朝阳区六校联考2023-2024高三数学12月阶段性诊断练习试题及参考答案

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（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1. 在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
3. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A．B．C．D．
4. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
5. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6. 已知为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7. 某食品加工厂2022年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2023年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年
8. 已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
①； ②； ③； ④.
A．①③B．①④C．②③D．③④
9. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．
11. 已知，，若与垂直，则实数 .
12. 的展开式中的系数为 （用数字作答）．
13. 已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
14. 已知的内角的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 .
15. 设等差数列的前项和为，则有以下四个结论：
① 若，则
② 若，且，则且
③ 若，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2
④ 若，且，则和均是的最大值
其中正确命题的序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且.
（Ⅰ）证明：平面ABCD；
（Ⅱ）是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值
是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分13分）
已知函数，其中．再从条件 = 1 \* GB3 ①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件 = 1 \* GB3 ①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：．
18.（本小题满分14分）
垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息：
高一年级成绩分布表
（Ⅰ）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？
（Ⅱ）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望？
（Ⅲ）学校为提高对垃圾分类的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，若高一高二学生数量一致，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？（直接写出结论）
19.（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，且其左顶点到椭圆外的直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，为直线上的动点，直线分别交直线于（异于），求线段的中点坐标.
20.（本小题满分15分）
已知，函数，为的导函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论在区间上的零点个数；
（Ⅲ）比较与的大小，并说明理由.
21.（本小题满分15分）
对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．等级
E
D
C
B
A
成绩（分数）
人数
1
2
3
4
10