人教版初中数学九年级上册期末测试卷（标准难度）（含详细答案解析）

这是一份人教版初中数学九年级上册期末测试卷（标准难度）（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1，x2，若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3，则k的值( )
A. 0或2B. -2或2C. -2D. 2
2.如图，在长70 m，宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的14，则路宽x应满足的方程是
( )
A. (40-x)(70-x)=700B. (40-2x)(70-3x)=2100
C. (40-2x)(70-3x)=700D. (40-x)(70-x)=2100
3.函数y=ax与y=ax2+a(a≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
4.将抛物线y=-x2+2向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为
( )
A. y=-(x+1)2+6B. y=(x-1)2+6
C. y=-(x+1)2-2D. y=-(x-1)2-2
5.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
．( )
A. (-1,2+ 3)B. (- 3,3)C. (- 3,2+ 3)D. (-3, 3)
6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，将AC绕点A逆时针旋转α(0∘<α⩽90∘)，得到线段AE，连接CE.设AB=a,CE=b，下列说法正确的是
( )
A. 若α=30∘，则b=12aB. 若a=45∘，则b= 2a
C. 若α=60∘，则b=aD. 若α=90∘，则b=2a
7.
如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B=65∘，∠C=75∘，则∠EDF的度数是
( )
A. 65∘
B. 140∘
C. 55∘
D. 70∘
8.如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D.连接AC.若BC=4 2，AC=3，则⊙O的半径长为( )
A. 9
B. 8
C. 92
D. 3
9.如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C(不包含点A，点B所在的格点)，恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是( )
A. 623B. 15C. 923D. 725
10.正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为( )
A. π-22B. π-24C. π-28D. π-216
11.已知二次函数y=x2-2x+3，当-2≤x≤2，下列说法正确的是( )
A. 有最小值11B. 有最小值3C. 有最小值2D. 有最大值3
12.如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为
( )
A. 3B. 3 3C. 6D. 9
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=_____．
14.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若-115.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC= ．
16.瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
阅读下面的材料并完成解答．
《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：

①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_________步；
②中间小正方形的面积为________平方步；
③若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为__________；
④由②③可得关于x的方程________，进而解得矩形田地的宽为24步．
18.(本小题8分)
如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF.设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式y=a(x-h)2+k(a<0)；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图象(图2)．
(3)若如图3的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米(精确到0.1米)？
19.(本小题8分)
已知：二次函数y=ax2-2ax+a+1．
(1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)若点A(n+1,y1)，B(n-2,y2)在抛物线y=ax2-2ax+a+1(a>0)上，且y120.(本小题8分)
在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到线段AD．
(1)若线段DA的延长线与线段BC相交于点E(不与点B，C重合)，写出满足条件的α的取值范围；
(2)在(1)的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．
21.(本小题8分)
如图，等边△ABC的边长为8，⊙O的半径为 3，点O从A点开始，在△ABC的边上沿A-B-C-A的轨迹运动．
(1)⊙O从A点出发至回到A点与△ABC的边相切了______次
(2)当⊙O与边AC相切时，求OA的长度．
22.(本小题8分)
在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系(如图1，2，3所示)，小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
23.(本小题8分)
为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
(1)“A志愿者被选中”是______ 事件(填“随机”或“不可能”或“必然”)；
(2)请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
24.(本小题8分)
某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
(1)本次比赛参赛选手共有______人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为______；
(2)补全图2频数直方图；
(3)赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
(4)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点(1,1)，(0,0)，(-13，-13)，……都是和谐点．
(1)判断二次函数y=x2-2的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(1,1)．
①求这个二次函数的表达式；
②若0≤x≤m时，函数y=ax2+2x+c+32(a≠0)的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围．(可通过画出函数图象草图来求解)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=k-1，x1x2=-k+2．
∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3，即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3，
∴(k-1)2+2k-4-4=-3，
解得：k=±2．
∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有实数根，
∴Δ=[-(k-1)]2-4×1×(-k+2)≥0，
化简得：k2+2k-7≥0，
∴k=2时满足．
故选：D．
由根与系数的关系可得出x1+x2=k-1，x1x2=-k+2，结合(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0可得出关于k的不等式，进而可确定k的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3，求出k的值是关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是表示出剩下的空白面积的长和宽，根据面积列方程．设路宽为xm，所剩下的空白面积的宽为(40-2x)m，长为(70-3x)m，根据要使观赏路面积占总面积的14，可列方程求解．
【解答】
解：设路宽为xm，
(40-2x)(70-3x)=(1-14)×70×40，
(40-2x)(70-3x)=2100．
故选B．
3.【答案】D
【解析】解：当a>0时，由二次函数y=ax2+a=a(x2+1)可知y>0；当a<0时，由二次函数y=ax2+a=a(x2+1)可知y<0．
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
根据二次函数y=ax2+a的图象点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟记一次函数与二次函数的有关性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据平移规则，“上加下减，左加右减”，求解即可．
【详解】解：抛物线 y=-x2+2 向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为 y=-(x+1)2+2-4=-(x+1)2-2
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握函数平移的规则．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查坐标与图形变化-旋转，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，作B'H⊥y轴于H.由含30°角的直角三角形的性质求出A'H，由勾股定理求出B'H，进而得出OH即可得出答案．
【解答】
解：如图，作B'H⊥y轴于H．
由题意得：OA=AB=2，△OAB≌△OA'B'，
∴OA'=OA=A'B'=AB=2，∠B'A'H=∠A'OB'+∠OB'A'=∠AOB+∠OBA=60°，
∴∠A'B'H=30°，
∴A'H=12A'B'=1，B'H= A'B'2-A'H2= 3，
∴OH=OA'+A'H=3，
∴B'(- 3,3)，
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
当α≠90∘时，过点E作EH⊥AC于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求出AE= 2a，再根据不同的角度求出HE，根据CE>HE即可判断A，B，C；当α=90∘时，利用勾股定理即可判断D．
【解答】解：当α≠90∘时，过点E作于H，
∵四边形ABCD是正方形，
，
∴AC= AB2+BC2= 2a，
由旋转的性质可得AE=AC= 2a，
当α=30∘时，则HE=12AE= 22a，
∵CE>HE，
∴b> 22a>12a，故 A不符合题意；
当α=45∘时，则，
∴HE=AH=a，
∵CE>HE，
∴b>a>12a，故 B不符合题意；
当α=60∘时，则，
∴AH=12AE= 2a2，
∴HE= 3AH= 6a2，
∵CE>HE，
∴b> 6a2>a，故 C不符合；
当α=90∘时，则CE= AC2+AE2=2a，即b=2a，故 D符合题意，
故选D．
7.【答案】D
【解析】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI=∠AFI=90∘，
∴∠A=180∘-∠EIF，
∵∠EDF=12∠EIF，
∴∠EDF=90∘-12∠A，
∵∠B=65∘，∠C=75∘，
∴∠A=180∘-∠B-∠C=180∘-65∘-75∘=40∘，
∴∠EDF=90∘-12×40∘=70∘.
故选：D.
连接IE、IF，如图，根据切线的性质得到∠AEI=∠AFI=90∘，利用四边形的内角和得到∠A=180∘-∠EIF，再利用圆周角定理得到∠EDF=90∘-12∠A，然后根据三角形内角和求出∠A，从而可计算出∠EDF.
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了切线的性质．
8.【答案】C
【解析】【分析】
连接AC，OC，由垂径定理可求解CD的长，∠ADC=∠ODC=90°，利用勾股定理可求解AD的长，再根据勾股定理可求解OC的长即可求解．
本题主要考查垂径定理，勾股定理，灵活利用勾股定理求解线段长是解题的关键．
【解答】
解：连接AC，OC，
∵CD⊥OA，垂足为D，BC=4 2，
∴∠ADC=∠ODC=90°，CD=12BC=2 2，
∵AC=3，
∴AD= AC2-CD2= 9-8=1，
∵OA=OC，
∴OD=OC-AD=OC-1，
在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2，
即OC2=(2 2)2+(OC-1)2，
解得OC=92，
即⊙O的半径长为92，
故选：C．
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．
求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】
解：如图，连接PA、PB、OP；
则S半圆O=π×122=π2，S△ABP=12×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4(S半圆O-S△ABP)
=4×(π2-1)=2π-4，
∴米粒落在阴影部分的概率为2π-44=π-22，
故选：A．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据-2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵二次函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2，
∴该函数的对称轴是直线x=1，函数图象开口向上，
∴在-2≤x≤2的取值范围内，当x=-2时取得最大值11，当x=1时，取得最小值2，
故选：C．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握切线的性质，含30°角的直角三角形的性质是关键。
先连接OA，根据切线的性质得∠OAP=90°，再根据含30°角的直角三角形的性质求得OP，即可得出答案．
【解答】
解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
∴BP=6-3=3．
故选：A．
13.【答案】-1
【解析】【分析】
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，倒数的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，方程有解，设此时方程的解为x1和x2，则有x1+x2=-ba，x1x2=ca.设方程的两根分别为m与n，由m与n互为倒数得到mn=1，再由方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，然后利用根与系数的关系表示出两根之积，可得出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【解答】
解：设已知方程的两根分别为m，n，
由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，
由方程有解，得到Δ=b2-4ac=(a-1)2-4a2≥0，
解得：-1≤a≤13，
又mn=a2，∴a2=1，
解得：a=1(舍去)或a=-1，
则a=-1．
故答案为-1．
14.【答案】-4≤y<0
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．
根据图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称轴公式可得b值，根据图象与y轴交点可得c值，即可得出二次函数最小值，根据二次函数增减性即可得答案．
【解答】
解：由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-b2×1=1，
∴b=-2，
∵抛物线与y轴点交点为(0,-3)，
∴c=-3，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴二次函数的最小值为12-2×1-3=-4，
当x=-1时，y=0，当x=2时，y=-3，
∴-1故答案为：-4≤y<0．
15.【答案】70°
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角是解题的关键．连接AC，得到∠CAB=12∠DAB=20°，∠ACB=90°，计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB=12∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=70°，
故答案为70°．
16.【答案】23
【解析】根据抛掷这个正方体一次，线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆这6个图形出现的机会相同，6个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有线段、矩形、圆和菱形4个，然后利用概率公式进行解答即可．
【解答】解：∵这6个图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的是线段、矩形、菱形和圆，
∴向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：4÷6=23，
故答案为：23．
17.【答案】解：①60；
②144；
③4x2-240x+3600；
④4x2-240x+3600=144．

【解析】本题考查列代数式、列一元二次方程，理解题意，根据求小正方形的面积列代数式是解题的关键．
①根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；
②先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；
③设矩形田地的宽为x步，则长为60-x步，从而可得小正方形的边长为60-2x步，再利用正方形的面积公式即可求解；
④由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．
解：①由图可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成，
∵长与宽之和为60步，
∴正方形的边长为60步，
故答案为：60；
②∵大正方形的面积为60×60=3600平方步，四个矩形的总面积为4×864=3456平方步，
∴中间小正方形的面积为3600-3456=144 (平方步)，
故答案为：144；
③设矩形田地的宽为x步，则长为60-x步，
∴小正方形的边长为60-x-x=60-2x 步，
∴小正方形的面积为(60-2x)(60-2x)=4x2-240x+3600，
故答案为：4x2-240x+3600；
④由题意可得，4x2-240x+3600=144，
故答案为：4x2-240x+3600=144．
18.【答案】解：(1)根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6.0，
故答案为：6.0；
由题意知，h=4，k=6，
∴隧道满足的关系式为y=a(x-4)2+6，
把x=0，y=4代入解析式得：16a+6=4，
解得a=-18，
∴隧道满足的关系式为y=-18(x-4)2+6；
(2)根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出图象如图所示：
(3)当x=1时，y=-18(1-4)2+6=4.875，
∴4.875-0.35=4.525≈4.5(米)，
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【解析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
(1)根据二次函数的对称性可知在当x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图象即可；
(3)令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米，可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
19.【答案】解：(1)∵y=ax2-2ax+a+1．
=a(x2-2x+1)+1
=a(x-1)2+1，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标(1,1)；
(2)∵a>0，
∴二次函数图象开口向上，
①若A(n+1,y1)在直线x=1的右边，B(n-2,y2)在直线x=1的左边，
由题意可得n+1>1,n-2<1,1-n-2>n+1-1,
∴0②若A(n+1,y1)在直线x=1的左边，B(n-2,y2)在直线x=1的左边，
由题意可得，n+1≤1，
∴n≤0，
综上所述：n<32．
【解析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)先配成顶点式，求出二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
(2)分两种情况，①若A(n+1,y1)在直线x=1的右边，B(n-2,y2)在直线x=1的左边，列不等式求出解集，②若A(n+1,y1)在直线x=1的左边，B(n-2,y2)在直线x=1的左边，列不等式求出解集．
20.【答案】解：如图1，
从图可得：120°<α<180°；
(2)①如图2，
②如图3，
AE=AF+CE，理由如下：
作∠ACG=∠D交AE于G，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D，
设∠ABD=∠D=∠ACG=β，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴AD=AC，
在△ADF和△ACG中，
∠D=∠ACGAD=AC∠DAF=∠CAG，
∴△ADF≌△ACG(ASA)，
∴AF=AG，
∴AE=AG+GE=AF+GE，
在△BDE中，
∠BED=180°-∠D-∠DBE=180°-β-(60°+β)=120°-2β，
∴∠CGE=∠BED-∠ECG=(120°-2β)-(60°-β)=60°-β，
∴∠CGE=∠ECG，
∴EG=CE，
∴AE=AG+EG=AF+CE．
【解析】本题考查了根据条件画图，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质等知识，等腰三角形的判定等，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
(1)将CA和BA延长，则D点在∠D1AD2内部；
(2)①在(1)基础上，取一点D，画出图形；
②作∠ACG=∠D交AE于G，证明△ADF≌△ACG(ASA)，从而得出AE=AF+GE，计算得出∠CGE=∠ECG，根据等角对等边得出EG=CE，即可得出结果．
21.【答案】解：(1)6；
(2)⊙O与边AC相切时，O分别在AB边与BC边上两种情况：如图所示：
当O在AB边上，⊙O与边AC相切时，切点为D，连接OD，
则OD⊥AC，
∵∠OAD=60°，
∴∠AOD=30°，
∴AD= 33OD=1，OA=2AD=2；
当O在BC边上，⊙O与边AC相切时，切点为E，连接OE，
则OE⊥AC，
∵∠OCE=60°，
∴∠COE=30°，
∴CE= 33OE=1，
∴AE=AC-CE=8-1=7，
∴OA= OE2+AE2= ( 3)2+72=2 13；
综上所述，当⊙O与边AC相切时，OA的长度为2或2 13．
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质和切线的判定与性质是解题的关键．
(1)⊙O从A点出发至回到A点，依次与AB相切、BC相切、AC相切、AB相切、BC相切、AC相切，则⊙O从A点出发至回到A点，与△ABC的边相切了6次；
(2)⊙O与边AC相切时，O分别在AB边与BC边上两种情况，当O在AB边上，⊙O与边AC相切时，切点为D，连接OD，由切线的性质得出OD⊥AC，求出∠AOD=30°，由直角三角形的性质得出AD= 33OD=1，OA=2AD=2；
当O在BC边上，⊙O与边AC相切时，切点为E，连接OE，由切线的性质得出OE⊥AC，求出∠COE=30°，得出CE= 33OE=1，则AE=AC-CE=7，再由勾股定理即可得出OA=2 13．
【解答】
解：(1)⊙O从A点出发至回到A点，依次与AB相切、BC相切、AC相切、AB相切、BC相切、AC相切，
∴⊙O从A点出发至回到A点，与△ABC的边相切了6次，
故答案为：6；
(2)见答案
22.【答案】证明：如图2：
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO，
∴∠AOD=2∠ACO，
同理可得：∠BOD=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD
=2∠ACO+2∠BCO
=2∠ACB，
∴∠ACB=12∠AOB；
如图3：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO，
∴∠AOD=2∠ACO，
同理可得：∠BOD=2∠BCO，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD
=2∠BCO-2∠ACO
=2∠ACB，
∴∠ACB=12∠AOB．
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
如图2：利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，从而利用三角形的外角性质可得∠AOD=2∠ACO，同理可得：∠BOD=2∠BCO，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
如图3：利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，从而利用三角形的外角性质可得∠AOD=2∠ACO，同理可得：∠BOD=2∠BCO，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
23.【答案】解：(1)∵从A，B，C，D四名志愿者中确定两名志愿者参加．
每个人都可能被抽中，
∴“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机．
(2)列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，
所以A，B两名志愿者被选中的概率为212=16．
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
24.【答案】解：(1)50，36%；
(2)∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%=15(人)，
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15-8=7(人)，
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%=18(人)，
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18-8=10(人)；
补全图2频数直方图：
(3)能获奖．理由如下：
∵本次比赛参赛选手50人，
∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%=20(人)，
又∵88>84.5，
∴能获奖；
(4)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率=812=23．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图．
(1)用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；从而求出59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；
(2)求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15-8=7(人)，“79.5～84.5”这一范围的人数为18-8=10(人)；补全图2频数直方图即可：
(3)求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%=20(人)，由88>84.5，即可得出结论；
(4)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)本次比赛参赛选手共有：(8+4)÷24%=50(人)，
“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为2+350×100%=10%，
∴“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%-24%-10%-30%=36%；
故答案为50，36%；
(2)见答案，
(3)见答案，
(4)见答案．
25.【答案】解：(1)存在和谐点．
设函数y=x2-2的和谐点为(x,x)，可得x=x2-2，
解得x=-1或x=2，
∴和谐点为(-1,-1)，(2,2)；
(2)①∵点(1,1)是二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的和谐点，
∴1=a+2+c，
∴c=-a-1，
∵二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+2x+c=x有且只有一个根，
∴Δ=1-4ac=0，
∴a=-12，c=-12，
∴该二次函数的表达式为：y=-12x2+2x-12；
②由①可知，y=-12x2+2x+1=-12(x-2)2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=3，
当x=0时，y=1，
当x=4时，y=1，
∵函数的最小值为1，最大值为3，
当2≤m≤4时，函数的最小值为1，最大值为3．

【解析】(1)设函数y=x2-2的和谐点为(x,x)，代入求解即可；
(2)①将点(1,1)代入y=ax2+2x+c，再由ax2+2x+c=x有且只有一个根，Δ=1-4ac=0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y=-12x2+2x+1=-12(x-2)2+3，当x=2时，y=3，当x=0时，y=1，当x=4时，y=1，则2≤m≤4时满足题意．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．
x(米)
0
2
4
6
8
y(米)
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠ACB=12∠AOB．
A
B
C
D
A
---
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
---
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
---
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
---