浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题6.1 线段、射线、直线【十大题型】（学生版+教师版）

专题6.1 线段、射线、直线【十大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc2468" 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】  PAGEREF _Toc2468 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc14130" 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】  PAGEREF _Toc14130 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc25192" 【题型3 计数问题及其应用】  PAGEREF _Toc25192 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23061" 【题型4 利用线段的和与差求线段长度】  PAGEREF _Toc23061 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc2132" 【题型5 线段中点的有关计算】  PAGEREF _Toc2132 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc31289" 【题型6 线段n等分点的有关计算】  PAGEREF _Toc31289 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc14671" 【题型7 线段的数量关系】  PAGEREF _Toc14671 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc23975" 【题型8 两点间的距离】  PAGEREF _Toc23975 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc11265" 【题型9 直线、线段的性质】  PAGEREF _Toc11265 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc11841" 【题型10 线段的长短比较及其应用】  PAGEREF _Toc11841 \h 35【知识点1 线段、射线、直线】【题型1 线段、射线、直线概念辨析】【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57回有这么一句话，“自古道:‘千里姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（    ）A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对【答案】C【分析】根据线段的定义解答即可．【详解】解：“自古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线段．故选：C．【点睛】本题考查了线段，掌握线段的定义（有两个端点的线）是解题的关键．【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（   ）A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短【答案】A【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可．【详解】解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故A正确．B、过一点P可以作无数条直线；故B错误．C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故C错误．D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直线与射线的不同点．【变式1-2】（2022·河北邢台·七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ）A．① B．② C．③ D．④或⑤【答案】B【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可．【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S，∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上，∵PS的延长线在区域②∴点Q在区域②．故选择B．【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．【变式1-3】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，平面内有公共端点的六条射线，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…则数字“2020”在（    ）A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上【答案】C【分析】通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数字依次循环，算出2020有多少个循环即可．【详解】解：通过观察已知图形，发现共有六条射线，∴数字1-2020每六个数字一个循环．∵2020÷6=336…4，∴2020在射线OD上．故选：C．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过考察数字的所在线段，考查学生观察和总结能力，解决问题的关键是计算出6个数字一个循环．题目整体较为简单，适合随堂训练．【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】【例2】（2022·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（   ）A．点C在线段AB的延长线上B．点C在线段AB上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【答案】B【分析】根据AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC＋BC进行判断即可．【详解】解答：解：如图，在平面内，AB＝10，∵AC＝7，BC＝3，∴点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径的两个圆的交点，由于AB＝10＝7＋3＝AC＋BC，所以，点C在线段AB上，故选：B．【点睛】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中不能相交的图是（　　）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据直线、射线、线段的特点分析判断即可；【详解】AB是直线，CD是线段不能延伸，故不能相交；AB是直线，EF是射线，都可延伸，故可相交；CD是线段，不能延伸，故不能相交；EF是射线，延伸方向与直线AB不相交；故选ACD．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特点，准确分析判断是解题的关键．【变式2-2】（2022·天津北辰·七年级期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是______．【答案】①③【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误，故答案为：①③．【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．【变式2-3】（2022·山东·东平县实验中学课时练习）如图是四个图形，每一个图形都有相应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上．①线段与射线不相交；②点在线段上；③直线和直线不相交；④延长射线，会经过点．其中正确的语句的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可．【详解】解：①线段与射线不相交，根据图形可得①正确；②根据图形可得点不在线段上，故②错误；根据图形可得出直线和直线会相交，故③错误；④根据图形可得出应为延长线段，会经过点，故④错误．故正确的语句的个数是1，故选：B．【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键.【题型3 计数问题及其应用】【例3】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价．【答案】     20     10【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），∵任何两站之间，往返两种车票，∴应印制（种），又∵往返票价是一样的，∴需要10种票价，故答案为：20；10．【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．【变式3-1】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（    ）A．12种 B．13种 C．14种 D．15种【答案】C【分析】根据题意按顺序列举即可解题．【详解】解：这只小虫子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、ABPFE、APBCDE、APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE，共14种，故选：C．【点睛】本题考查排列与组合问题，是常见考点，掌握相关知识是解题关键．【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，图中过A点的直线共有________条，以A为端点的射线共有________条，以A为端点的线段共有________条．【答案】     1     3     5【分析】根据直线没有端点，射线有1个端点，线段有2个端点，据此分析即可求解．【详解】解析：过A点的直线只有1条，即直线AC；以A为端点的射线共有3条，即射线AF（或AD）、射线AE（或AC）、射线AG；以A为端点的线段共有5条，即线段AF、AD、AE、AC、AB．故答案为：①1；②3；③5【点睛】本题考查了直线，射线，线段的认识，掌握直线、射线、线段的端点的个数是解题的关键．【变式3-3】（2022·全国·七年级专题练习）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题：(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段；(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段；(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程．【答案】(1)3(2)6(3)条，见解析【分析】（1）根据线段定义即可求解．（2）根据线段的定义即可求解．（3）由（1）（2）找出规律即可求解．（1）解：由图可得：直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，则可以确定3条线段，故答案为：3．（2）有图可得：直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD，则可以确定6条线段，故答案为：6．（3）由（1），（2）可得，当直线上有n个点，则：．【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键．【题型4 利用线段的和与差求线段长度】【例4】（2022·北京朝阳·七年级期末）一种零件的图纸如图所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，则AD的长为 _____mm．【答案】80【分析】根据AD＝AB+BC+CD即可得答案．【详解】解：由图可知：AD＝AB+BC+CD＝10+50+20＝80（mm）．故答案为：80．【点睛】本题考查了线段的和差，掌握连接两点间的线段长叫两点间的距离是解本题的关键．【变式4-1】（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，已知，，，求和的长．【答案】，【分析】结合已知条件根据解答，再根据求出解即可．【详解】如图，∵，，，∴，．【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．【变式4-2】（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度同时向左运动（在线段上，在线段上），运动时间为．（1）若、运动时，且，求的长；（2）若、运动到任一时刻时，总有，的长度是否变化？若不变，请求出的长;若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．【答案】（1），证明见解析；（2）长度不变，长度为，证明见解析；（3）或【分析】（1）根据路程、速度、时间公式算出、运动时所走的距离，根据总长度算出的长度，根据分别算出和的长，再根据算出的长．（2）设运动到时刻，即可表示出和的长度，根据总长度表示出的长度，由已知条件，可以得到的长度，则,即可求得．（3）由已知条件分析可知在间不符合题意，所以可能在间或的延长线上，根据，求得，从而求得与的关系．【详解】（1）当、运动时，，，∴，∵，∴，，∴．（2）设运动到时刻，则，，∴，∵，∴，∴，∴的长度不变，长度为．（3）由已知条件可知，在间不符合题意，∴当在间时，如图1，由（2）可知，，∴，∵，∴，∴；当在的延长线上时，如图2，由（2）可知，，∴，∵，∴；综上所述，或．． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段和、差、倍、分，转化线段之间的数量关系是解题的关键．【变式4-3】（2022·广东广州·七年级期中）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．(1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6，∴BC=AB=3，∵BD=BC，∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：当点D在线段AB上，如图2，设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=，∴CD=AC-AD=x，∵AE=2BE，∴AE=AB=x，CE=AE-AC=x，∴=，即5CD=3CE；当点D在BA延长线上时，如图3，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=，∴CD=AC+AD=a，∵AE=2BE，∴AE=AB=a，CE=AE-AC=a，∴=，即CD=15CE．综上，5CD=3CE或CD=15CE．【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类讨论．【知识点2 利用线段的中点求线段长度】线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型5 线段中点的有关计算】【例5】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（    ）A．7 B． C．6 D．5【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．【详解】解：∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，∴AE＋AE＝8，∴AE＝6，DE＝2，∵点C为DB的中点，∴CD＝BD＝×8＝4，∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故选：C．【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式5-1】（2022·江苏·沭阳县修远中学七年级阶段练习）已知点C是线段AB的中点，下列说法：①；②；③；④．其中正确的个数是(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先画图，再结合点C是线段AB的中点，可得，从而可得答案.【详解】解：如图，点C是线段AB的中点， 故①，②，③，④都符合题意；故选D【点睛】本题考查的是中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的中点的定义是解本题的关键.【变式5-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：(1)当AC＞BC时，点D在线段 上；当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；(2)当AC＜BC时，若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．【答案】(1)AC，点C，BC(2)28cm【分析】（1）由“折中点”的定义判断（2）由“折中点”的定义判断D在BC上，列式计算即可（1）解：当AC＞BC时，由“折中点”的定义可知点D在线段AC上；当AC＝BC时，点D与点C重合当AC＜BC时，点D在线段BC上（2）如下图，∵ E为线段AC中点∴ AE=EC=8cm∴ BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm)∴ CB=BD+DC=22+6=28(cm)【点睛】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键．【变式5-3】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．(1)(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．【答案】(1)3或9(2) 或 【分析】（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分两种情况画图求解（2）根据点G是线段MP的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段GN的长度（1）如图所示：第一种情况：∵ 点P是点M关于点N的“半距点”，∴ ，∵，∴第二种情况：∵，∴综上：MP的长度为3cm或9cm（2）如图所示：第一种情况：点是线段的中点，∴ ∴ 第二种情况：点是线段的中点，∴ ∴ 综上：线段GN的长度为或．【点睛】本题考查了两点间的距离，准确理解概念并作出图形是解题关键．【题型6 线段n等分点的有关计算】【例6】（2022·湖南·郴州市明星学校七年级阶段练习）如图所示，C，D两点把线段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中点，DB＝12，求AM的长．【答案】13.5【分析】根据比例设出AC、CD、DB的长度，然后根据DB的长度求出三条线段的长度，从而得到AB的长度，再根据点M是AB的中点求出AM的长度．【详解】解：设AC＝2x，CD＝3x，DB＝4x，∵DB＝12，∴4x＝12，解得x＝3，∴AC＝2×3＝6，CD＝3×3＝9，∴AB＝AC+CD+DB＝27，又M为AB中点，∴AM＝AB＝13.5．【点睛】本题考查了线段的和差倍分，以及中点的计算，根据比例设出线段AC、CD、BD的长度是解题的关键．【变式6-1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．（1）A，B，C三点中，点　 　是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有　 　个，分别是　 　；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，综上所述，点P表示的数为或24．【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．【变式6-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段，点在线段上，且．(1)求线段，的长；(2)点是线段上的动点且不与点，，重合，线段的中点为，设①请用含有的代数式表示线段，的长；②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“共谐点”，请直接写出使得，，三点为“共谐点”的的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①或，；②6或12【分析】（1）由可得，，从而可求得AC、CB的长；（2）①分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况分别计算即可；②分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况列方程，可求得m的值．（1）∵，点在线段上，且∴，（2）∵M为线段的中点∴ ①当点P在线段AC上时，当点P在线段CB上时，②当点P在线段AC上时，则MP=PC∴解得：m=6当点P在线段CB上时，则MC=PC∴解得：m=12综上所述，m=6或12【点睛】本题考查了求线段长度，线段中点的意义及线段的和差，掌握线段中点的意义、线段的和差是解题的关键．注意（2）小题要分类讨论．【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；【答案】(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6；（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a；②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【题型7 线段的数量关系】【例7】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且，则AC与BD的关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分别表示出AC和BD，即可求出两者的关系．【详解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，∴，∴3AC=2BD，    故选：C．【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键．【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．(1)直接写出：____________，_____________；(2)若，当点C、D运动了，求的值；(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．【答案】(1)1，3(2)8cm(3)或【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0∴a-1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，故答案为：1；3；（2）当C、D运动时，，，∴ ．（3）当点N在线段上时，∵，又∵，∴，∴．当点N在线段的延长线上时，∵，又∵，∴．综上所述，或．【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图①、②所示，线段，线段，点E是BC的中点，设．(1)当时，则DE的长为______．(2)在图①中，计算DE的长度（用含a的式子表示）(3)将图①中的线段CD向右移动到图②的位置．①直接写出线段AC与线段DE满足的数量关系．②在线段AC上有点F，满足，求AF的长度（用含a的式子表示）【答案】(1)2(2)(3)①AC=2DE，②【分析】（1）先求出BC的长，然后根据中点定义求CE，最后根据DE=CD-CE计算即可；（2）解题的方法和步骤和（1）相同；（3）①先根据线段的和差关系和中点定义用a表示出DE，结合AC=a，即可求出结果；②整理得到，再化简即可用含a的代数式表示出AF．（1）解：BC=AB-AC=20-4=16，∵E是BC的中点，∴CE=BC=8，DE=CD-CE=10-8=2；（2）解：BC=AB-AC=20-a=20-a，∵E是BC的中点，∴，∴；（3）解：① ,∵AC=a，∴AC=2DE；-② ，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了线段的和与差和线段中点的有关计算，解题的关键是熟练运用线段的和差关系和中点的定义求线段长．【变式7-3】（2022·全国·七年级课时练习）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，，两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长也站在该侧，且到，距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐．(1)如图1，当位于，之间时，发现工具筐的端 离自己只有 1米，则工具筐端离 米，工具筐端离 米． (2)工具筐端从点开始随传输带向左移动直至工具筐端到达以A点为止，这期间工具筐端到的距离和工具筐端到的距离存在怎样的数量关系，并用等式表示，（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 【答案】(1)7，1(2)EF−BE＝8或EF＋BE＝8或BE−EF＝8【分析】（1）根据线段的和差可得答案；（2）分三种情况：当点C在线段BF上时或当点C在线段AF上时或当点C在线段BA的延长线上时，正确画出图形即可得到结论．（1）解：由题意得，AB＝16m，∵F到A，B距离相等，∴AF＝BF＝8m，∵CE＝8 m，CF＝1m，∴EF＝8−1＝7m，BE＝8−7＝1m．故答案为：7，1；（2）①当点C在线段BF上时，如图，设BC＝x，则BE＝8−x，EF＝16−x，∴EF−BE＝（16−x）−（8−x）＝8；②当点C在线段AF上时，如图，设BC＝x，则BE＝x−8，EF＝16−x，∴EF＋BE＝（16−x）＋（x−8）＝8；③当点C在线段BA的延长线上时，如图，设BC＝x，则BE＝x−8，EF＝x−16，∴BE−EF＝（x−8）−（x−16）＝8；综上，EF−BE＝8或EF＋BE＝8或BE−EF＝8．【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键．【知识点3 直线的性质】经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点.【知识点4 线段的性质】两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。【题型8 两点间的距离】【例8】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝10cm，有下列说法：①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点；②线段AB上存在无数个到A，B两点的距离之和等于10cm的点；③线段AB外存在无数个到A，B两点的距离之和大于10cm 的点．其中正确的是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据线段上的点到线段两端点的距离的和等于线段的长，线段外的点到线段两端点的距离的和大于线段的长，可得答案．【详解】解：已知AB＝10cm，①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点，正确，符合题意；②线段AB上存在无数个到A、B两点的距离之和等于10cm的点，正确，符合题意；③线段AB外存在无数个到A、B两点的距离之和大于10cm的点，正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知线段上的点到线段两端点的距离的和等于线段的长，线段外的点到线段两端点的距离的和大于线段的长是解题关键．【变式8-1】（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，、、、表示四个车站的位置，、两站之间的距离，、两站之间的距离，、两站之间的距离．(1)求，两站之间的距离（用含，的式子表示）；(2)当，两站之间的距离km时，求、两站之间的距离．【答案】(1)(2)44km【分析】（1）根据两点之间的距离列出代数式即可；（2）根据两点间的距离列出CD的代数式进行解答．（1）解：=（2）当时， （km）．【点睛】本题考查整式的加减、线段的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【变式8-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．（1）当点C，D运动了时，求的值．（2）若点C，D运时，总有，则_______．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值．【答案】（1）6cm；（2）4；（3）或1【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB；（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．【详解】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；（2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=AB=4，故答案为：4；（3）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴；②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴，综上：的值为或1．【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点.【变式8-3】（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.②∵，是线段的“二倍点”，当时，；当时，；当时，；故答案为：10或或；（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=；当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=；答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．【点睛】本题考查了方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．【题型9 直线、线段的性质】【例9】（2022·全国·七年级课时练习）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（    ）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】直接利用直线的性质和线段的性质分别判断得出答案．【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键．【变式9-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是__________．【答案】两点确定一条直线．【分析】利用直线的性质进而分析得出即可．【详解】解：先把最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点睛】此题主要考查了直线的性质，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题关键．【变式9-2】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（    ）．A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【答案】C【分析】利用网格作图即可.【详解】如图：在同一直线上的三个点有A、B、C；B、E、K；C、H、E；D、E、F；D、H、K，共5组，故选：C【点睛】此题考查了直线的有关概念，在网格中找到相应的直线是解答此题的关键.【变式9-3】（2022·广东汕尾·七年级期末）如图，点在的边上，选择合适的画图工具按要求画图．，（1）反向延长射线，得到射线，在射线上取一点，使得；（2）使用量角器，画出的角平分线；（3）在射线上作一点，使得最小；（4）写出你完成（3）的作图依据：______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）两点之间线段最短【分析】（1）又O为圆心，OC为半径画弧交OB的反向延长射线OD交于点F；（2）先用量角器测出∠AOD 的度数，再得出一半的度数的位置，该点与O连接即可得出OE．（3）连接CF交OE有点P，点P即为所求．（4）根据两点之间线段最短解决问题．【详解】解：（1）如图，射线OD，点F即为所求．（2）如图，射线OE即为所求．（3）如图，点P即为所求．（4）两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查了作图，角平分线的定义，两点之间线段最短等知识．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．【题型10 线段的长短比较及其应用】【例10】（2022·江苏·无锡市华庄中学七年级期中）如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【答案】A【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可．【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意；②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意；③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算．【变式10-1】（2022·全国·七年级课时练习）在标枪训练课上，小秦在点处进行了四次标枪试投，若标枪分别落在图中的四个点处，则表示他最好成绩的点是（      ）A． B．C． D．【答案】C【分析】比较线段的长短，即可得到ON＞OP＞OQ＞OM，进而得出表示他最好成绩的点．【详解】如图所示，ON＞OP＞OQ＞OM，∴表示他最好成绩的点是点，故选：C．【点睛】本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．【变式10-2】（2022·重庆巫山·七年级期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为_________千米．【答案】12.5##【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可．【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长；当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米；当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米；当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米．综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米．故答案为：12.5．【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式10-3】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间【答案】A【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短． 名称直线射线线段图形BAABBA端点个数无一个两个表示法直线直线AB（BA）射线射线AB线段线段AB（BA）作法叙述作直线作直线AB作射线作射线AB作线段作线段AB连接AB延长向两端无限延长向一端无限延长不可延长