07函数模型的应用-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份07函数模型的应用-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·湖南长沙·高一统考期末）某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）
A．1%B．2%C．3%D．5%
2．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）如图，假定P，Q两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从A，C出发，点Q沿射线做匀速运动，，点P沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义x为y的纳皮尔对数，函数表达式为，则P从靠近A的第一个五等分点移动到靠近B的三等分点经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A．0.7秒B．0.9秒C．1.1秒D．1.3秒
3．（2022上·湖南邵阳·高一统考期末）有一组实验数据如下表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021上·湖南益阳·高一统考期末）在某个时期，某水域的一种外来生物总数为a个，每天以的增长率增长，经过30天，要估计该生物总数变为原来的多少倍？以经过时间x（天）为自变量，可得到该生物总数y关于x的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021上·湖南益阳·高一益阳市箴言中学校考期末）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，记里氏级地震､7.0级地震所释放出来的能量分别为，则 .
7．（2022上·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为 时，营运的年平均利润最大．
8．（2022上·湖南郴州·高一统考期末）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①；②；③.其中.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为 千元.
9．（2021上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如下：
某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案 较合算.
10．（2020上·湖南益阳·高一统考期末）某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究，发现其中某种生物的总数y（单位：亿）与经过的时间x（单位：年）的函数关系与函数模型基本拟合.经过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿，预计经过15年时，此种生物总数y为 亿.
三、解答题
11．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且.
(1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；
(2)根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：）
12．（2022上·湖南益阳·高一统考期末）把一个热物体放在冷空气中冷却，物体的温度将会逐渐下降． 假设某物体开始的温度为80℃（用表示），空气的温度是20℃（用表示）．某研究人员每隔5min测量一次物体的温度，得到一组如下表的数据：
为了研究物体温度（单位：℃）与时间（单位：min）的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②．（其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数）．
(1)根据表中提供的测量数据，选出一个最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)根据（1）中选择的函数模型，结合表中的一对对应数据：t =5，=60.0，
①求出的值；
②若该物体的温度由80℃降为25℃时，需要冷却的时间约为多少min？(精确到0.1)
（参考数据：）
13．（2022上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每1件的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；①②③
(2)利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；
(3)设你所选取的函数为，若对任意实数k，关于x的方程恒有两个相异实数根，求实数m的取值范围.
四、应用题
14．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供x万元（）的专项补贴．A企业在收到政府x万元补贴后，产量将增加到万件．同时A企业生产t万件产品需要投入成本为万元，并以每件（）元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本）
(1)求A企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴x（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？
15．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产百件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品销售单价为万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．
(1)求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式；
(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．
16．（2023上·湖南永州·高一统考期末）如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.
(1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润.
17．（2023上·湖南张家界·高一统考期末）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某乡镇努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）满足如下关系：，肥料费用为（单位：元），其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为10元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？
18．（2022上·湖南娄底·高一统考期末）物联网（InternetfThings，缩写：IOT）是基于互联网､传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流､工业制造､健康医疗､智能环境（家庭､办公､工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元.
(1)求出与的解析式；
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
19．（2022上·湖南衡阳·高一统考期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为300万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
(1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润＝销售额－投入成本－固定成本）；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
20．（2022上·湖南永州·高一统考期末）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家鼓励新能源企业发展，已知某新能源企业，年固定成本50万元，每生产台设备，另需投入生产成本y万元，若该设备年产量不足20台，则生产成本万元；若年产量不小于20台，则生产成本万元，每台设备售价50万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（总成本=固定成本+生产成本；利润=销售总额-总成本）
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（台）的关系式；
(2)年产量为多少时，该企业所获年利润最大?
21．（2022上·湖南郴州·高一统考期末）习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山.绿水青山就是金山银山.”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系为：
(1)求该工厂利润最大时的年产量x（吨）的值，并求出最大利润；
(2)某项环境污染物指数y（）与年产量x（吨）和环境治理费t（万元）之间的关系为：.其中为污染物指数安全线.该工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安全线，则至少需要投入多少万元环境治理费？
参考：，是百万分比浓度
22．（2022上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．
(1)请求出该小组同学①式的人口增长模型；
(2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
①求满足的正整数k的最小值．
②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
x
2
3
4
5
6
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
方案代号
基本月租(元)
免费时间(分钟)
超过免费时间的话费(元/分钟)
1
30
48
0.60
2
98
170
0.60
3
168
330
0.50
4
268
600
0.45
5
388
1000
0.40
6
568
1700
0.35
7
788
2588
0.30
月
0
2
8
16
吨
时间/min
0
5
10
15
20
物体温度/℃
80.0
60.0
46.8
38.1
32.0
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
参考答案：
1．C
【分析】由题意得，当时，，求得，再将代入即可得出答案.
【详解】由题意得，当时，，
所以，
则当时，，
因为，所以，
即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的.
故选：C.
2．B
【分析】P运动到靠近的第一个五等分点时，；P运动到靠近B的三等分点时， ，再计算得到答案.
【详解】P，Q两点的初速度为单位/秒．设P运动到靠近的第一个五等分点时，，
则，得．
设P运动到靠近B的三等分点时，，则，得．
故所求的时间为秒．
故选：B
3．D
【分析】将各点分别代入各函数，即可求出．
【详解】将各点分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是．
故选：D．
4．D
【分析】根据条件可得答案.
【详解】由题意可得
故选：D
5．A
【解析】结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】对于A，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；
对于B，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数，不符合要求，
故选：A.
6．/1000
【分析】把9.0和7.0代入到，然后两式相减，即可得到本题答案.
【详解】由题可得，，
所以，得.
故答案为：##1000
7．5
【分析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.
【详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，
设二次函数的解析式为，
所以，解得，即，
则营运的年平均利润，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：5.
8．
【分析】根据“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”可知，给出的模型中只有满足，“必须和原来的计划接轨”表明，当时，，再结合“销售业绩为20万元时奖金为1千元”可知，当时，，然后解出方程即可
【详解】根据题意，当时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：
根据题意，则有：
解得：
则模型为：
当时，
故答案为：
9．3
【解析】通话时间平均320分钟，可以选择方案1、2、3，分别计算出3种方案的话费，哪一个话费少，这个方案就较合算．
【详解】月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：(元)；
方案2的月话费为：(元)；
方案3的月话费为168元．
其它方案的月话费至少为268元.经比较，选择方案3较合算．
故答案为：3．
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)有多个不同的函数模型进行比较时，需要把各个模型都进行计算，然后比较，得到最优解.
10．9
【解析】由于某种生物的总数y（单位：亿）与经过的时间x（单位：年）的函数关系与函数模型基本拟合，故将过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿代入函数模型，求出a,b，可得函数模型，可得。
【详解】由题得，点和点在函数上，代入得，解得，则函数为，所以预计经过15年时，此种生物总数y为，亿元.
故答案为：9
【点睛】本题考查求函数的方程，是基础题。
11．(1)；
(2)24个月
【分析】（1）分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式，解方程组，即可得到本题答案；
（2）分别把和代入到两个函数模型的解析式，选择数据差距较小的函数模型；然后把代入到，解出，即可得到本题答案.
【详解】（1）将前2列数据代入解析式①得：，解之得：，
①；
将前2列数据代入解析式②得：，解之得：，
②.
（2）当时，模型①，模型②；
当时，模型①，模型②；
选模型②；
当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过26-2=24个月时，总量能再翻一番.
12．(1)选函数模型②，理由见解析
(2)① ；②30.2分钟
【分析】（1）选函数模型②．因为当热物体放在空气中冷却时，随着时间的增加，它的温度会逐渐接近空气的温度，而不会低于空气的温度可得答案；
（2）①由函数模型得，两边取自然对数可得答案；②当时，得，两边取自然对数得可得答案．
【详解】（1）选函数模型②．因为当热物体放在空气中冷却时，随着时间的增加，它的温度会逐渐接近空气的温度，而不会低于空气的温度，而模型①中物体的温度会低于空气的温度，且数据显示不成直线下降，所以选模型②；
（2）①由函数模型得：，
所以：，两边取自然对数得：，
所以．
②当时，，即，
两边取自然对数得：，
解得：，
故当物体的温度冷却到时，需要的时间约为30.2分钟．
13．(1)
(2)该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；
(3).
【分析】（1）随着时间的增加，的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；
（2）把点代入中，求出函数的解析式，利用配方法，即可求出该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；
（3）由（2）结合题意可得有两个相异的实根，然后由可求出实数m的取值范围.
【详解】（1）因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的函数中和都是单调函数，不满足题意，
所以选择
（2）把点代入中，得
，
解得，
所以，
所以当时，有最小值26，
所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；
（3）由（2）可知，
所以由，得
，
即，
因为方程有两个相异实数根，
所以，
所以，
因为对任意实数k，上式恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
14．(1)，其中
(2)4万元
【分析】（1）计算出销售金额、成本，结合题意可得出的函数关系式，以及该函数的定义域；
（2）由结合基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）由题意可知，销售金额为万元，
政府补贴万元，成本为万元，
所以，，其中.
（2）由（1）可知，，
其中，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元.
15．(1)
(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．
【分析】（1）根据题意分为，两种情况，求得函数解析式；
（2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．
【详解】（1）（1）当时，
当时，
则
（2）（2）若，，
则当时，（万元）
若（万元），
当且仅当时“＝”成立．
则当时，（万元）
万元万元，
故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．
16．(1);
(2)产量为（千件）时,利润最大为（万元）
【分析】(1)根据将,,三点代入中,即可求出a,b,c的值,根据利润等于收益减总成本,列出关系,将代入即可;
(2)根据(1)中的解析式,分别求出,时的最值,进行比较即可求得最大年利润.
【详解】（1）解:将,,三点代入中有:
,解得,
故,
由题知;
（2）由(1)知,
当时,,
所以当（千件）时,（万元）,
当时,
,
当且仅当,即（千件）时取等,
所以（万元）,
综上: 当（千件）时,（万元）
所以当年产量为24千件时,该厂的年利润最大,最大年利润76万元.
17．(1)
(2)当投入的肥料费用为30元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元
【分析】（1）根据收入减去成本等于利润，分和即可得到解析式；
（2）当时，利用二次函数单调性即可求出此范围内最值，当时，利用基本不等式即可求出其最值，比较两者最值即可.
【详解】（1）由题意可得，
即，
所以单株利润的函数解析式为：
（2）当时，为开口向上的抛物线，
其对称轴为：，
所以当时，
当时，,
，
当且仅当即时等号成立，此时，
综上所述：
当投入的肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元．
18．(1)，
(2)把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元
【分析】（1）设出与以及与x的解析式，将x=9的费用代入，求得答案;
（2）列出两项费用之和的表达式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案.
【详解】（1）设，，其中，
当时，，.
解得，，
所以，.
（2）设两项费用之和为z（单位：万元）
则
,
当且仅当，即时，“”成立，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元.
19．(1)
(2)当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－投入成本－固定成本求解函数解析式，
（2）当时，利用二次函数的性质求出其最大值，当时，利用基本不等式求出其最大值，然后比较即可
【详解】（1）当时，；
当时，.
所以；
（2）当时，，
故当时，取得最大值；
当时，，
当且仅当“”，即“”时等号成立，
，
即当时，取得最大值
，
综上所述：当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.
20．(1)
(2)年产量为30台时，该企业所获年利润最大
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售收入年固定成本产品生产成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，，
当时，，
故；
（2）当时，，
当时，的最大值为50，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
，
故年产量为30台时，该企业所获年利润最大，最大利润为55万元．
21．(1)年产量100（吨）时，有最大利润300万元
(2)53.60万元
【分析】（1）分别在两个区间和求函数的最大值，两个最大值之中的较大者为分段函数的最大值；
（2）把指数不等式转化成对数不等式，再转化成整式不等式即可得解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
综上可知（万元）；
即年产量100（吨）时，有最大利润300万元；
（2）由（1）可知，则有.
即，可得
整理得，则
即：至少需要投入53.60万元环境治理费才满足要求.
22．(1)
(2)①24 ；②不能；理由见解析
【分析】（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得①式的人口增长模型，
（2）①由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值，
②由①当时，，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论
【详解】（1）由题意可得，则，，
所以，所以，
所以．
（2）①由，得，所以，
化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，
②由①当时，，所以当时，最大，
，即，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克．