04直线和圆的方程-湖南省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份04直线和圆的方程-湖南省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）若直线与直线交于点M，则M到坐标原点距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖南永州·高二统考期末）已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·湖南永州·高二统考期末）下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）直线的斜率为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2023上·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）与两圆和都相切的直线有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
9．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）直线与直线垂直，则等于（ ）
A．2B．C．1D．
10．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知点是直线上一点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
二、多选题
11．（2023上·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．不存在实数m使得直线与直线垂直
C．对于任意，直线l：与圆相交
D．若直线过第一象限，则，
12．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）若圆和圆的交点为、，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段的中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．与和都相切的两条直线交于点
13．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）已知直线，其中为实常数，则（ ）
A．直线过一定点
B．无论m取何值，直线不经过原点
C．当时，直线与轴交于它的负半轴
D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是
14．（2023上·湖南长沙·高二统考期末）已知点、，直线l经过点且与线段相交，则直线l与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不好确定
15．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的圆心坐标为B．圆C与y轴相切
C．直线l过定点D．直线l与圆C相交
16．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线在两坐标轴上的截距均为1
B．向量是直线的一个法向量
C．过点与直线平行的直线方程为
D．若直线m：，则
三、填空题
17．（2023上·湖南永州·高二统考期末）已知直线与圆交于，两点，则 ．
18．（2023上·湖南娄底·高二统考期末）若直线：与直线：垂直,则 .
19．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）圆与圆的公共弦长等于 .
20．（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考期末）直线与圆的位置关系是 .
四、解答题
21．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知圆的方程为.
(1)若直线与圆交于A，B两点，且，求m的值；
(2)当时，过点作圆的切线l，求切线l的方程.
22．（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）已知直线和圆心为C的圆.
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
23．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点.
(1)求直线的方程；
(2)若圆与轴都相切，且圆心在直线上，求圆的方程.
24．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与圆交于A，B两个不同的点，过原点且垂直于l的直线m与圆的一个交点为P（P不与原点重合）．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若线段的中点为Q，且，求直线l的方程．
25．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）已知点和直线．
(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；
(2)若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．
26．（2023上·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，．
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
27．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）已知圆C过点，圆心C在直线上，且圆C与x轴相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与圆C相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程．
参考答案：
1．C
【分析】由两直线的方程判断两直线的位置关系，得到交点在以为直径的圆上，将点到原点的距离转化为圆上的点到定点的距离问题.
【详解】两直线满足，所以两直线垂直，
由得，斜率存在且过定点，
由得，过定点，
故交点在以为直径的圆上但不包含点，其中，则线段的最小值为.
故选：C.
2．C
【分析】根据题意确定圆：和圆，
有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.
【详解】中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上，
设圆心为，则半径为，
圆心距，
圆，
又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，
所以，
显然成立，
两边同时平方可得，
，所以，
所以所以
当且仅当解得时取得等号，
所以周长的最小值为，
故选:C.
3．B
【分析】根据题意利用直线方程的斜截式即可选出答案．
【详解】满足题意的直线方程通式为：
故选：B
4．C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以此直线的斜率是.
故选:C.
5．A
【分析】设所求直线方程为，将点代入即可求解.
【详解】设与直线平行的直线方程为：，
又因为直线过点，所以，解得：，
所以所求直线方程为，
故选：.
6．C
【分析】将直线转化为斜截式可直接得斜率．
【详解】由，得，
则直线的斜率为．
故选：C．
7．C
【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M到定点B，N距离和的最小值作答.
【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有，
当点不共线时，，又，因此∽，
则有，当点共线时，有，则，
因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
8．D
【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解.
【详解】由题意知，，
所以圆心距,
所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
9．A
【分析】根据一般式直线与直线垂直的结论列式求解即可得的值.
【详解】解：由于直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：A.
10．B
【分析】利用，再根据倾斜角的定义，可得直线的倾斜角
【详解】因为，设直线的倾斜角为，又因为，且，故的倾斜角.
故选：B.
11．AC
【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论.
【详解】对于A：∵，∴，
∴，故A正确；
对于B：时，可得与互相垂直，符合题意，故B错误；
对于C：化简得：
∴，解得
∴直线过定点，
又∵
∴该定点在圆内，
∴直线与圆相交，故C正确；
对于D：当此时直线为，经过第一象限，
此时，故D错误．
故选：AC．
12．ABD
【分析】将两圆方程作差可得出公共弦的方程，可判断A选项；分析可知直线垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；利用三角形相似求出两圆公切线的交点的坐标，可判断D选项.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
则，所以，，
所以，圆、相交，
对于A选项，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，A对；
对于B选项，由圆的几何性质可知，直线垂直平分线段，
所以，线段的中垂线所在直线的方程为，B对；
对于C选项，圆心到直线的距离为，
所以，，C错；
对于D选项，设两切线交于点，由圆的对称性可知，点在直线上，
设两切线分别切圆于、两点，分别切圆于点、，
连接、，由切线的几何性质可知，，
又因为，故，
设点，则，所以，，解得，即点，
因此，与和都相切的两条直线交于点，D对.
故选：ABD.
13．ABD
【分析】根据直线的方程逐项进行分析即可求解.
【详解】对于，因为直线的方程为，令，
解得：，所以直线过定点，故选项正确；
对于，若直线l经过原点，则，所以无论m取何值，直线不经过原点，故选项正确；
对于，令可得：，当时，，直线与轴交于负半轴；当时，直线与轴没有交点；当时，直线与轴交于正半轴，故选项错误；
对于，当时，直线的方程为：，与两坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项正确，
故选：.
14．BC
【分析】根据两点斜率公式求解的斜率，进而求得的方程，根据圆心到直线的距离即可判断.
【详解】由题意可知：
直线l经过点且与线段相交,则直线l的斜率的范围为，
直线的方程为，即，
由圆的方程得圆心为 半径为，
圆心到直线的距离为，
故直线l与圆相切或者相离,
故选：BC
15．BD
【分析】由圆的一般方程确定圆心坐标和半径，将直线方程化为点斜式方程求出恒过的定点，将定点代入圆方程可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由，得，
所以，故圆C与y轴相切；
由，得，直线l恒过定点，
将点代入圆C方程，得，
即点在圆C内，所以直线l与圆C相交.
故选：BD.
16．BCD
【分析】根据直线截距的概念判断A即可；根据直线方向向量与法向量的关系判断B即可；根据直线与直线的位置关系求解方程求解直线方程即可判断C；根据一般式两直线垂直的充要条件判断D即可.
【详解】解：对于A，令，则，令，则，直线在两坐标轴上的截距均为，故A错误；
对于B，因为直线的方向向量为或，则，所以向量是直线的一个法向量；故B正确.
对于C，设与直线平行的直线方程为（），因为直线过，所以，所以过点与直线平行的直线方程为，故C正确.
对于D，直线：的斜率为1，直线的斜率为，斜率，所以两直线垂直，故D正确.
故选：BCD.
17．
【分析】求出圆心到直线的距离，再由计算可得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
所以.
故答案为：
18．
【分析】根据两直线垂直的条件,列出等式,求出即可.
【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,解得.
故答案为:
19．
【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长
【详解】联立,得公共弦所在直线方程为.
圆心到距离
所以公共弦长为
故答案为：
20．相交
【分析】由圆的一般方程可求得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离小于半径，由此可得结论.
【详解】由圆方程知：圆心，半径，
圆心到直线的距离，直线与圆相交.
故答案为：相交.
21．(1)
(2)或
【分析】(1)将圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理即可求解；
(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题意知，圆的标准方程为（），
所以圆心，半径，
所以圆心到直线的距离.
由题意知，，所以.解得.
（2）当时，圆半径为2.
当切线的斜率不存在时，切线的方程为
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，
即， 由题意知，.解得.
此时切线的方程为.
综上，切线的方程为或.
22．(1)直线l与圆C相交，有两个公共点；
(2).
【分析】（1）代数法：联立方程，根据得到方程解的个数判断位置关系.几何法：由已知得出圆心、半径，根据圆心到直线的距离与半径的关系，即可判断；
（2）代数法：根据（1）求出的方程，解出点的坐标，根据两点间的距离公式，即可求出弦长.几何法：根据垂径定理，即可求出答案.
【详解】（1）解法1:代数方法
联立直线l与圆C的方程，
消去，得，所以.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
解法2:几何法
将圆C方程化成标准方程，因此圆心C的坐标为，半径为2，圆心C到直线的距离.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
（2）解法1:代数方法
设，.
由（1）可知，不妨设，则，，，
所以，，.
因此.
解法2:几何法
由（1）可知直线l与圆C有两个交点，
且圆的半径，圆心C到直线的距离，
由垂径定理，得.
23．(1)
(2)
【分析】（1）设直线方程为，代入所过点坐标求得参数值；
（2）设圆心为，代入直线可得，由圆与轴都相切可得，然后分和两种情况分析即可
【详解】（1）设不过原点的直线在两坐标轴上的截距为，则直线为，
将点代入可得，
所以直线的方程为即.
（2）设圆心为，由圆心在直线上可得①，
因为圆与轴都相切，所以，
若，则①式为，不成立，舍去；
若，则①式为，所以，，
所以圆的方程
24．(1)
(2)
【分析】（1）设直线l的方程为，由圆心M到直线l的距离小于半径列出不等式，求解即可；
（2）当时，直接计算三角形面积验证；当时，可通过计算M到直线l的距离为，N到直线m的距离为来计算三角形面积，列出关于的方程，求解即可.
【详解】（1）依题意可设直线l的方程为，
圆的圆心，半径为，
∵直线l与圆M有两个不同的交点，∴，解得，
∴直线l的斜率k的取值范围是．
（2）圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为3，
当时，，不符合题意；
当时，直线l的方程为，直线m的方程为，
设M到直线l的距离为，N到直线m的距离为，则，
所以，
解得：，∴直线l的方程为．
25．(1)
(2)
【分析】(1)根据两直线垂直可求出直线的斜率为2，然后利用点斜式即可求解；
(2)先求出点P到直线l的距离，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，
因为，所以直线的斜率为2．
又直线经过点，所以直线的方程为：，
即．
（2）点P到直线l的距离为：，
①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，
则，解得．
所以，直线的方程为：．
26．(1)
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为
【分析】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案；
（2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆圆心距离，后可得弦长.
【详解】（1）因为圆的标准方程为，
所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，.
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合，
解得；
（2）当时，圆的一般方程为
两圆一般方程相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为
圆圆心到的距离为
故两圆的公共弦的长为．
27．(1)
(2)或．
【分析】(1)待定系数法求圆的方程即可；
(2) 设，根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求的值，从而得到直线l的方程．
【详解】（1）由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切．半径，
所以设圆C方程为
又圆C过点，
解得
圆C方程为．
（2）由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设，即
，设C到l的距离为d，
则，
为直角三角形，，，
或，
故直线l得方程为或．