02函数及其性质、指对幂函数-浙江省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习习（2019新版·人教A版）

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一、单选题
1．（2023上·浙江嘉兴·高三统考期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江·高三期末）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·浙江绍兴·高三期末）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·浙江·高三校联考期末）已知函数．设s为正数，则在中（ ）
A．不可能同时大于其它两个B．可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等D．至少有一个小于
6．（2023上·浙江·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为.若使留下的各区间长度之和不超过，则至少需要操作（ ）次（参考数据：）
A．4B．5C．6D．7
8．（2023上·浙江绍兴·高三期末）2022年，考古学家对某一古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的．若碳14的初始量为k，衰减率为p（），经过x年后，残留量为y满足函数为，已知碳14的半衰期为5730，则可估计该建筑大约是哪一年建成．（参考数据）（ ）
A．公元前1217年B．公元前1423年C．公元前2562年D．公元前2913年
9．（2023上·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023上·浙江嘉兴·高三统考期末）已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．D．
12．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数且时，则（ ）
A．为偶函数B．
C．当时，D．存在实数，使得
13．（2023上·浙江·高三期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为偶函数，，且，则不等式的正整数解可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（2023上·浙江·高三期末）已知函数，则（ ）
A．当时，函数的极大值为
B．若函数图象的对称中心为，则
C．若函数在上单调递增，则或
D．函数必有3个零点
15．（2023上·浙江绍兴·高三期末）定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2023上·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知函数定义域为，且为奇函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数对称中心为B．
C．D．
17．（2023上·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知函数的导函数，且，，则（ ）
A．是函数的一个极大值点
B．
C．函数在处切线的斜率小于零
D．
18．（2023上·浙江·高三校联考期末）设f（x），g（x）都是定义域为[1，＋∞）的单调函数，且对任意，，，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023上·浙江宁波·高三期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023上·浙江嘉兴·高三统考期末）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023上·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）直线，为曲线与的两条公切线．从左往右依次交与于点、点；从左往右依次交与于点、点，且点位于点左侧，点位于点左侧．设坐标原点为，与交于点．则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
22．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）设，若函数恒成立，则实数的取值范围是 .
23．（2023上·浙江·高三期末）已知函数 ，若恒成立，则k的最小值是 ．
24．（2023上·浙江绍兴·高三期末）已知函数，若，实数m满足，则实数m的取值范围是 ．
25．（2023上·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）函数的最大值为 .
26．（2023上·浙江·高三校联考期末）第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳－14测定法测定树木样品中碳－14衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳－14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳－14含量，n为树龄（单位：年），通过测定发现某古树样品中碳－14含量为，则该古树的树龄约为 万年．（精确到0.01）（附：）．
四、双空题（新）
27．（2023上·浙江宁波·高三期末）在平面直角坐标系中，已知三点，请写出2个函数关系式或曲线的方程，使函数图象或方程的曲线经过A，B，C三点： ， .
五、问答题
28．（2023上·浙江杭州·高三期末）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】由已知等式解出，通过构造函数，利用单调性比较大小.
【详解】，可得由已知得，，，
比较和，构造函数，
当，，在上单调递增，故，即.
同理比较和，构造函数，
当，，所以在上单调递增，所以，即.
综上.
故选：A.
2．A
【分析】集合与集合分别为函数的定义域和值域，求出集合与集合再求其交集即可.
【详解】由已知，集合与集合分别为函数的定义域和值域，
求得定义域为，值域为，
∴，，
∴.
故选：A.
3．C
【分析】根据二次根式的性质，结合集合并集的定义进行求解即可.
【详解】，则．
故选择：C
4．D
【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造，利用导数求其单调性可得到，再构造可得到，即可得到答案
【详解】设，
则，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，
由，所以，
所以当，所以在上单调递增，
当，所以在上单调递减，
又，，
从而即在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，即，
构建，则，
令，则，
当时，，则在单调递增，
所以，即，
故在上单调递增，则，
故在恒成立，
取，可得，
构造，则，
当时，，故在单调递增，
所以，所以当时，
，取，则，
综上所述得：，即.
故选：D.
【点睛】方法点睛：
对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
5．D
【分析】利用导数分析函数的单调性和最值，并结合的大小关系，通过赋值或分类讨论分析判断.
【详解】∵，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，则，且，
对A：若，则，则，A错误；
对B、C：当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则，故；
综上所述：不可能同时小于，B、C错误；
对D：构建，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
令，可得，则，
故，即，使得，
反证：假设均不小于，则，
显然不成立，假设不成立，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：在比较与的大小关系时，通过构建函数，结合导数分析判断.
6．B
【分析】计算得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】，
所以，
.
故选：B.
7．C
【分析】根据条件得到规律：第次操作去掉的线段长度之和为，然后利用等比数列的求和公式可得留下的各区间长度之和，然后解不等式可得答案.
【详解】第一次操作去掉的线段长度为，
第二次操作去掉的线段长度之和为，
第三次操作去掉的线段长度之和为，
……
第次操作去掉的线段长度之和为，
所以留下的各区间长度之和为，
所以，
即；
故选：C.
8．C
【分析】由半衰期为5730得到，由解出，即可作出判断.
【详解】由题意可得，，则，则，
故选：C．
9．D
【分析】先比较的值，然后构造新函数利用函数导数与单调性比较即可.
【详解】因为，所以，所以，
设，
则，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
因为，
所以，
即，
由函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
故选：D.
10．D
【分析】根据对变形，可得，利用基本不等式、指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得答案.
【详解】因为，，
所以，
因为，
，
所以.
故选：D
11．BCD
【分析】通过函数的奇偶对称性和图像的平移，结合导数的运算，得到函数的对称性，得到周期，再由周期计算函数值验证选项.
【详解】由知函数为偶函数，又，
，则的图像关于轴对称，
所以的图像关于直线对称，有，即，
设，则，（c为常数），
，，所以；
由，两边同时求导，有，可知为奇函数，
函数仍然是奇函数，图像关于原点对称，
又，所以的图像关于点中心对称，有；
函数满足以上函数的性质，但不是奇函数，A选项错误；
和，得，令，则有，所以函数为周期函数，B选项正确；
为的一个周期，则，所以，，所以，D选项正确；
由周期为4知也是的一个周期，所以，即，即，C选项正确.
故选：BCD.
【点睛】此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数图像的对称中心是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路.
12．ACD
【分析】由题意可得，求导后可得，判断A；由题意设设，可推得，结合题意推出，可得，判断B；结合的性质采用赋值法推得当时，，即，判断C；利用的单调性，结合的性质推出，可判断D.
【详解】对于A，为奇函数，则，求导得，
即，所以为偶函数，故正确；
对于B，设，因为为奇函数，所以也是奇函数；
，
，即，
所以关于对称，即，又关于对称，即，
故，即，所以的周期为2，故，
故B不正确；
对于C，因为是奇函数，所以，
令，则，又的周期为2，
所以当为奇数时，；当为偶数时，，
故当时，，即，故C正确；
对于D，由时，可知单调递增，且由C选项知，
所以当时，，
所以，
同理，当时，，所以，
所以时，，根据的周期为2知，，
故存在，使得，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：选项的判断比较困难，因此要根据函数性质结合函数结构特点设出，结合的性质，判断出函数的性质，特别困难的是判断D选项，要结合的单调性以及函数值情况推出，继而解决问题.
13．AB
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性、导数的性质、通过构造新函数逐一判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以
所以为即的对称轴，即，因为，
所以，
所以为的对称中心①，
，
所以，所以在R上单调递减，
记，即，
由①可知，
所以，因为，所以，所以．
故选择：AB
【点睛】关键点睛：根据偶函数的定义判断两个函数的对称性，结合构造新函数法是解题的关键.
14．BD
【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.
【详解】A项：当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误；
B项：因为函数图象的对称中心为，
所以有，故正确；
C项：恒成立，显然必有两根，则在递减，故错误；
D项：必有2相异根，且非零，故必有3个零点，故正确．
故选择：BD
15．AC
【分析】根据可得，通过构造函数可得在上是单调递减函数，再根据函数单调性的应用逐个比较大小即可得出结论.
【详解】由题意可知构造函数，
则，所以在上是单调递减函数，
于是：，于是，所以A正确；
，于是，所以B错误；
，于是，所以C正确；
由于而，所以的范围无法确定，D不一定正确．
故选：AC
【点睛】方法点睛：解决此类问题时往往可以通过观察题目所给信息并结合导数四则运算的基本形式，合理构造函数并利用导函数判断出函数的单调性，即可得出不等式大小.
16．BD
【分析】根据奇函数的定义与性质逐项分析判断.
【详解】令
对A：可以认为是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
若为奇函数，则的对称中心为，故函数对称中心为，A错误；
对B：若为定义在上的奇函数，则，B正确；
对C、D：若为奇函数，则，即，得，
令，得，但无法确定与是否相等，C错误；
令，得，D正确；
故选：BD.
17．AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.
【详解】令，解得，则在上单调递增，
令，解得或，则在上单调递减，
故是函数的一个极大值点，，A、B正确；
∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；
又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
18．AC
【分析】根据条件求出 和 的解析式，再逐项分析.
【详解】由条件可知： 是单调的函数， ， （m为常数），
即 ， ，将上式代入 得：
，解得 或者 ，
又即，所以，
显然，当 时， ， ，即 ；
对于A， ，正确；
对于B，，，错误；
对于C， ，
即 ， ，
正确；
对于D，（仅当 时等号成立） ，
，错误；
故选：AC.
19．AD
【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.
【详解】根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，
，故A正确；
由，取，可得，故B错误；
由可得，当且仅当即取等号，C错误；
由基本不等式可知，当且仅当取等号，
但，等号取不到，故D正确，
故选：AD.
20．BCD
【分析】运用不等式的性质，结合对数函数的单调性、作差比较法逐一判断即可.
【详解】A：由，因此本选项不正确；
B：由，因此本选项正确；
C：因为，所以，因此本选项正确；
D：因为，所以
，因此本选项正确，
故选：BCD
21．ACD
【分析】先由和是一对反函数，图象关于对称，得出点关于对称，点关于对称，点在直线上，再算出和的公切线方程，设点坐标为，用表示出三个点的坐标，由直线性质算出点坐标，再依次验证各选项即可.
【详解】由题意，画出大致图象如图，
设与为直线为直线，
且和是一对反函数，图像关于直线对称，
则点关于直线对称，点关于直线对称，点P在直线上，
设的切点为的切点为，
由，
得的切线方程为，
的切线方程为，
当两函数的切线方程重合时，即为公切线，
则，将代入得.
作出函数与的图象如图，
设方程的其中一个解为，则，
由，可得，
又因，则方程的另一个解为，
因此A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，D点坐标为．
因为与关于直线对称，所以，选项A正确；
由点在直线上可得，
设点P坐标为，则，解得，
设，
则，
则在上单调递减，
由，
可得在上的函数值为先正后负，
即在上的值为先正后负，
则在上的单调性为先增后减，
又，且，
则，即，
所以，选项B错误；
分别连接如图，
由
得，选项C正确；
分别连接如图，
得第三象限夹角，即，选项D正确．
故选：ACD
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主要体现在一下几个方面：（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数；（2）已知斜率求切点，即解方程；（3）已知切线过某点（不是切点）求切点，设出切点，利用求解.本题的关键点在于利用反函数的对称性，设点坐标为，用表示出三个点的坐标即可求解.
22．
【分析】令结合在的单调性得，进一步结合基本不等式得，进而可得的取值范围.
【详解】由，函数恒成立得：.
令（显然，否则不等式自然成立），于是得到：
两式相乘：.
令，在恒成立，
故在单调递增，
则，从而，
由，则，则，
，当且仅当，即时取等，
则，解得：.
故答案为：.
23．1
【分析】根据分段函数解析式，分段讨论不等式恒成立，当时，采用数形结合方法可求得k的范围，当时，分离参数，利用导数求函数的最值，综合可得k的最小值.
【详解】由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，
作出函数的图象如图示，
，即在原点处的切线斜率为1，
由图象可知，当时，即有时，恒成立，
故当时，恒成立，则；
当时，恒成立，即恒成立，
设，所以在内恒成立，
即在上单调递减，所以，则，
综上所述，k的最小值为1，
故答案为：1
24．
【分析】利用换元法结合基本不等式，求出函数的最大最小值，再由确定实数m的取值范围.
【详解】设，则．
当时，；
当时，，
时，，当且仅当即等号成立，
所以，
时，，当且仅当即等号成立，
所以；
，
综上，，
由，所以，即．解得.
故答案为：．
【点睛】关键点睛：利用换元法结合基本不等式，求出函数的最大最小值是本题的关键.
25．8
【分析】先求出定义域，再分，与三种情况，结合柯西不等式，求出最大值.
【详解】由题意得：，解得：，
当时，，
当，即时取等号，
当时，，当时取等号，
当时，，
当，即时取等号，
因为，所以最大值为8.
故答案为：8
【点睛】柯西不等式在求解不等式最值或者证明不等式方面是一个强有力的工具，使用好柯西不等式的关键是要对不等式进行变形，使得不等式一边为定值，且注意柯西不等式取等号的条件是否满足.
26．
【分析】根据题意结合对数的定义及运算求解.
【详解】由题意可得：，整理得.
所以该古树的树龄约为万年.
故答案为：.
27． （答案不唯一，符合题意即可） （答案不唯一，符合题意即可）
【分析】根据题意设解析式，代入运算求解.
【详解】∵关于y轴对称，且在y轴上，
可设，则可得，解得，故；
可设，则可得，解得，故.
故答案为：；.
28．(1)
(2)
【分析】（1）构造等式，即可解得的解析式；
（2）对k的符号分类讨论，其中时，由参变分离可得恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.
【详解】（1）由题意得：，∴，
解得；
（2）i.当时，明显无解；
ii.当时，只有一个实根，不符合条件；
iii.当时，恰有四个不相等的实根.
∴与共有四个不相等的实根.
∴解得或，∴或，
∴实数k的取值范围是．