专题13 与相似三角形有关必考的选择题精炼-2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼

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1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝6，
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长
为（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
【答案】C
【解析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A．若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B．若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C．若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D。若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长
为（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
【答案】C
【解析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
6．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】D
【解析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．
【点评】考查相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
7. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴，
又∵，
∴，相似比为，
∴．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．
9. 如图，在中，，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
∴ ，
∴．
【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
11. 如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设，
，
，
，
，
，
，
当时，S有最大值，最大值为6．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 如图，在矩形中，P是边上的一个动点，连接，，过点B作射线，交线段的延长线于点E，交边于点M，且使得，如果，，，，其中．则下列结论中，正确的个数为（ ）
（1）y与x的关系式为；（2）当时，；（3）当时，．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】【分析】（1）证明，得，将，，代入，即可得y与x的关系式；
（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定；
（3）过点M作垂足为F，在中，由勾股定理得BP的长，证明，求出，，BF的长，在中，求出的值即可．
【详解】（1）∵在矩形中，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故（1）正确；
（2）当时，，
∴，
又∵，
∴，
故（2）正确；
（3）过点M作垂足为F，
∴，
∵当时，此时，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
故（3）不正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．