陕西省韩城市象山中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

这是一份陕西省韩城市象山中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若，则，．
A．75人B．77人C．79人D．81人
3．已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点、，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
5．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种B．360种C．480种D．504种
7．已知椭圆，点P为椭圆上的任一点，则P点到直线：的距离的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．的周长为8
C．若，则的面积为8
D．若，则
10．满足方程的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
11．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．D．“四个人只去了两个景点”的概率是
12．已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得B．椭圆C的弦MN被点平分，则
C．，则的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
三、填空题
13．为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有 （用数字作答）.
14．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是 ．
15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ．
16．过直线上一点向圆：引切线，切点为，则的最小值为 ．
四、解答题
17．已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；
18．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球
(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及.
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中.
(1)若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；
(2)若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程.
(3)在（2）的条件下，若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值.
20．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．
21．电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值；
(2)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间内的户数为，试求的分布列和数学期望.
22．已知过点的抛物线的顶点在原点，焦点在轴上.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线：与抛物线相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.
参考答案：
1．B
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】直线化为，
则斜率为1，故其倾斜角为.
故选：B
2．C
【分析】，，由概率计算人数即可.
【详解】，，，
因为，
所以，
所以数学成绩在分以上的人数约为人.
故选：C．
3．A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，分析可知，四边形为矩形，，求出、，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：
因为直线关于原点对称，椭圆也关于原点对称，
直线与椭圆交于点、，则、也关于原点对称，
所以为、的中点，
又因为，则四边形为矩形，所以，则，
所以，，，
由椭圆的定义可得，
故该椭圆的离心率为.
故选：A.
4．C
【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
5．D
【分析】先将双曲线化为标准方程，进而可求出双曲线的焦点和顶点坐标，，进而可得椭圆的焦点和顶点，即可得解.
【详解】双曲线化为标准方程得，
焦点坐标为，顶点为，
则所求椭圆的焦点在轴上，
设所求椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，所以，
所以所求椭圆的方程为.
故选：D.
6．C
【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.
【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有种.
故选：C
7．B
【分析】转化为求与平行且与椭圆相切的两条切线，再由与两切线距离求解即可.
【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线为，
联立方程，消元可得
令，解得，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
即直线与切线的最大最小距离分别为,
又当时，，即直线与椭圆无公共点，
则椭圆上任一点P到直线：的距离的取值范围为.
故选：B
8．A
【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据曲线的方程曲线表示半圆，然后结合图形求的范围即可.
【详解】直线恒过定点，
曲线的方程可整理为，，
所以曲线表示以为圆心，半径为1的半圆，图象如下所示：
，为两种临界情况，由题意得，则，
令圆心到直线的距离，解得，则，
所以当时，直线与曲线有两个不同的交点.
故选：A.
9．AB
【分析】由题意求出和，再结合椭圆的定义和余弦定理即可判断．
【详解】对于A，由题意得，解得，所以离心率为，故A正确；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，由A得，，
当点为上顶点时，最大，即，
，
所以的面积不可能为8，故C错误；
对于D，由且得，，
所以，即，故D错误；
故选：AB．

10．AB
【分析】利用组合数的性质求解
【详解】因为，所以或
解得：或或或，
当时，，故舍去；
当时，，故舍去；
当时，；
当时，；
故选: AB
11．CD
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知，，
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.
故选：CD
12．ABC
【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出的范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D.
【详解】对于A.由余弦定理知
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时为钝角最大，
所以存在P使得，所以A正确；
对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，，
不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在.
设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确；
对于C.，，
因为，所以，
因为，解得.
因为，所以，所以C正确；
对于D.，设，则，整理得，
可得直线PA，PB的斜率分别为，
所以，所以D错误.
故选：ABC.

13．36
【分析】分与分配进行选派，结合分类与分步计数原理、排列组合知识计算即可.
【详解】不同的派遣方案可分两类：人可分与进行派遣.
若按照分三组再进行分配，
第一步：甲乙两人从其余人中再选人合成一组，剩余两人一人一组，有种方案；
第二步：三组人员分配到三个小区，有种方案；
则由分步计数原理共有种不同的方案；
若按照分三组再进行分配，
第一步：甲乙两人是一组，再从其余人中选人一组，剩余一人为一组，有种方案；
第二步：三组人员分配到三个小区，有种方案；
则由分步计数原理共有种不同的方案；
所以由分类计数原理共有种派遣方案.
故答案为：.
14．
【分析】本道题结合直线方程，计算圆心坐标，利用点到直线距离公式
计算半径，建立圆方程，即可．
【详解】建立方程，计算出圆心坐标为，结合点到直线距离公式
，得到，故
圆方程为
【点睛】本道题考查了点到直线距离公式以及圆方程计算问题,属于中等难度的题,结合直线方程,计算圆心,结合点到直线距离公式,计算半径,得到圆方程,即可.
15．
【分析】根据椭圆得定义可得，在中，利用余弦定理求出，从而可求出，即可得解.
【详解】由椭圆：，得，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以，所以，
则，
所以，
所以点在椭圆的上下顶点处，
所以.
故答案为：.
16．4
【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可.
【详解】由题设，圆，即，半径为2，
而到的距离为，
所以直线与圆相离，如下图，
由，要使的最小，只需最小，
而，故.
故答案为：4
17．或
【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点．
【详解】联立，解得，交点为，
分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
18．(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，进而求得.（2）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，计算出各自对应的概率，求得X的分布列，从而利用公式求得．
【详解】（1）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率；
（2）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，
则；；.
则X的分布列为：
故.
19．(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）根据，，得到，再利用椭圆的定义求得a即可；
（2）根据，，得到，再利用双曲线的定义求得a即可；
（3）由，消去y得，再分和，利用判别式法求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
又因为，，
所以，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）因为，
所以，
又因为，，
所以，则，
所以，
所以双曲线的标准方程为： ；
（3）由，消去得，
当，即时，符合题意；
当，即时，，
解得，即，
综上：直线与双曲线只有一个公共点时，实数的值为：和.
20．(1)；离心率为；
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求得，再由椭圆定义求得，从而可得，得到椭圆方程和离心率；
（2）利用韦达定理求得弦长，由点到直线距离公式求得到直线的距离后可得三角形面积．
【详解】（1）由已知，，又因为，，
所以，
所以，，，
椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线的方程为，设，
由得，
，，
．
到直线的距离为，
所以．
【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“焦点、焦半径”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.
21．(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1可求得的值.
（2）利用分层抽样得两组各抽取样本数，结合超几何分布求解概率即可得分布列，从而可求数学期望.
【详解】（1）因为，所以.
（2）月用电量在，的频率分别为：，据按比例分配的分层随机抽样可知：
用电量在，的分别有人，人，从而可取的值为：0，1，2，3.
，
故的分布列为：
则.
22．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设抛物线为，代入点坐标得到答案.
（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，，化简得到答案.
【详解】（1）设抛物线：，又抛物线过点，，即.
抛物线的方程为.
（2）联立方程，消去得，
恒成立，，，
，，
.
故为定值，且该定值为.