06等式与不等式-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版）

这是一份06等式与不等式-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，应用题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·福建福州·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020上·福建莆田·高三校考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2019上·福建莆田·高三校考期末）已知，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019上·福建莆田·高三校考期末）设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021上·福建三明·高三统考期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2021上·福建三明·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020上·福建宁德·高三统考期末）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2020上·福建厦门·高三统考期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2020上·福建三明·高三统考期末）设满足约束条件则的最大值为（ ）
A．2B．3C．12D．13
10．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）已知集合，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．12
12．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2020上·福建厦门·高三统考期末）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2020上·福建福州·高三统考期末）若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的最小值为36
C．D．的最小值为16
17．（2022上·福建三明·高三统考期末）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
18．（2022上·福建三明·高三统考期末）已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是 ．
19．（2019上·福建三明·高三统考期末）已知实数，满足约束条件，则的最大值为 .
20．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .
21．（2020上·福建莆田·高三校联考期末）已知满足，则的取值范围是 .
22．（2020上·福建莆田·高三校联考期末）已知满足，则的取值范围是 .
23．（2020上·福建莆田·高三校联考期末）在锐角中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，，且，则的最大值为 .
24．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）若变量，满足约束条件，则的最大值是 .
四、应用题
五、问答题
25．（2020·福建宁德·高三统考期末）已知在R上恒成立.
（1）求的最大值；
（2）若均为正数，且,求的取值范围.
26．（2018上·福建厦门·高三统考期末）在直角坐标系中，，动点满足：以为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线过点且与交于两点，当与的面积之和取得最小值时，求直线的方程.
参考答案：
1．C
【分析】求解一元二次不等式从而解得集合，再求交集即可.
【详解】因为，
又，故可得.
故选：C.
2．B
【分析】先求出集合中的范围，再在数轴上表示出两集合的范围，即可求出.
【详解】根据题意，，
所以.
故选:B.
3．A
【分析】由基本不等式直接求解即可得到结果.
【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故选：A.
4．D
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
【详解】
作出可行域如图所示，转化为，平移直线，经过时，z有最大值，此时z = 0 + 1 = 1.
故选：D
【点睛】简单线性规划问题的解题步骤：
(1)画出可行域;
(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；
(3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；
(4)下结论．
5．D
【分析】作出不等式组表示的区域，然后可得答案.
【详解】不等式组表示的可行域如下：
当直线过点时，最大，最大值为：8
故选：D
6．C
【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】，
，
所以.
故选：C
7．A
【解析】先分别解不等式化简两集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】因为，
或，
因此.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题型.
8．D
【解析】取特殊值排除AB选项，根据指数函数以及对数函数的单调性判断CD选项.
【详解】当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
由于函数在上单调递减，，则，故C错误；
由于函数在上单调递增，则，故D正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否成立以及利用函数单调性比较大小，属于基础题.
9．C
【解析】由约束条件可得可行域，将问题变成在轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：
当取最大值时，在轴截距最大
平移直线，可知当直线过图中点时，在轴截距最大
由得：
故选：
【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距最值问题的求解，属于常考题型.
10．C
【解析】首先求出集合，再根据元素与集合的关系以及集合的基本关系与基本运算即可得出选项.
【详解】由，
，
对于A，，故A不正确；
对于B，集合中不含，故B不正确；

对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确；
故选：C
【点睛】本题考查了集合中的基本知识，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
11．C
【解析】当直线的斜率不存在时，可得，从而可得，利用焦点弦公式求出；当直线的斜率存在时，设出直线方程：，将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，
当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，
则，整理可得，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为9.
故选：C
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.
12．C
【解析】化简集合，按并集的定义，即可求解.
【详解】，
.
故选:C
【点睛】本题考查一元二次不等式解法及集合运算，属于基础题.
13．B
【解析】根据不等式性质得B正确，举反例说明A,C,D错误.
【详解】.故B正确；
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B
【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
14．C
【解析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最小值即可.
【详解】
画出不等式组所表示的可行域如上图（阴影部分），
由，得，
平移直线，由图像可知当直线经过时，直线的截距最小，
此时最小，由 ，解得，即，
将代入目标函数得，
因此的最小值为.
故选：.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题.
15．AC
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解.
【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；
对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；
对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确；
对于，当，，时，满足，但，故选项错误；
综上：不等式恒成立的是，
故选：.
16．BCD
【分析】利用基本不等式以及基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由两边同除以得，A错误；
因为，即，所以，
当且仅当，时取得等号，B正确；
由得，因为，所以，
因为当且仅当时取得等号，
且，
又因为上述过程可得，当且仅当，时取得等号，
取等条件不一致，所以，C正确；
，
当且仅当，即也即时取得等号，D正确，
故选:BCD.
17．AC
【分析】结合函数的单调性，差比较法，特殊值等确定正确选项.
【详解】依题意，
由于在上递增，所以，A选项正确.
由于在上递减，所以，B选项错误.
，所以，C选项正确.
对于D选项，，，D选项错误.
故选：AC
18．[0，4]
【分析】命题P为假命题，则为真命题，进而求出a的范围.
【详解】根据题意，恒成立，所以.
故答案为：.
19．10
【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线到后可得的最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
由可得，故.
当动直线过时，有最大值且最大值为.
故答案为：10.
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．
20．1
【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数化为，利用线性规划求截距的最小值即可求解.
【详解】作出实数，满足约束条件的可行域，如图所示，
由解得 ，，
作出直线：，
将目标函数化为，
目标函数过点时，，
综上所述，的最小值为1.
故答案为：1
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于基础题.
21．
【解析】首先作出不等式表示的可行域，再令作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求的取值范围.
【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图，
令，画出初始目标函数，然后平移到点取得最大值
，解得：，
.
当目标函数过点时，取得最小值，，
的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
22．；
【解析】利用表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点到点的距离的最值，即可求解的取值范围.
【详解】
表示点到点的距离
，，则三角形为等腰三角形
则点到点的距离的最小值为：1，最大值为
所以的最小值为：，最大值为：
故的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
23．
【解析】首先变形，得到，两边平方后，得到，最后利用基本不等式求的最大值
【详解】是锐角三角形，在的内部，


，
两边平方后
,
，且，


，
，
设，
，解得：（舍）或 ，
即，
的最大值是.
故答案为：
【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是，整理后得到，然后再两边平方求的最大值.
24．9
【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.
【详解】做出可行域如下图所示：
当目标函数过点时，
取最大值为.
故答案为:9
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.
25．(1)2(2) ．
【解析】(1)分,和三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求的最大值.
(2)由(1)得,再利用将转换为关于的表达式,再利用基本不等式求解即可.
【详解】解：（1）构造，
在上恒成立，
，
又，
，，
的最大值．
（2）由（1）得，故．
，
，
或．
故．
当时，，
，
当且仅当，即时取“=”；
当时，，
，
当且仅当，即时取“=”．
所以的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.
26．(1)；(2).
【分析】试题分析：（1）设点，圆心，由圆与轴相切于点，得|，结合两点间的距离公式整理可得点P的轨迹方程为 ；
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为 ，可得 ．
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为 联立直线方程与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得
再由 ，结合等号成立的条件求得的值，进一步得到值，则与的面积之和取得最小值时，直线的方程可求
试题解析：
（1）设点，圆心，
圆与轴相切于点，则，
所以，
又点为的中点，所以，
所以，整理得：.
所以点的轨迹方程为：.
（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，方程为：，
易得.
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设方程为：，，，
由消去并整理得：，
所以，，
所以 ，
当且仅当时等号成立，又，
所以，或，，
所以，解得：，
因为，所以当两个三角形的面积和最小时，
直线的方程为：.
【详解】请在此输入详解！