08平面解析几何-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版）

这是一份08平面解析几何-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022上·福建宁德·高三校考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、第二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率（ ）
A．B．5C．D．7
3．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2022上·福建福州·高三统考期末）已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A为C的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的中点，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·福建三明·高三统考期末）若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4）B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞）D．
6．（2019上·福建龙岩·高三统考期末）已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020上·福建厦门·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2020上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）已知双曲线,分别为其左焦点与右顶点，若右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
10．（2020上·福建厦门·高三统考期末）已知双曲线的两条渐近线为，抛物线的焦点为与抛物线交于点（异于坐标原点），与抛物线的准线交于点，且，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020上·福建厦门·高三统考期末）已知圆，过点作直线交圆于两点.若与夹角为，则弦的长为（ ）
A．2B．C．D．
12．（2019上·福建三明·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、多选题
13．（2022上·福建福州·高三统考期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则( )
A．关于轴对称B．的面积的最大值为
C．当时，D．直线的斜率的范围为
14．（2021上·福建三明·高三统考期末）设F是抛物线的焦点，过F且斜为的直线与抛物线的一个交点为A，半径为的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为D，以下结论正确的是（ ）
A．线段CD的长为8B．A，C，F三点共线
C．为等边三角形D．四边形ABCD为矩形
三、填空题
15．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
16．（2022上·福建三明·高三统考期末）已知双曲线C：的左焦点为F，M是该双曲线一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若OMF的面积为4，则双曲线C的离心率为 ．
17．（2022上·福建三明·高三统考期末）已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为 ．
18．（2020上·福建莆田·高三校考期末）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则双曲线的离心率为 ．
19．（2019上·福建三明·高三统考期末）已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为 .
四、问答题
20．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知，，动点满足，轴于点，，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线交轴于点，轴，证明：.
21．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.
22．（2022上·福建福州·高三统考期末）定义：若点，在椭圆上，并且满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点关于M的一个共轭点为.已知点在椭圆，O坐标原点.
(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标；
(2)设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
23．（2022上·福建三明·高三统考期末）已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2020上·福建莆田·高三校考期末）已知椭圆E：的左焦点为，且过点，为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点为椭圆E上的动点，过点作平行于的直线l交椭圆于，两点，求 面积的取值范围．
25．（2021上·福建三明·高三统考期末）已知A是椭圆的一个顶点，、分别是C的左，右焦点，是面积为的等边三角形.
（1）求C的方程；
（2）若过点的直线交C于不同的两点M，N，求的取值范围.
26．（2020上·福建厦门·高三统考期末）已知直线与轴的交点为.点满足线段的垂直平分线过点.
（1）若，求点的坐标；
（2）设点在直线上的投影点为，的中点为，是否存在两个定点，使得当运动时，为定值？请说明理由.
27．（2020上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）已如抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被截得的线段长为8.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点是抛物线上的动点，以为圆心的圆过点，且圆与直线相交于两点，是否存在实数使？若是，求出的值；若不存在，请说明理由.
五、双空题（新）
28．（2021上·福建三明·高三统考期末）双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ，若E上的点A满足，其中、分别是E的左，右点，则 .
参考答案：
1．C
【分析】由题知四边形是矩形，其中，进而根据，结合勾股定理与椭圆定义求解即可.
【详解】解：因为，点，关于原点对称
所以，线段互相平分，且相等，
所以四边形是矩形，其中，
设，
所以，，
所以椭圆离心率为
故选：C
2．C
【分析】设,由图形性质结合双曲线的定义求出，取的中点，利用勾股定理求出，从而得出答案.
【详解】设题意，设，则
则，
由双曲线的定义可得，所以
取的中点，连接,由为等边三角形，则,且
所以，
所以，所以
故选：C
3．A
【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值.
【详解】由抛物线定义知：，所以，解得：.
故选：A
4．A
【分析】根据题意，可知直线的方程为，进而求出的中点坐标为，再联立，求得的坐标，由于直线经过的中点，根据斜率相等，和双曲线的性质，建立关于离心率的方程，由此即可求出结果.
【详解】由题意可知，，直线的方程为，
令，可得，则，则的中点坐标为，
联立，解得，
因为直线经过的中点，
，则，
，即，则，解得 (舍)，或.
故选:A.
5．D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
6．A
【分析】由双曲线渐近线方程为，可得到，结合与，可求出、，进而得到答案．
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，
则，解得，，故双曲线方程为：.
故选：A
7．D
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，
设，则，，，
，根据对称性知四边形为矩形，
中：，即，解得；
中：，即，故，故.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8．B
【解析】由已知条件和椭圆定义，将用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量关系，即可求解.
【详解】设，则，
而，，
在中，，
在中，，
，
.
故选:B.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及到椭圆的定义、余弦定理，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算，属于中档题.
9．A
【解析】求得双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率，求得直线PF的斜率，由渐近线的斜率大于直线PF的斜率，结合a,b,c的关系和离心率公式，化简整理可得到所求范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为：
由右支上存在点，使得点到直线的距离为，
因此：，且
可得：
可得：又
故选：A
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
10．D
【解析】根据抛物线的定义以及双曲线的性质得出点坐标，将其代入抛物线方程，得出，最后由离心率公式即可得出答案.
【详解】渐近线，渐近线
由结合抛物线的定义知，线段垂直于抛物线的准线
则设，则
由于点在渐近线上，则，解得
即点，则，解得
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及双曲线的基本性质以及抛物线的定义，属于中档题.
11．C
【解析】根据两点间距离公式得出，结合直角三角形的边角关系得出圆心到直线的距离，最后由直线与圆相交的弦长公式得出答案.
【详解】该圆圆心，
则圆心到直线的距离
即
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用直线与圆相交的弦长公式求弦长，属于基础题.
12．A
【分析】根据可得，设直线，用表示后可求的最小值.
【详解】因为点在的延长线上，且，所以.
因为，故设直线，，
由可得，所以.
又，当时等号成立，故的最小值为2，
所以面积的最小值为4.
故选：A.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的三角形面积的最值问题，注意根据抛物线的形式假设合理的直线方程，本题属于基础题.
13．AC
【分析】首先设，根据条件求得动点的轨迹以为圆心，半径的圆，然后对选项进行逐一判断即可．
【详解】设，由得， ，
整理得的方程为，其轨迹是以为圆心，半径的圆．
由图可知，由于，所以当垂直时，即时，的面积的最大值，
所以，选项B错误；
因为，所以，所以，
又轨迹的轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，选项A正确；
当时， ，则为等腰直角三角形， ，选项C正确；
当直线与圆相切时， ，此时，
所以，所以切线的倾斜角为和，
由图可知，可得直线的斜率的取值范围为，选项D错误.
故选：AC
14．BCD
【分析】由已知先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，然后求出过焦点的直线方程并与抛物线方程联立，求出点的坐标，再求出圆的方程，即可求出点，的坐标以及点关于点的对称点的坐标，然后对应各个选项即可判断是否正确．
【详解】由抛物线的方程可得：，准线方程为：，
过点且斜率为的直线的方程为：，代入抛物线方程可得：
，解得或，
取的坐标为，，则，
所以圆的方程为：，
令，则，，，
设关于点的对称点为，
所以，，得，
所以，故A错误，
选项，所以，所以，，三点共线，故B正确，
因为，且，所以三角形为等边三角形，故C正确，
由，，，的坐标可得：，，，
所以四边形为矩形，故D正确，
故选：BCD
15．
【分析】设，由点线距离及两点距离公式列式化简即可.
【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.
故曲线的方程为.
故答案为：
16．
【分析】根据点到直线的距离公式求出，进而根据的面积并结合离心率的定义求得答案.
【详解】如图，根据双曲线的对称性，不妨设点M在第二象限，则对应的渐近线方程为，因为，所以.
由勾股定理，，而的面积为4，则，则离心率.
故答案为：.
17．或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分）
【分析】由题意利用一条直线到另一条直线的夹角公式，求得与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率.
【详解】解：某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，
设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为，且，
则，
解得.
故答案为：或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分）
18．
【分析】由题得，把平方化简即得解.
【详解】∵直线y＝2x为双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，
所以
∴e．
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（直接求出再代入离心率公式得解）；（2）方程法（由已知得到关于离心率的方程，解方程即得解）.
19．
【分析】如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、，设，，利用圆的几何性质可得与的关系，再由双曲线的几何性质可得的关系，从而得到双曲线的离心率.
【详解】如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、、，
设，，则.
因为为圆的弦，故，故，
解得，故.
又，故.
因为、分别为、的中点，故，
由双曲线的定义可知，
故即，
整理得到，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算，根据圆的几何性质和双曲线的定义构建的关系是关键，本题属于难题.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，，由根据两点间的距离公式列出方程，可得，再结合可得，代入即可求解；
（2）设，则，，即，结合题意可得直线的方程，联立方程组可得的坐标，代入曲线，可得，结合在曲线上，可得，消去，整理化简即可得证.
【详解】（1）设，，
由，，，
可得，化简得，
因为轴于点，所以，，，
由，则，则，
代入，可得，
所以曲线的方程为.
（2）由题意，设，则，，即，
因为轴，所以，，
则直线的方程为，
联立，化简得，，
即，
因为在曲线上，所以，
化简得，
因为在曲线上，所以，即，
代入，
可得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
由于，且，
所以.
21．(1)；
(2)过定点.
【分析】（1）由右焦点到的一条渐近线的距离为1，可求得，再由离心率为，结合可求出，从而可求出双曲线的方程；
（2）设，则，设直线为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，再表示出直线的方程，令，表示出，结合前面的式子化简可得结果.
【详解】（1）已知双曲线：（，）的右焦点为，
渐近线方程为，即
因为右焦点到的一条渐近线的距离为1，
所以，
因为双曲线的离心率为，即
所以，得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，
因为点在双曲线上，且线段轴，
所以，
设直线为，
由，得，
，得，
则，
因为
直线为，
令，得
，
所以直线经过轴上的一定点.
22．(1)或
(2)
【分析】（1）利用共轭点的定义列方程求解即可，
（2）设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，分别求出，到直线的距离，代入，即可求出其最大值
【详解】（1）设点在椭圆的共轭点为，则
，且，
解得或，
所以点A关于M的所有共轭点的坐标为或
（2）因为∥，，所以设直线的方程为，，，
将代入中，化简得，
由，得，
，
所以
，
设，到直线的距离分别为，
因为∥，
所以等于，到直线的距离和，
所以，
所以
，
令，则在上单调递减，
所以当时，即时，取最大值16，
所以当时，的最大值为
23．(1)；
(2)存在，N（0，1）.
【分析】（1）根据焦距求出c，再将点P的坐标代入椭圆方程，进而求得答案；
（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据得到点N在以AB为直径的圆上，得到，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题.
【详解】（1）由焦距为2得，又因为P（，－）在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以椭圆C的方程为：．
（2）假设在y轴上存在定点N，使得恒成立，设N（0，），A（，），B（，）.
①当直线l的斜率存在时，设l：，由整理得，，，．
因为，所以，而点M为线段AB的中点，所以，则点N在以AB为直径的圆上，即．
因为，
所以
，
∴解得，即存在N（0，1）满足题意.
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足.
综上，存在定点N（0，1），使得恒成立.
【点睛】本题需要解决两个问题：首先，说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.
24．（1）；（2）.
【分析】（1）用待定系数法求出椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线的斜率不存在时，求出当直线的斜率存在时，设直线的方程为用“设而不求法”表示出，求出的取值范围.
【详解】（1）依题意得，左焦点，则右焦点
即，且则
得.椭圆方程为
（2）当直线的斜率不存在时，
此时
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由消去得：显然
设，
则 故
因为
所以点到直线的距离即为点到直线的距离
所以
因为，所以
综上，
【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求法 ”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
25．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意可得，从而求出，的值，再利用求出的值，得到椭圆的方程即可．
（2）当的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，同理，所以，再利用换元法，则，则，再利用二次函数的性质求出的范围，当的斜率不存在时，显然，再取两种情况的并集即可得到的取值范围．
【详解】（1）依题意，A是C短轴的端点.
因为是面积为的等边三角形，所以.
设，则，且.
所以
所以，
即C的方程为.
（2）当l的斜率存在时，设其方程为.
联立，消去y得：.
整理得：.
由，即，得.
设，.
则，.
则.
同理.
则
.
.
令，则，且，，
则.
由，得.
因为在单调递减，且，.
则，所以.
所以.
当l的斜率不存在时，M，N即为C短轴端点，且都在P的下方.
此时.
综上，的取值范围是
【点睛】方法点睛：涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.
26．（1）或（2）见解析
【分析】（1）利用几何关系得出，再由斜率公式以及两点间距离公式，列出方程组，即可求解；
（2）设，则，根据中点坐标公式得出，再由垂直平分线的性质得出点的轨迹为椭圆，由椭圆的定义即可作出判断.
【详解】（1）若，垂直平分，则
又，，即
设 ，则，且
解得或
（2）设，则，由的中点为，可得
因为的垂直平分线过点，则
，即点的轨迹是椭圆（不含点）
故由椭圆的定义可知，存在满足为定值
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式以及斜率公式，涉及了椭圆的轨迹问题，属于中档题.
27．
（1）
（2）存在使得.
【解析】（1）设直线l的方程为：，与抛物线联立得到，由于MN过焦点，因此，结合韦达定理，得解；
（2）设，圆的方程,令，得到关于点A，B横坐标的韦达定理，用表示，即得解.
【详解】（1），故直线l的方程为：
联立方程组：
设直线与抛物线的两个交点为，则
故抛物线的方程为
（2）由（1）知，设，则圆C的方程为：
令
设，则
，又
存在使得.
【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
28．
【分析】由双曲线的渐近线方程为，可知，再结合与，可求得离心率；不妨取点在第一象限，写出点的坐标后，由三角函数的知识可得解．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
，
，
离心率．
不妨取点在第一象限，
，且，
，
，
．
故答案为：；．