06圆锥曲线方程（抛物线）-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份06圆锥曲线方程（抛物线）-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，双空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·山东聊城·高二统考期末）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山东聊城·高二统考期末）抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（ ）
A．B．3C．6D．12
4．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·山东烟台·高二统考期末）如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·山东德州·高二校考期末）已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段的中点到准线的距离等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．（2023上·山东菏泽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点P在准线上，点Q的纵坐标为0，若两个正三角形，则（ ）
A．4B．3C．D．2
二、多选题
9．（2023下·山东济南·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交C于点，（其中），与C的准线交于点D．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．F为线段AD中点D．的面积为
10．（2023上·山东日照·高二统考期末）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作．已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称B．点的坐标为
C．直线的方程为D．的面积为
11．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线E可能为抛物线B．当时，曲线E为圆
C．当或时，曲线E为双曲线D．当时，曲线E为椭圆
12．（2023上·山东临沂·高二校考期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
13．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．存在使得D．存在使得
三、填空题
14．（2023上·山东德州·高二统考期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 米．
15．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则 .
16．（2023上·山东临沂·高二校考期末）已知抛物线的弦的中点的纵坐标为4，则的最大值为 ．
17．（2023上·山东临沂·高二校考期末）已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的斜率为 .
四、解答题
18．（2023上·山东德州·高二统考期末）已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点）
19．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
20．（2023上·山东泰安·高二统考期末）如图，直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)证明：．
21．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过拋物线上一点向其准线作垂线，垂足为，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线交于两点，与轴分别交于（异于坐标原点），且，若，求实数的取值范围.
22．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，且.
(1)求直线AB的斜率；
(2)若的面积为，求抛物线C的方程.
23．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）如图，已知点，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若，C，G是点M的轨迹在第一象限的点（C在G的右侧），且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为，求.
24．（2023上·山东淄博·高二山东省淄博第四中学校考期末）设抛物线C：（p>0），其焦点为F，准线为l，点P为C上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q为C外的一点且Q点不在坐标轴上，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，过点Q作y轴的垂线，垂足为S，连接AS，BS，证明：直线AS与直线BS关于y轴对称．
五、证明题
25．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为的外接圆（点O为坐标原点）．
(1)求证：线段MN为圆A的直径；
(2)若圆A过点，求圆A的方程．
26．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截拋物线､椭圆所得的弦长之比为.
(1)求的值；
(2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线，与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.
六、双空题
27．（2023上·山东烟台·高二统考期末）在平面直角坐标系中，若点到点的距离比它到轴的距离大，则点的轨迹的方程为 ，过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于点、和点、，则的最小值为 .
28．（2023上·山东东营·高二统考期末）Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dminique Cassini（1625—1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．b是正常数，设，的距离为2a，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，．动点P满足．则动点P的轨迹C的方程为 ：若A和是轨迹C与y轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】求出坐标，进而联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出点B的纵坐标.
【详解】抛物线C：的焦点坐标为，设，，因为点在抛物线上，
所以，由题意可知，三点在一条直线上，直线的斜率为
，即直线的方程为，联立，
可得，因为.
故选：A
2．A
【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.
【详解】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.
故选：A
3．B
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.
【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
所以，.
又，所以，
设，则.
因为，
所以，所以，
所以，即.
所以，抛物线为，焦点为，准线为，
由得，解得，
所以，，
所以，直线的方程为
所以，联立方程得，解得，
所以，，
所以，
故选：B
4．D
【分析】由抛物线，可知焦点为，准线为，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程组，根据韦达定理可得，，结合题意可得点的纵坐标为4，进而得到，进而求解.
【详解】由抛物线，可知焦点为，准线为，
设直线的方程为，，，
联立方程组，可得，
所以，，
以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，
设的中点为，则有，
因为点的纵坐标为4，所以点的纵坐标为4，
即，则，
又，
所以，即抛物线的标准方程为.
故选：D.
5．C
【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可.
【详解】双曲线的两条渐近线方程为，
抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，，
为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，
所以双曲线的两条渐近线方程为.
故选：C
6．C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上，
所以，，可得，所以，抛物线的方程为，
当水面上升后，即当时，，可得，
因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为.
故选：C.
7．C
【分析】先求出抛物线准线方程，再根据焦半径求出段AB中点的横坐标，最后即可求出答案.
【详解】抛物线，F为其焦点，
，准线为，
设
，
，
所以，线段AB中点的横坐标为3，即线段的中点到y轴的距离为3，
所以线段的中点到准线的距离等于4.
故选：C.
8．A
【分析】根据抛物线方程可确定焦点和准线，知在准线上，根据全等关系和抛物线定义可确定，由此可证得与为全等的等边三角形，则可得直线方程，与抛物线方程联立可求得点坐标，由抛物线焦半径公式可求得结果.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为.
因为点M在C上，设.由题可得，
则，即轴，又因为，
所以与均为等边三角形.不妨设，
则MF所在的直线方程为.将代入，
得，解得，所以点M的横坐标为3，.
故选：A.
9．BC
【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，，推出，可判断A项；解方程得出点坐标，根据抛物线的定义求出的值，可判断B项；求出点，得出线段AD中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出，进而求出点到直线的距离，即可得出面积，判断D项.
【详解】
由已知可得，，准线，直线的方程为.
联立直线的方程与抛物线的方程
可得，.
由韦达定理可得，，.
又，，所以，
又，所以，故A项错误；
对于B项，结合图象，解可得，，.
过点作，垂足为，则.
根据抛物线的定义可得，，同理可得，故B项正确；
对于C项，因为，所以，则点.
将代入直线的方程为可得，，即.
所以，线段中点坐标为，恰好为点，故C项正确；
对于D项，.
点到直线，即的距离为，
所以，的面积，故D项错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】根据题中定义，结合抛物线的定义、直线斜率公式逐一判断即可.
【详解】为线段，：为线段，
又，
设，
①当时，由题意可得，点的轨迹；
②当时，，，点的轨迹；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，此时点在的中垂线上，
而，，中点坐标为，所以，
所以点在上，故选项A错误；
设，又，所以，解得，故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，，故直线AB的方程为，即．
故选项C正确；则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合解方程组法是解题的关键.
11．BC
【分析】根据给定的方程，结合圆、圆锥曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】曲线E的方程为：，显然且，
对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误；
对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确；
对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线，
当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线，
因此当或时，曲线E为双曲线，C正确；
对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误.
故选：BC
12．BD
【分析】A、B项，由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，得出点P到点M的距离与点P到直线的距离关系，求出点P的轨迹和轨迹方程.C项，将代入点P的轨迹方程，化简并通过判别式即可求出是否为“最远距离直线”；D项，将代入点P的轨迹方程，化简并通过判别式即可求出是否为“最远距离直线”.
【详解】解：由题意，
已知点，直线，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1
∴点P到点M的距离等于点P到直线的距离
∴点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，设轨迹方程为：
∴点P的轨迹与直线是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
故A错误，B正确.
∴，解得：
∴P的轨迹方程为：，
∵点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”
∴对于C项，
将代入抛物线方程，消去，整理得：
在中，
∵
∴此方程无解
∴不是“最远距离直线”，C错误.
对于D项，
将代入抛物线方程，消去，整理得：
在中，
∵
∴此方程有解
∴是“最远距离直线”，D正确.
故选：BD.
13．ABD
【分析】特殊值法分别令和代入直线，再由抛物线的定义, 过抛物线的焦点的弦长, 选项得解,由 , 则, 联立方程组，结合韦达定理, 可判断选项C, 若 , , 联立方程组结合韦达定理, 可判断选项D.
【详解】对于选项A. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: , 则 ,
由抛物线的定义: , 故A正确.
对于选项B. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: ，则 , 则 ,
所以 ，由抛物线的定义:
又因为直线 与抛物线的准线 交于点 ,
则，即 ，故B正确.
对于选项C. 设过抛物线 的焦点 的直线方程为: 与抛物线交于 两点,联立方程组 , 整理可得:
则 ,
，
所以 .若 , 则, 故不存在，使得 ,故C不正确.
对于选项D. 设过抛物线 的焦点 的直线 方程为: 与抛物线交于 两点,
联立方程组 , 整理可得 : ,则 ，
,
若 , 因为,, 即 ,
则 , 即: ,可得: ,
即: , 则 , 解得: , 解得: .
故存在使得 , 故D正确;
故选：ABD.
【点睛】本题考查了抛物线与直线方程的位置关系，解方程组，焦点弦的应用，对与本题，运算能力，数形结合思想是关键，属于较难题.
14．4.5/
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，所以．
设，代入，得．
所以拱桥到水面的距离为．
故答案为：4.5.
15．/
【分析】点斜式设出直线的方程，联立抛物线方程，求出，两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出，即可得出结论.
【详解】由题知，设直线的方程为：，
，，联立可得
，，
，从而，
.
故答案为：
16．11
【分析】设，，由中点的纵坐标为4，知，结合抛物线定义及三点共线，可得弦过焦点时，取最大值，结合即可得到答案．
【详解】抛物线方程为，焦点，准线为，
设，，
中点的纵坐标为4，，
作，，垂足为，，连接，，
则，，
而，当弦过焦点时取等号，
即，
故当弦过焦点时，取最大值11．
故答案为：11．
17．2
【分析】当直线l斜率不存在时显然不成立，当直线l斜率存在时，设l的方程为，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标运算可得答案.
【详解】当直线l斜率不存在时显然不成立，
当直线l斜率存在时，设l的方程为，设，
联立方程组消x化简，得，
所以，代入到中可得，，
又以为直径的圆与C的准线切于点可知，，
所以，且，
所以，
整理得，
即，
即，解得.
故答案为：2.
18．(1)
(2)16
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，再根据焦半径公式计算可得；
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据面积公式计算可得.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线经过点，，
可得，即，
又，可得，
解得，，
故抛物线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，
由，解得，此时，所以的面积．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，．
设，，由根与系数的关系得，，
所以
，
综上所述，面积的最小值为．
19．(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.
（2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.
【详解】（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，
所以C的方程为．
（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，
由消去y得，则，有，，即，
因此线段AB的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为E，则，
又AB过C的焦点F，则有，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为．
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得.
（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.
【详解】（1）设，，由，得．
，，
所以．
（2）由（1）知：，，
所以，
所以，
所以．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的定义可知为等腰三角形，当时，.
设准线与轴交点为，则，求得抛物线方程.
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程得韦达定理，由得，代入韦达定理得，根据条件可得，由基本不等式求得的取值范围.
【详解】（1）如图：设准线与轴交点为，
由题意知，
由抛物线的定义可知为等腰三角形，所以，，
由得，，在中由余弦定理得
在看，则，故抛物线方程为.
（2）设直线方程为，显然，
联立，消得，
所以 ①，②
因为，所以，可得，
将代入①式得③，
将代入②式得④，
将③式平方代入④得.
由题意可得，，
所以，
又，
所以，
故，当且仅当，即时等号成立.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的定义得到点的横坐标，代入抛物线方程得到点的坐标，然后根据坐标求直线的斜率即可；
（2）设直线的方程为，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式列方程得到，解方程即可得到抛物线方程.
【详解】（1）设，
因为，所以A到准线的距离为2p，
即，所以，
代入抛物线方程可得，即，
又因为，所以直线AB的斜率为.
（2）由（1）知，直线AB的斜率为，
设直线AB的方程为，则，由得，
，，
所以，，，
由题意知，
即，解得，，
因为，所以，
所以该抛物线方程为.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由，写出直线OB的方程，设点N的坐标，进而得到点A的坐标，写出直线OA的方程联立求解；
（2）设，，由 ，得到，进而得到，作，交直线CG于F，写出直线CG的方程，令，得到，再由求得，进而求得，，然后得到，与联立求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，则设，，，
由题意知：，
则，因为，所以，
则，
，
所以点M的轨迹方程为：，
因为，，则，所以；
（2）设，代入，
得，，
所以，即，
因为，则，所以，，
作，交直线CG于 F，
则，，
令，得
，
故 ，
所以，
，
，
，
，
，
解得，则，
所以，，
又 ，，
所以，
因为，
，
两式相除得.
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的定义可得，△PFM为等边三角形，结合条件可求出，设直线l交y轴于N点，则在Rt△MNF中∠NMF=30°，可求出，即得出抛物线方程；
（2）要证明直线AS与直线BS关于y轴对称，只需证明两条直线的斜率之和为0即可，利用切线方程与抛物线联立，，可求出直线QA与直线QB的方程，进而可求出直线AB的方程，和抛物线方程联立方程，结合根与系数的关系可得点A、B的横坐标的关系，进而得出直线AS与直线BS斜率的表达式，即可算出这两条直线的斜率之和为0，即可得证．
【详解】（1）∵，
∴△PFM为等边三角形，
∴∠FMP=∠PFM=60°，
又，
∴．
设直线l交y轴于N点，则在Rt△MNF中∠NMF=30°，
，∴C的方程为．
（2）设点Q（a，b）（a≠0，b≠0），，，
设过点的切线方程为，
与抛物线方程联立得，
令，得，
所以直线QA的方程为，
同理可得直线QB的方程为．
又直线QA与QB均过点Q，
，，
又，，∴，，
所以直线AB的方程为y=ax－b，
联立方程y=ax－b和得方程组
消去y得，
∵b≠0，∴，，
∵，又S（0，b），则直线AS的斜率；
直线BS的斜率，
∴，
∵，∴．
所以直线AS与直线BS关于y轴对称．
25．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）依题意可设直线l的方程为，，，联立抛物线C的方程整理可得，进而可得到，，，，代入求得，即可得到结论；
（2）结合（1）先设圆A的圆心为，再求得，，根据，即可求得，进而可求得圆心和半径的平方，即可得到圆A的方程．
【详解】（1）依题意可设直线l的方程为，，，
联立，消整理得，
则，，，，
则，即，
所以线段MN为圆A的直径；
（2）结合（1）可设圆A的圆心为，
则，
，
又，解得，
所以圆半径的平方为，圆心为，
故圆A的方程．
26．(1)
(2)证明详见解析
【分析】(1)设点，则，得到过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为,根据题意建立的方程，求之即可;
(2) 设点，易知，分别求出直线的方程为的方程为，再分别跟椭圆方程联立求得的坐标，最后求出直线的方程，化为斜截式，可知直线恒过定点直线.
【详解】（1）设点，则，又过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为，所以，又，所以.
（2）由（1）知，椭圆的方程为.
设点，易知，
当时，直线的方程为的方程为，
联立，得，解得，
同理可得，所以，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线恒过定点直线，
当时直线的方程为，也经过，
综上所述,直线恒过定点直线.
27． /
【分析】利用抛物线的定义可得出点的轨迹的方程；分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】由题意可知，点到点的距离与它到直线的距离相等，
故曲线点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，
若直线轴，则直线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，则，
，同理可得，
所以，，
令，则，令，
因为，所以，.
故答案为：；.
28．
【分析】由题意可得，即可确定曲线形状，结合，可求得曲线方程；由此可求出A和的坐标，利用曲线的对称性，可考虑P在第一象限内情况，要求面积的最大值，需求的P点横坐标的最大值，利用换元法结合二次函数的性质即得.
【详解】由题意可得，，故动点P的轨迹为双纽线，
设，因为，所以 ，
即 ，
所以动点P的轨迹C的方程为；
令，可得，解得或,
所以不妨设，
由对称性，故可考虑P在第一象限的情况，
因为为定值，所以面积最大时，即点P的横坐标最大，
又即，
所以，令，则
因为，所以，故，
当时，取得最大值1，
即的最大值为1，则x的最大值为1，
所以的最大值为，
故面积的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】难点点睛：求出曲线的方程，可判断曲线形状，由此求的面积的最大值时，根据曲线的对称性，考虑点P在第一象限内，要利用方程，采用换元法，结合二次函数的性质求得点p的横坐标的最大值.