辽宁省铁岭市某校2023-2024学年高二上学期第二次阶段数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省铁岭市某校2023-2024学年高二上学期第二次阶段数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共8小题40分）
1. 直线关于点对称直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
3. 已知实数满足，则的最大值是（ ）
A. B. 4C. D. 7
4. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
5. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D.
二、多选题（每小题5分，全队得5分，漏选得2分，共4小题20分）
9. 已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
11. 已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于
B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时，
D. 当最大时，
12. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
14. 过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
15. 已知为椭圆C：两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
16. 已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
18. 在平面直角坐标系中，以O为圆心圆与直线相切．
（1）求圆O的方程：
（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．
19. 已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线斜率为，求.
20. 已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由．
21. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
22. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
高二年级上学期第二次考试数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、单选题（每小题5分，共8小题40分）
1. 直线关于点对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
2. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
3. 已知实数满足，则的最大值是（ ）
A. B. 4C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
4. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
5. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
8. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

二、多选题（每小题5分，全队得5分，漏选得2分，共4小题20分）
9. 已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

11. 已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于
B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时，
D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
12. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
14. 过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
15. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
16. 已知椭圆焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得椭圆的标准方程是，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案
【详解】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，.
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点式求得直线的方程.
（2）先求得的斜率，然后求得中点的坐标，从而求得边的垂直平分线的方程.
【小问1详解】
因为直线经过和两点，
由两点式得的方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知直线的斜率，
则直线的垂直平分线的斜率.
易得中点的坐标为.
可求出直线的点斜式方程为，
即.
18. 在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆O的方程：
（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内的动点P满足，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可知圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程；
（2）根据圆内的动点P满足，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
【详解】（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．
得圆O的方程为；
（2）不妨设由，即得．
设，由，得
整理得．
由于点P在圆O内，故
由此得，则，
所以的取值范围为．
19. 已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的焦点，可得，进而求出抛物线方程；
（2）由（1）可知，直线的方程为，联立方程，利用弦长公式，即可求出结果.
【小问1详解】
解：因为椭圆的右焦为，所以，
所以，即，
所以抛物线的标准方程；
【小问2详解】
解：由（1）可知，直线的方程为，
联立方程，得，
设，
所以,
所以.
20. 已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）这样的直线不存在，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由离心率和距离最小可得出的方程，解出，求出即可求出双曲线方程；（2）用点差法求出直线方程，然后直线和双曲线联立检验，可判断直线是否存在.
【详解】（1）由题意可得，当为右顶点时，可得到右焦点的距离最小，即有，解得，，，可得双曲线的方程为；
（2）过点假设存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．
设，，可得，，
两式相减可得，由中点坐标公式可得，，可得直线斜率为，即有直线的方程为，，即为，
代入双曲线的方程，可得，由判别式为，可得方程无实数解.故这样的直线不存在．
【点睛】本题考查中点弦问题，属于基础题.
方法点睛：（1）设直线与双曲线交点的坐标，代入双曲线方程，做差；
（2）整理可得双曲线系数比，直线斜率和中点坐标比值的关系，求出直线斜率；
（3）代入中点坐标，求出直线方程；
（4）直线和双曲线联立，检验是否有解.
21. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【解析】
【分析】（1）由抛物线焦点与准线距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
22. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）18.
【解析】
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．