04直线和圆的方程-浙江省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教A版）

这是一份04直线和圆的方程-浙江省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教A版），共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1B．1C．1或4D．4
2．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）圆与圆只有一个公共点，则（ ）
A．4B．5C．6D．4或6
4．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·浙江台州·高二期末）已知曲线，若存在斜率为的直线与曲线C有两个交点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
8．（2023上·浙江杭州·高二统考期末）圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为D．
9．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
10．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知曲线：（x，y不同时为0），则（ ）
A．上两点间距离的最大值为
B．若点在内部，则
C．若与直线有公共点，则
D．若与圆有公共点，则
12．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知直线和圆，则（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．存在使得直线与直线垂直D．若，直线被圆截得的弦长为
13．（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）已知点P在圆上，点、，则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于9B．点P到直线AB的距离大于1
C．当最小时，D．当最大时，
14．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AB的方程为B．四边形MAPB面积的最小值为4
C．线段AB的最小值为D．当时，点P横坐标取值范围是
三、填空题
15．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是 ．
16．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 .
17．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是 ．
18．（2023上·浙江台州·高二期末）已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
19．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知圆与圆内切，则有序实数对可以是 ．（写出一对即可）
20．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为 .
四、解答题
21．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．
22．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
23．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知，，，圆经过三点.
(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
(2)若经过点的直线l与圆C交于两点，求弦长的取值范围.
24．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）直线经过点与点，经过点的直线.
(1)求直线的方程；
(2)若点到直线的距离相等，求直线的方程.
25．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点和．
(1)求圆C的标准方程：
(2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
26．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知圆经过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点与圆相切的直线方程.
五、证明题
27．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知直线和圆．
(1)证明：圆C与直线l恒相交；
(2)求出直线l被圆C截得的弦长的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
2．C
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
3．D
【分析】化圆的标准式写出圆心和半径，根据已知有两圆外切或内切，进而求出两种情况下对应的半径r即可.
【详解】由题设，则且半径；
，则且半径；
所以，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切，
当两圆外切时，，则；
当两圆内切时，，则或（舍）；
所以或.
故选：D
4．C
【分析】首先得到曲线所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时的值，再将代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.
【详解】对曲线，两边同平方得，即，其中，
其表示的图形是以为圆心，半径为的圆的上半部分，包括轴上的点，
当直线与曲线相切时，则有，或，
显然由图形知，则，故充分性成立，
若，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，故此时直线与相切，故必要性成立.
则“与相切”是“”的充分必要条件.
故选：C.
5．C
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：C.
6．D
【分析】数形结合，分析CB斜率可得.
【详解】由，若与x轴相交于，
记右侧交点为，则当时，存在斜率为的直线与曲线C相切，且切点在第一象限，故此时存在斜率为的直线与曲线C有两个交点.
故或．
故选：D
7．B
【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.
【详解】如图，设，， ， ，
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
表示点与之间的距离；
所以
，
其中是以1为边长的正方形内任意一点，
，；
故，
当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为.
故选：B
8．D
【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程；
对于B，由弦长公式计算即可；
对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断；
对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断.
【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得，
即公共弦所在直线方程为，故错误；
对于B，设到直线：的距离为，
则有，
则弦长公式得：，故错误；
对于C，由题意可知线段中垂线为直线，
又因为，，
所以直线的方程为，故错误；
对于D，由，解得或，
取，
所以
所以，
所以，故正确.
故选：D.
9．D
【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求.
【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点,
取直线上一点,连接,
连接交于点,连接,如图所示:
则有,解得,即,
因为关于直线对称,
所以直线是线段的垂直平分线,
所以,则,
当且仅当点运动到处时,
所以.
故选:D.
10．D
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.
【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则 ，
所以 ，
故选：D
11．BC
【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合逐一判断选项即可.
【详解】曲线的图象是由半圆和此半圆分别关于轴、轴、原点对称的图象组合而成，如图所示：

对于A，曲线上两点间距离的最大值为，
故A错误；
对于B，由得，
由得，
所以当点在内部时，有，故B正确；
对于C，由曲线的图象可知，
当直线与半圆相切时，截距最大，
则由得或（舍去），
当直线与半圆相切时，截距最小，
则由得或（舍去），
所以若与直线有公共点，则，故C正确；
对于D，曲线：与坐标轴的交点为，，
当圆过点和时，最小，最小值为2，
当圆过点时，最大，最大值为，
所以若与圆有公共点，则，故D错误.
故选：BC
12．ABD
【分析】对于A，利用直线系方程求得直线过定点即可判断；对于B，由直线所过的顶点在圆内部即可判断；对于C，由两条直线的位置关系中垂直关系即可判断；对于D，由垂径定理求弦长可以判断.
【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故选项A正确；
对于B，直线恒过的定点在圆的内部，直线与圆相交，故选项B正确；
对于C，若直线与直线垂直，则，显然不成立，故选项C错误；
对于D，当，直线化成，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，故选项D正确；
故选：ABD.
13．AC
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误．
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最大值为，
点到直线的距离的最小值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，均与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得
，C选项正确，D选项错误，
故选：AC．
14．ABD
【分析】当时，可求出点到直线距离，然后结合斜率可解得直线AB的方程，即可判断A，对于B，，求出的最小值即可判断，对于C，可分析出最小时，最小，即可判断，对于D，当时，可求出，然后可求出点P横坐标取值范围，即可判断.
【详解】圆M：的圆心，半径为，
对于A，当时，，，所以是等腰直角三角形，
所以，，
所以点到直线距离为，
因为，所以，设的方程为，
由点到直线距离为可得，解得或（舍）
所以直线AB的方程为，故A正确，
对于B，因为，，
所以，
所以，
当取最小值时，四边形MAPB面积最小，此时，
所以四边形MAPB面积的最小值为，故B正确；
对于C，因为在中，，所以当最小时，最小，
当最小时，最小，最小，最小，
由前面知，此时，所以此时，故C错误，
对于D，当时，，所以，
所以，设，所以，解得，故D正确，
故选：ABD
15．
【分析】由几何性质计算即可.
【详解】
如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，，
即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，
所以Q的轨迹方程为.
故答案为：.
16．
【分析】设，由中点公式列出方程组，求得，进而求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】因为直线与直线和的交点分别为，
设，
因为点是线段的中点，由中点公式可得，
解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
17．/
【分析】首先利用直线平行求出，在结合平行线之间的距离公式即可求解.
【详解】当时，直线为，显然不合题意，则，
因为和互相平行，所以得，解得.
则直线.
则平行线直接的距离为.
故答案为：.
18．
【分析】利用两圆相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程.
【详解】依题意，
①
②
①②得：，
故公共弦方程为：．
故答案为：.
19．（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，求出两个圆的圆心、半径及圆心距，再结合两圆内切列式求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆，，圆心，半径，
依题意，，则有，
解得且，
所以有序实数对可以是.
故答案为：
20．
【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可.
【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，
∴ ，且，∴
∵的顶点，
∴直线AC方程：，即，
与联立， ，解得：，
所以顶点C的坐标为，
故答案为：.
21．(1)；
(2)和.
【分析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；
（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.
【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，
∴AB的垂直平分线为：，
由解得圆心，半径
故圆的方程为；
（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即
圆心到直线的距离为，解得，
所求的一条切线为；
当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切，
所以直线的方程为和．
22．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的中垂线方程联立直线方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆的方程；
（2）由可得点到直线的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】（1）的中点为，斜率，
则直线的中垂线为
联立，解得，
即，
圆的方程为.
（2）由于，点到直线的距离，
即，解得
23．(1)，圆心是，半径
(2)
【分析】（1）根据题意得到圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求得圆的方程；
（2）根据圆的性质，当直线过圆心弦长最长，当为中点的弦最短，结合弦长公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，点，，，且圆经过三点，
可得圆是以为直径的圆，
设圆的圆心坐标为，半径为，
可得，即圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为.
（2）解：由圆的性质得，当直线过圆心，此时弦长取得最大值，最大值为，
当为中点的弦最短，其中，所以最短弦长为，
所以弦长的取值范围.
24．(1)
(2)或
【分析】（1）两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程；
（2）讨论、过中点两种情况，两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程；
【详解】（1）由题设，所以，即
（2）①若，则，整理得；
②若过中点，于是，则，整理得：.
所以直线的方程为或.
25．(1)
(2)，
【分析】（1）根据题意求圆心与半径，然后写出标准方程
（2）待定系数法设直线方程，根据弦长公式解出参数
【详解】（1）由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，
∴圆心为，圆的半径为，
综上，圆C的标准方程：.
（2）∵，
∴在圆外，当直线l斜率不存在时，直线方程为，
则，，显然符合题设；
当直线l斜率存在时，设为，联立圆C可得：，
若，，则，，
∴，可得：.
∴此时，直线l：，即.
综上，符合条件的直线有2条，分别为，.
26．(1)
(2)和
【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意利用待定系数法求出，即可得解；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得解.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
由题意得，
所以圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，符合题意，
当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为，
即，圆心到该直线的距离为，
即，解得，
此时直线方程为，
故所求直线方程为和.
27．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）求出直线过的定点A，得到在圆C内，证明出圆C与直线l恒相交；
（2）数形结合得到直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小值.
【详解】（1）变形为，
令，解得，
故直线过定点，
因为，故在圆C内，故圆C与直线l恒相交；
（2）因为直线过定点，且在圆C内，
故当直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
其中，
圆的半径为2，
故弦长最小值为.