：由于数列为等差数列，所以（常数），
故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；
对于C：若为等差数列，，所以，则，
又，所以，故，所以公差，
所以等差数列递减，则当时，，当时，，
则当时，最大，故C正确；
对于D：由于，当时，整理得，
当时，，故，
经检验，不满足上式，
故，故选项D错误．
故选：ABC．
12．ABC
【分析】先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：，由、、成等比数列，代入计算可判断A；再由，可判断C；再由题意设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断BD.
【详解】依题意，设由9个正数组成的矩阵是：，
由、、成等比数列，
则有，即，因此，A正确；
又，C正确；
令满足条件的9个正数组成的矩阵是：，显然第一列数不成等比数列，B正确；
由若9个数之和等于9，得，而必成等比数列，
因此，即，所以，则D错误.
故选：ABC
13．BCD
【分析】根据题意求得或，且或，结合选项，利用等差、等比数列的定义及性质，逐项判定，即可求解.
【详解】因为数列的前项和为，，且，
所以，可得，解得或，
又因为，可得，
两式相减得，即，
可得或，
对于A中，因为，或，所以数列不可能为常数列，所以A不正确；
对于B中，当时，数列满足且，
即，满足，所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以B正确；
对于C中，当时，数列满足且，
可得满足，所以数列为以为首项，为公差的得出数列，
所以C正确；
对于D中，当时，数列满足且，
由，不满足，则数列不是等比数列，
当时，数列满足且，
由，不满足，则数列不是等差数列，
即数列可能既不是等差数列，也不是等比数列，所以D正确.
故选：BCD.
14．BC
【分析】结合题意，利用等比数列的性质逐项进行求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，所以，又因为，
所以或，
当时，则，解得或（舍去），
则，
当时，则，解得或（舍去），
则，
综上，故选项A错误，C正确；
若为递增数列，则，，，
即，，故，故选项B正确；
若为递减数列，则，，，，，，
故当且仅当或时，取得最大值，故选项D错误；
故选：BC.
15．AC
【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C，D.
【详解】因为，
所以，，，又，
所以，，，故A正确；
因为，，所以不是等比数列，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
16．ABD
【分析】根据欧拉函数的定义求出，故A正确；根据欧拉函数的定义求出，由可得数列是递增数列，故B正确；根据数列的第一项大于第三项可知C不正确；根据错位相减法求出，可知，故D正确.
【详解】对于A，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，故A正确；
对于B，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，因为，所以，所以数列是递增数列，故B正确；
对于C，由B知，，所以，第一项为，第三项为，，故C不正确；
对于D，由C知，，
则，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，因为，
所以，故D正确.
故选：ABD
17．BC
【分析】由前项和求得后判断AB，根据等差数列、等比数列的性质判断CD．
【详解】选项A，时，，
，，，，不是等差数列，A错；
选项B，，
时，，，，
，是等比数列，B正确；
选项C，若是等差数列，则，C正确；
选项D，若，则，
，而，D错误，
故选：BC．
18．AB
【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.
【详解】设等比数列公比为，则有，
所以，所以是以为公比的等比数列，A正确；
，所以是以为公比的等比数列，B正确；
若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误；
若公比，且为偶数，则都等于0，
此时不能构成等比数列，D错误.
故选:AB.
19．
【分析】将替换为得到新等式，然后两式作差得到时为等比数列，注意检验是否满足，由此可求的通项公式.
【详解】因为，
所以,
两式相减可得，所以，
又因为，所以，
当时，，
当时，不符合的情况，
所以，
故答案为：.
20．1472
【分析】根据条件建立等量关系，构造新数列求通项即可.
【详解】由题意可得，所以，
即，
故.
故答案为：1472.
21．
【分析】由，得，即，从而可得数列是以为公比的等比数列，再根据即可得解.
【详解】因为，得，
所以，
又因，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
则，
所以.
故答案为：.
22．3968
【分析】利用求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案.
【详解】设公比为，因为，所以，解得；
所以数列的前5项和为.
故答案为：3968.
23．（答案不唯一）.
【分析】因为数列是等差数列，取为非零常数列，所以令为非0常数且），即可求出是通项公式，再验证数列是等比数列即可.
【详解】解：因为数列是等差数列，取为非零常数列，
令为非0常数且），
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，此时是等比数列，符合题意，
事实上，取皆符合．
例如，则，此时，为等比，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
24．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意求得，结合等差、等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比的值，即可求解；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由数列的前项和，
当时，可得
可得， 因为，所以
则，解得或，
当时，可得，；
当时，可得，，
此时当时，，可得，不符合题意，（舍去）；
即数列和的通项，.
（2）解：由（1）得，
可得，
则
两式相减得，
所以.
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据推出，再由等差数列的通项公式可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
整理得.
26．(1)见解析
(2)
(3).
【分析】（1）变型可得，从而可得为等差数列；
（2）由（1）进而求得，根据与的关系可得；
（3）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1）因为，
则有，
两边同时除以得：，，，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
（2）由（1）得，则，
当时，，
符合上述通项式，
故.
（3），
①
②
①②得：
即，
得.
27．(1)
(2)
【分析】(1)根据等差中项和等比数列的通项公式求解；
(2)利用错位相减法求和，再分离参变量可得即可求m的取值范围.
【详解】（1）设公比为，
因为是，的等差中项，所以，
又因为，所以解得，
所以由可得，
整理得解得或（舍），
又因为，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）,
,
,
所以，
所以，
因为恒成立，所以，
所以，
所以，
所以即，
因为，所以，
所以.
28．(1)
(2)
【分析】(1)根据递推公式可得：是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解；
(2)结合（1）的结论得出，利用分组求和和错位相减法即可求解.
【详解】（1）由可知，
两边同减1可得，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即.
（2）由（1）可知，
所以
记
两式作差可得
所以.
因此.
29．(1)
(2)证明见解析，
(3)经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里
【分析】（1）根据题意分析即可得出答案；
（2）由（1）得，证明为定值即可，再根据等比数列的通项即可得出答案；
（3）由题意可得，解不等式即可.
【详解】（1），
，
；
（2），
且，
所以数列是以为公比的等比数列，
，
所以；
（3）由（2）知，
解得，
当时，，
当时，，
经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.
30．(1)，
(2)
【分析】（1）由条件求等差数列基本量，即可求通项公式，由与的关系求得；
（2）由错位相减法求和.
【详解】（1）等差数列中，∴.
当，，又，故；
（2），
①，
②，
则①-②得.
∴.
31．(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知结合等比数列通项，即可求出等比数列公比，即可根据等比数列定义得出其通项，根据再，结合已知即可得出当时的通项，再验证满不满足即可得出答案；
（2）根据第一问得出的通项得出，根据不等式或函数得出在上的最小值即可得出答案.
【详解】（1）设数列的公比为，
，即，
，
，
；
，
，且，
则当时，，则；
当时，满足上式，
；
（2），，，
，
记，则，
当，，则；
当时，，则．
．则．
32．(1)；
(2)
【分析】(1)根据题意可知数列的前项和，进而可求解的通项公式；而即可求解；
(2) 由（1）知，结合错位相减法求解即可.
【详解】（1）设，则
当时，；
当时，．
经检验，当时，满足，所以；
当时，；当时，，
当时，满足，所以．
（2）由（1）知，则
，①
，②
由①-②相减得：
故
33．(1)
(2)
【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解；
(2)分组求和.
【详解】（1）由题知
即解得，
所以.
（2）
.
34．(1)20052
(2)792
【分析】（1）根据复利计算本息和的规则，结合等比数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列的求和公式建立方程关系即可得到结论．
【详解】（1）经过1个月后本息和为：，
经过2个月后本息和为：
……
经过24个月后本息和为：；
（2）设每月付款金额A，月息，则
经过1个月后本息和为：A，
经过2个月后本息和为：，
经过3个月后本息和为：
……
经过24个月后本息和为：，
所以，得．