上海市2023-2024学年高三上学期期中考试数学模拟试题（含答案）

这是一份上海市2023-2024学年高三上学期期中考试数学模拟试题（含答案），共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．计算： ．
2．已知集合,则 ．
3．二项式的展开式中，系数最大的项为 ．
4．设函数，则 ．
5．复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为 ．
6．已知 ，且，则 的最大值为 .
7．已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ．
8．已知点，，则在方向上的数量投影为 .
9．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 ．
10．已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
11．A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为 ．
12．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，…，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为，则 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．下列函数在定义域内为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
14．三角形的三个顶点都不在平面上，则“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要
15．已知复数z满足，则复数z的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2）､（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（ ）
A．图（1）的点的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位
B．图（1）的射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利
C．图（2）的建议为降低成本而保持票价不变
D．图（3）的建议为降低成本的同时提高票价
三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）
17．如图，正四棱柱中，．
(1)求证：是锐角三角形；
(2)求异面直线与所成的角的大小．
18．已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式．
19．某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元.
(1)建立y与x的函数关系：
(2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义．
20．已知椭圆：，，为左右焦点，直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，其中A在第一象限，记，，．
(1)若椭圆的离心率为，三角形的周长为6，求椭圆的方程；
(2)求证：；
(3)直线与椭圆交于另一点，若，求的最大值．
21．已知集合M是满足下列性质的函数的全体；在定义域内存在实数t，使得．
（1）判断是否属于集合M，并说明理由；
（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；
（3）若，求证：对任意实数b，都有．
1．##0.5
【分析】利用等比数列求和公式得到，从而求出极限值.
【详解】，
故.
故
2．
【分析】利用函数的值域与定义域求集合结合交集的定义计算即可.
【详解】由题意可知，.
故
3．
【分析】先得到展开式的通项公式，进而得到要想系数最大，则为偶数，比较后得到答案.
【详解】展开式通项公式为，且为整数.
要想系数最大，则为偶数，
其中，，，
，
显然系数最大项为.
故
4．
【分析】根据函数求导法则求导后，即可计算出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为.
5．7
【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结果.
【详解】令且，又，
所以，即，
所以复数z对应点在以为圆心，半径为2的圆上，
又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，
所以的最大值为.
故7
6．1
【详解】试题分析：因为，所以，当且仅当时取等号. 因此即 的最大值为1.
考点：基本不等式求最值
7．
【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到，再根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合两直线平行斜率相等，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：对于直线：，令，解得，所以双曲线的一个焦点为，
双曲线的渐近线为，
依题意且又，解得，，
所以双曲线方程为；
故
8．
【分析】根据数量积的几何意义结合已知条件直接求解即可
【详解】因为，，
所以在方向上的数量投影为.
故
9．
【分析】画图求出圆柱体的底面圆的半径及高，利用圆柱体体积公式计算即可.
【详解】如图所示：连接交于点，连接，
因为四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，
所以面，
因为点在圆柱的一个底面圆周上，
所以圆柱底面圆的半径为：，
又点P在圆柱的另一个底面内，
所以圆柱体的高为，
所以圆柱体的体积为：，
故答案为.
10．
【分析】利用平均数及中位数的概念计算即可.
【详解】由题意可知，
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时中位数是；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，则有；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，可知；
此时中位数是；
综上所述这四个数的中位数的取值范围是.
故答案为.
11．##0.25
【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.
【详解】设A、B比赛A获胜为事件M，A、C比赛C获胜为事件N，C、B比赛B获胜为事件Q，
且M、N、Q相互独立，则，
设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D，
则
.
故答案为.
12．
【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.
【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推， ，，
，，，，，，，
观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有个，正五边形有个，正六边形有个，
多边形有个，
又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条线段，，正边形画条线段；
画到正多边形时，画线段的条数为，
当时，；当时，，
第条线段应在正边形中，
故答案为.
13．C
【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.
【详解】对A，，故A不是偶函数；
对B，，故B不是偶函数；
对C，的定义域为，关于原点对称，且，则其为偶函数；
对D，，故D不是偶函数，
故选：C
14．A
【分析】根据平面的位置关系及充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】如下图示，若线段、的中点、都在平面内，
则的三个顶点到平面的距离相等，
此时，所在平面与平面不平行，
即“平面与平面平行”“点、、到平面的距离都相等”；
若平面与平面平行，则点、、到平面的距离都相等，
即“平面与平面平行”“点、、到平面的距离都相等”，
所以，“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的充分非必要条件.
故选：A.
15．D
【分析】设，代入，由复数相等的条件列等式即可求解.
【详解】设，
复数满足，
，
化为，
解得，或，
，或1，或.
故选：D.
16．D
【分析】根据一次函数的性质，结合选项逐一判断即可.
【详解】A：当时，，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；
B：当时，，当时，，所以本选项说法正确；
C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；
D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，
故选：D
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算夹角即可；
（2）利用空间向量计算线线夹角即可.
【详解】（1）由题意不妨设，
如图建立空间直角坐标系，则，
则，
所以，即是等腰三角形，且为顶点，
由，即该等腰三角形的顶角为锐角，
所以是锐角三角形；
（2）由上可知，
故，
所以异面直线与所成的角的大小为
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得，联立化简变形可得即证；
（2）由（1）可得，即可求出数列的通项，结合即可求出数列的通项.
【详解】（1）因为、、成等差数列，、、成等比数列，
所以①，②，
又数列、的各项均为正数，
则由②可得③，
将③代入①，得对任意，有，
即，
所以数列是等差数列.
（2）设数列的公差为，
由，
得，，
所以，
由已知，当时，，
而也满足此式，
所以，.
19．(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设，令各方法费用，，再由已知列方程组求参数，即可得y与x的函数关系；
（2）由（1）有，，讨论、确定对应总费最小对应的实际意义即可.
【详解】（1）若分别表示用A、B方法的费用，表示A、B方法使用矿物重量，
所以，可设，，
由题意，，
所以，所需总费用，且.
（2）由（1）知：，，
当时，时总费用y的最小值，即全部用方法A冶炼费用最小；
当时，时总费用y的最小值，即1.5吨用方法A，剩余的用方法B，费用最小.
20．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义和离心率的定义建立方程组，解之即可求解；
（2）由题意可得直线AB方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，代入式子，化简计算即可证明；
（3）由题意可得直线AB方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，进而可得的表达式，写出的表达式，同理可得的表达式，由可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由椭圆的定义知，，
由题意知，，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意知，直线AB的斜率为，则其方程为，
又为直线AB与椭圆的交点，
由，消去y，得，
所以，
则
，
即.
（3）由题意知，，所以，
所以椭圆的方程为，则，
得直线的方程为，
，消去y，得，
得，所以，
则，同理，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
21．（1）不属于,理由详见解析；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）利用f（x）＝3x+2，通过f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）＝3x+2不属于集合M；
（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；
（3）当f（x）＝2x+bx2时，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．
【详解】解：（1）当时，方程
此方程无解，所以不存在实数t，使得，
故不属于集合M﹒
（2）由，属于集合M，可得
方程有实解
有实解有实解，
若时，上述方程有实解；
若时，有，解得，
故所求a的取值范围是．
（3）当时，方程
，
令，则在上的图像是连续的，
当时，，，故在内至少有一个零点
当时，，，故在内至少有一个零点
故对任意的实数b，在上都有零点，即方程总有解，
所以对任意实数b，都有．
本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．