11三角恒等变换-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份11三角恒等变换-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）化简：（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·湖南岳阳·高一统考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
4．（2022上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·湖南娄底·高一统考期末）的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·湖南邵阳·高一统考期末）设直线与函数、、的图象在内交点的横坐标依次是、、，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·湖南衡阳·高一统考期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）已知函数的所有非负零点从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·湖南湘潭·高一统考期末）已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·湖南湘潭·高一统考期末）下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．θ的值可为
B．若，则k为奇数
C．若，则
D．若，则的最大值要大于
13．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）下列选项中其值等于的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
15．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知，，则 .
16．（2023上·湖南怀化·高一统考期末）化简： .
17．（2022上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 .
18．（2022上·湖南衡阳·高一统考期末）已知角的终边经过点，则 ．
19．（2022上·湖南衡阳·高一统考期末），使得关于的不等式成立，则的最小值是 ．
四、解答题
20．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）（1）已知．求的值．
（2）已知函数.求的解析式及最小正周期.
21．（2023上·湖南湘潭·高一统考期末）若角终边上一点的坐标为，其中.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
22．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）已知．
(1)求的周期，最大值和最小值．
(2)把的图象向左平移后得到的图象，求的解析式．
23．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）（1）已知，求的值；
（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
已知为第四象限的角，__________.求的值.
24．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知函数，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的零点；
(3)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
25．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
26．（2023上·湖南张家界·高一统考期末）已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值．
27．（2023上·湖南怀化·高一统考期末）已知锐角与钝角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
28．（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知函数，．
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)设，求函数的单调递减区间．
29．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)者为钝角，为锐角，且，求的值．
30．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
参考答案：
1．C
【分析】结合诱导公式和二倍角公式，逐步化简，即可得到本题答案.
【详解】.
故选：C
2．A
【分析】根据三角函数的定义得，再运用二倍角公式解决即可.
【详解】由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，
所以,
所以，
所以，
故选：A
3．B
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】解：因为，所以，所以，
所以
.
故选：B
4．D
【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系与二倍角公式即可得解.
【详解】由已知得，，则原式
.
故选：D
5．C
【分析】利用两角差的正切公式化简可得结果.
【详解】.
故选：C.
6．A
【分析】根据直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，得到，再利用两角和的三角函数的公式求解.
【详解】因为直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
7．B
【分析】由同角三角函数的商数、平方关系，将条件化为，再根据二倍角余弦公式求目标式的值.
【详解】由题设，，
又.
故选：B.
8．A
【分析】利用正弦的二倍角公式直接计算
【详解】，
故选：A
9．BC
【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项.
【详解】由，
可得，
即与的图象在第一象限交点横坐标即为，
因为，时，，如图，
由图可知，共有9个符合要求的交点，所以，
令，解得，，即，
故由图象可知，，，，
所以，
因为，若，
则需，由图知，，故不成立，
综上可知，BC正确，AD错误.
故选：BC
10．BC
【分析】利用正切的二倍角公式判断A，利用同角三角函数关系判断B，利用正弦的二倍角公式判断C，利用正切的两角差公式判断D.
【详解】由题意得，A错误；
又是第三象限角，，所以由解得，，B正确；
，C正确；
，D错误；
故选：BC
11．ACD
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD
12．BCD
【分析】由图象确定函数的周期求得，再由零点求得，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、辅助角公式，判断各选项．
【详解】选项A，，，是的零点，由图象得，得，（以下只要取即可），A错；
选项B，，则，，，故k为奇数，B对；
选项C，由，可得，即对称轴为，，为其对称轴，C对；
选项D，当，时，，
设
，
易知的最大值是，
所以的最大值为，大于，D对．
故选：BCD．
13．BD
【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD.
14．ABD
【分析】先将配方化为后，使用三角换元法进行求解.
【详解】由配方得，即，
令，，则，，
对于A，∵，∴，即，故选项A正确；
对于B，，
令，，则，
∵，∴，，故选项B正确；
对于C和D，
∵，∴，
∴，即，
故选项C错误，选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】对于已知（，，）求与，有关的取值范围问题，可将化为，再使用三角换元的方法解决.
15．
【分析】先根据，，求出，再根据凑角法，余弦的差角公式进行求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故
故答案为：.
16．
【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.
【详解】.
故答案为：
17．/
【分析】根据三角函数定义，求得，以及，再结合正切的倍角公式，即可求得结果.
【详解】根据题意，，解得或或，又是第二象限角，故；
则，则.
故答案为：.
18．
【分析】根据三角函数的定义，可得，再根据两角和的正切公式，即可得到结果.
【详解】由题意得．
故答案为：.
19．
【分析】将不等式右边应用辅助角公式得，由正弦函数的性质求上的值域，再由不等式能成立求的最小值.
【详解】令，
所以时，，故，
又使成立，故.
所以的最小值是.
故答案为：
20．（1）；（2），最小正周期为.
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值；
（2）利用诱导公式、降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期公式求最小正周期.
【详解】（1）已知，
则
（2）
.
最小正周期为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；
（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.
【详解】（1）因为角终边上一点的坐标为，且，
所以由三角函数的定义可得.
（2）因为，
所以，，
所以.
22．(1)周期为，最大值为2，最小值为；
(2).
【分析】（1）由两角差的正弦公式可得，根据正弦函数的性质即可求解；
（2）根据正弦函数的图象变换即可求解.
【详解】（1），
∴的周期为，最大值为2，最小值为.
（2）把的图象左移后得.
23．（1）（2）
【分析】（1）由题意得，所求式子弦化切代入计算即可；
（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用结合角的范围求得，然后利用两角差的正弦计算即可.
【详解】（1）由，得，
（2）选择①：，即，
为第四象限的角，，
又，
，
.
选择②：，，
，
为第四象限的角，，
，
.
24．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求出单调减区间；
（2）求出的解析式，令，求解即可；
（3）原不等式化简为，令，问题转化为在上恒成立，结合一次函数和二次函数的性质，分类讨论可得结果．
【详解】（1）
由，得
所以函数的单调递减区间为．
（2）由（1）知
令，则，解得或
即或
所以的零点为或.
（3）由（2）知
原不等式可化为
令，则
，
所以在上恒成立
令
当时，在恒成立
当时，，解得
当时，函数的对称轴为
（i）若，即时
，解得，故
（ii）若，即时
，解得，故
综上所述，实数的取值范围是.
25．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解；
（2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【详解】（1）∵，则，
∴.
（2）由（1）可得：，
故.
26．(1)
(2)最大值和最小值分别为，
【分析】（1）对化简得，则，，解出即可；
（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.
【详解】（1）依题意得：
，
由，，
得，
所以的单调递增区间为．
（2）由（1）知，，
当时，，
则当，即时，，
当，即时，，
所以在时的最大值和最小值分别为：，．
27．(1)
(2)
【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解；
(2)根据两角和的正切公式求解.
【详解】（1）因为，，且，，
所以，，
所以.
（2）由（1）得，
所以.
28．(1)，最大值2；
(2)．
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，即可得到结果；
（2）根据题意，得到函数的解析式，然后由正弦型函数的单调区间，即可得到结果.
【详解】（1）∵，
所以的最小正周期，
当时，取得最大值2；
（2）由（1）知，
又，
由，解得．
所以，函数的单调减区间为．
29．(1)或
(2)
【分析】（1）将化为，然后可得，然后由算出答案；
（2）根据条件分别求出、，然后根据算出答案即可.
【详解】（1）．
由，得，
得，
所以或．
（2）由题意得．
由，得，
由为锐角，得，因为，所以，
所以，
故.
30．(1)3
(2)
【分析】(1)根据两角差的余弦公式可得，结合同角三角函数的关系即可求解；
(2)根据诱导公式、二倍角的正、余弦公式化简和切弦互化可得，结合(1)即可求解.
【详解】（1）由题意得，
，
得，则．
（2）
．