07对数和对数函数-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份07对数和对数函数-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（ ）年（参考数据：，，）
A．8.3B．8.5C．8.7D．8.9
2．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）尽管目前人类还无法准确的预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震级数M之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在台湾省花莲县发生的6.9级地震它释放出来的能量大约是同年12月8日0时54分花莲近海发生的5.6级地震的（ ）倍
A．50B．100C．200D．300
5．（2021上·浙江宁波·高一校联考期末）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A．B．C．D．
6．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）下列函数中，定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）设且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）已知函数在是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）已知函数与，若存在使得，则不可能为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）三个数的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知函数则下列选项正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的值域为
C．方程有两个不等的实数根
D．不等式解集为
13．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知实数a，b满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023上·浙江杭州·高一杭州四中校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若x，，，则的最大值为1
D．若x，，，则的最大值为4
15．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）已知正数，满足，则（ ）
A．的最小值为6B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
16．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）下列函数的定义域是的有（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）已知实数，满足，则下列关系式可能正确的是（ ）
A．，使
B．，使
C．，有
D．，有
三、填空题
18．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知，，则 ．
19．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）计算： ．
20．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）设函数，则 .
21．（2021上·浙江丽水·高一统考期末）若，，则 ．
22．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）化简求值： .
23．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）计算 .
24．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）若，则 ．
25．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，若在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
26．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
27．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）计算：
(1)；
(2)．
28．（2022上·浙江杭州·高一校考期末）（1）计算；
（2）
29．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数（且）.
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
30．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在上单调递减，求a的取值范围．
31．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数满足： 对， 都有，且当时，.函数.
(1)求实数m的值；
(2)已知， 其中. 是否存在实数，使得恒成立? 若存在， 求出实数的取值范围； 若不存在， 请说明理由.
32．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”.
(1)判断是否为“型函数”?并说明理由；
(2)若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值；
(3)若函数，是“型函数”，求实数的取值范围.
五、证明题
33．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知是偶函数，是奇函数．
(1)求，的值；
(2)用定义证明的在上单调递增；
(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
34．（2023上·浙江湖州·高一期末）若函数为上奇函数，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性（无需证明）；
(3)若，解关于x的不等式．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.
【详解】设世界人口达到90亿至少需要年，由题意，得
，
因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，
故选：B
2．B
【分析】首先证明对于，均有，即可判断.
【详解】对于，均有证明如下：
因为，所以，，
所以
，
所以，，
又，所以.
故选：B
3．D
【分析】根据换底公式和对数运算法则即可得出之间的关系式.
【详解】由可得，，即，
由得，，
根据对数运算法则可知，
即.
故选：D
4．B
【分析】根据E，M之间的关系式，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设6.9级和5.6级地震释放的能量分别为,
由题意可知，所以，
故选：B
5．D
【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.
【详解】解：令，即，
则，令，即，
则，
因为定义域为，所以是奇函数，
由，用替代，
得，
因为是奇函数，
所以，
，且，
则，
因为当时，，
所以，，
即，
所以在上递增，又是定义域为的奇函数，
所以在上递增，
则等价于，
解得，
故选：D
6．B
【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为；
对于B选项，函数的定义域为；
对于C选项，函数的定义域为；
对于D选项，函数的定义域为.
故选：B.
7．A
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断答案.
【详解】当时，由可得，由于为R上增函数，
则，
当时，由可得，由于为R上减函数，
则，
即“”是“”的充分条件；
当时，比如取，满足条件，但无意义，
故“”不是“”的必要条件，
故“”是“”充分不必要条件，
故选：A
8．C
【分析】根据复合函数的单调性及对数的真数大于0求解即可.
【详解】令，
因为为增函数，函数在是增函数，
所以为增函数，故，
又，，所以，解得，
综上，的取值范围为.
故选：C.
9．A
【分析】结合函数的定义可以判断A选项，其余可将选项全部代入后，看是否能求解出来进行判断.
【详解】对于A选项，若，当时，，当时，，
相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即A错误；
对于B选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得
，解得，即，即，
存在，所以选项B正确；
对于C选项，，令，得，则，即，
存在，所以选项C正确；
对于D选项，，可得出，存在所以选项D正确；
故选：A
10．B
【分析】根据指数、对数的知识求得正确答案.
【详解】，
由于，所以
，
所以.
故选：B
11．ABC
【分析】令，，讨论根据的单调性确定大小关系.
【详解】令，则，，，
所以，
当时，，故B正确；
当时，由函数在上为增函数知，所以，故A正确；
当时，由函数在上为减函数知，所以，故C正确D不正确；
故选：ABC
12．BC
【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.
【详解】
画出的图象，如上图所示.
令，解得或，
所以的图象与轴交于.
对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；
对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；
对于C，，，
由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；
对于D，由图象可知，当时，，
所以，由可得.
令，解得或；
令，解得或，
所以，由图象可知，不等式解集为，D错.
故选：BC
13．ABD
【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用作差法判断；C.利用在上递减判断；D.利用对数函数的单调性判断.
【详解】对于A，因为实数a，b满足，
所以，则，故A正确；
对于B，由可得，所以，故B正确；
对于C，由在上递减，所以，故C错误；
对于D，由在上递增，所以，故D正确，
故选：ABD
14．BC
【分析】根据含有量词的命题否定方法来判断A，求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行判断B，利用基本不等式求最值即可判断C、D.
【详解】对于选项A：因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”，错误；
对于选项B：由函数为定义域上的增函数，且，得，
则是的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于选项C:因为（当且仅当时，等号成立），
所以，所以，所以，所以，
所以的最大值为1，正确；
对于选项D：x，，，则，当且仅当时，等号成立，错误.
故选：BC
15．ACD
【分析】先根据化简得到，再根据选项通过基本不等式、二次函数的性质依次判断即可.
【详解】，
即，且，.
，当且仅当时等号成立，故A选项是正确的；
，当时，，故B选项是错误的；
，当时等号成立，故C选项是正确的；
，当且仅当，时等号成立，故D选项是正确的.
故选：ACD.
16．AC
【分析】根据每个选项中函数的解析式，确定其定义域，即可判断出答案.
【详解】对于A，，其定义域为R,正确；
对于B, ,定义域为，错误；
对于C, 定义域为R，正确；
对于D，定义域为，错误，
故选：
17．ABCD
【分析】由原方程可得，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD，
【详解】对于A，由得，令，则分别在和上单调递增，令，则分别在和上单调递增，当时，的值域为 当时，的值域为，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A正确；
对于B，令，则方程可化为，由换底公式可得，显然关于的方程在上有解，所以，使，B正确；
对于C，当时，因为，
所以，又在上单调递增，所以. 又，令，则在上单调递增，因为，所以 ，从而可得，所以．综上所述可得 ，C正确；
对于D，当时，因为，所以，又在上单调递增，所以.又，令，则在上单调递增，因为，所以，
从而，所以．综上所述可得，所以D正确．
故选：ABCD
【点睛】关键点点睛：对于CD选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.
18．/
【分析】由对数与指数的互化可得出，再利用指数幂的运算性质可求得的值.
【详解】由可得，所以，.
故答案为：.
19．/
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
20．12
【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.
【详解】函数，则，
，.
故答案为：12.
21．1
【分析】将转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得.
【详解】因为，所以
所以.
故答案为：1
22．/0.75
【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.
【详解】
.
故答案为：
23．
【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.
【详解】原式，
故答案为：.
24．
【分析】先利用指对数式的转换求出,再应用对数运算律计算即可.
【详解】因为,所以,
所以
故答案为: .
25．
【分析】分析可知，对任意的，，分离参数可得，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，则.
因为函数在上单调递增，且当时，，
所以.
当时，在上为减函数，函数为增函数，
所以与在上均为减函数，
所以在上是减函数，符合题意；
当时且时，，不符合题意；
当时，在上为增函数，函数为增函数，
所以与在上均为增函数，
所以在上是增函数，不符合题意.
综上所述，若在上单调递减，则实数的取值范围是.
故答案为:.
26．
【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解
【详解】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，
所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，
所以的取值范围为
故答案为：
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
28．（1）；（2）
【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算法则计算可得.
【详解】解：（1）
；
（2）
29．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义可求参数的值；
（2）不等式等价于，参变分离后可求实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数为奇函数，则，
即
，
则，即，.
（2）解：，，
，
∴，
∴在恒成立即在恒成立，
在为增函数，故，.
30．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)．
【分析】（1）根据题意，先求定义域，结合复合函数单调性，即可求解；
（2）根据题意，结合复合函数单调性，分别讨论和两种情况，即可求解.
【详解】（1）根据题意，当时，，
由，解得或，
故的定义域为,
令，则该函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数为减函数，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）令函数，该函数在上单调递减，在上单调递增．
①当时，要使在上单调递减，
则在上单调递减，且恒成立，
故，又，
所以；
②当时，要使在上单调递减，
则在上单调递增，且恒成立，
因为在上单调递减，故函数在上不能单调递增，此种情况不可能；
综上，的取值范围为．
31．(1)8
(2)存在，
【分析】（1）根据题意代入，运算求解即可；
（2）先根据对数函数的定义求得，进而可得当时，则可得对任意时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得恒成立，列式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，则，
解得 m = 8.
（2）令，可得，即，
∴定义域为，
∵，则对，且，
可得，
故，即，
且在是增函数，则，即，
∴在是增函数，
若要使恒成立，则首先要满足恒成立，
则，解得，
则，
故当时，则对任意时恒成立，
令， 则恒成立，即恒成立，
而在上是增函数， 在上是减函数，
∴在上是增函数，
又，，
故只需恒成立，则，解得，
综上所述：存在满足条件.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
32．(1)不是，理由见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断.
（2）根据的定义域求得的范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围.
（3）对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）是偶函数，且在递减，递增.
当时，；当时，.
若取，则不存在，使得.
所以不是“型函数”.
（2）首先函数定义域为，
则，解得.
由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增.
所以只需对恒成立即可.
所以，即的最小值为1.
（3）由题是“型函数”.
当时，在上单调递增，.
而，要使存在且唯一，则有，解得.
所以.
当时，在递减，递增，.
而，要使存在且唯一，则有，解得.
所以.
综上可知：.
【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.
33．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
【详解】（1）解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
此时，则，符合题意；
（2）设任意的且，
则
，
因为，所以，所以，则，
所以，
即的在上单调递增.
（3）解：由（2）知单调递增，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，，因为、、在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
34．(1)
(2)在上单调递增
(3)答案见解析
【分析】（1）利用函数的奇偶性来求得在上的解析式.
（2）根据对数函数的单调性判断出的单调性.
（3）利用的单调性和奇偶性求得不等式的解集.
【详解】（1）设，则，∴，
由奇函数性质知，当，
故在R上的解析式为.
（2）时，，
和在上都是增函数，
所以在上递增，
由于是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增.
（3）由题意知，
由（2）在R上的单调递增，得，即，
①当时，；
②当时，；
③当时，.