06函数的应用-函数的零点与方程的解-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版

这是一份06函数的应用-函数的零点与方程的解-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·湖南湘潭·高一湘潭县一中校考期末）已知函数若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）函数零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·湖南岳阳·高一统考期末）函数在下列区间中存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像过定点
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称
6．（2023上·湖南长沙·高一统考期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．4B．C．D．8
7．（2022上·湖南永州·高一统考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
下列区间中函数一定有零点的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为 ．
9．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是 .
10．（2023上·湖南永州·高一统考期末）设函数的定义域为，且为奇函数，当时，，当时，.当实数变化时，方程的所有解从小到大依次记为，则的所有可能取值集合为 .
11．（2023上·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）已知方程的根在区间，上，则 ．
12．（2022上·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是 .
四、解答题
13．（2023上·湖南湘潭·高一统考期末）已知函数.
(1)证明：当时，在上有零点.
(2)当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.
14．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）m，n为函数的两个零点，且．
(1)若，求不等式的解集；
(2)比较a，b，1的大小关系．
15．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数，求的零点.
16．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)若关于的方程有且只有一个实根，求实数的取值范围.
17．（2023上·湖南张家界·高一统考期末）已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数有2个零点，求实数的取值范围．
五、证明题
18．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）如果函数存在零点，函数存在零点，且，则称与互为“n度零点函数”．
(1)证明：函数与互为“1度零点函数”．
(2)若函数(，且)与函数互为“2度零点函数”，且函数有三个零点，求a的取值范围．
x
1
2
3
4
5
y
1.3
0.9
参考答案：
1．D
【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.
【详解】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和
因，，，是方程的四个互不相等的解，则，
不妨令，
则有，是方程的两个根，必有，
，是方程的两个不等根，则，，整理得，即，
由得：或，因此有，，
则有，，
而函数在上单调递减，从而得，
于是得，
所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2．C
【分析】结合函数的单调性与零点存在定理即可得答案.
【详解】在定义域上单调递增，
，，
而，，
由，根据零点存在定理，可知零点，
故选：C.
3．B
【分析】根据函数零点存在原理进行判断即可.
【详解】由题意得的图象是一条连续不断的曲线，是增函数．
因为，
所以零点所在的区间是．
故选：B
4．B
【分析】根据零点存在定理，代入验证，即可得出结果.
【详解】因为显然单调递增，
又，，
由零点存在定理可得的零点所在区间为.
故选：B
5．CD
【分析】A选项，由对数函数的性质判断图像所过定点；B选项，数形结合，由零点的存在定理判断零点个数；C选项，由指数函数的单调性求最小值；D选项，由函数图像的对称变换研究对称性.
【详解】对数函数的图像过定点，A选项错误；
如图所示，作出函数和函数的图像，

结合图像可知，函数满足，
，，所以，使，
故函数有且只有三个零点，故B选项错误；
，则，所以函数的最小值是1，C选项正确；
把中的用替换，得，
则在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称，D选项正确.
故选：CD.
6．BD
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当时，即对应一个交点为，
方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为，
综上，4个实数根之和为或.
故选：BD.
7．AC
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】因为函数的图象是一条连续不断的曲线，
且，
函数在区间和上一定有零点
故选：AC
8．
【分析】令，则可得，结合的图象，即可得答案.
【详解】解：令，
则有，
∴，
如图，当或，，满足题意．
故答案为：
9．
【分析】根据分段函数，得函数图象，求得是所有可能的根，结合图象可的方程恰有2个实数解时的取值范围.
【详解】解：函数，函数图象如下图所示：
方程，若，即；若，得，；
结合图象可知：
当时，方程仅有一个实数解；
当时，方程恰有两个实数解，；
当时，方程恰有三个实数解，，；
当时，方程恰有两个实数解，；
综上，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是.
故答案为：.
10．
【分析】将方程的解转化为与直线的交点，并可知与均关于点对称，作出的图象，通过数形结合的方式可确定不同取值时交点的个数，结合对称性即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点对称，
由得，则方程的解即为与的交点，
作出图象如图所示，
如图所示，当即时，如图中所示时，与有5个交点，
因为与均关于对称，所以；
当即时，如图中所示时，与有7个交点，
因为与均关于对称，所以；
当即时，如图中所示时，与有5个交点，
因为与均关于对称，所以；
当即时，如图中所示时，与有3个交点，
因为与均关于对称，所以；
当即时，如图中和所示时，与有且仅有1个交点，
所以，
综上所述的所有可能取值集合为，
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数对称性，函数图像求解方程根的个数问题；解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而通过数形结合的方式确定交点个数.
11．
【分析】移项作差构造函数后，根据零点定理即可求解.
【详解】原问题转化为的零点所在区间问题，
函数是增函数，
所以，
，
所以，
函数的零点在之间，
函数的零点在区间，上，
，
故答案：．
12．
【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依据，，分类讨论，数形结合，求解a的范围即可
【详解】由得：；
当时，，则，解得：,∵，，满足题意；
当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；
当时，,结合图象可得：，解得：，则；
综上所述：原命题成立的充要条件为，
故答案为：-1