四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷总分：150分，考试时间：150分钟）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列举法写出集合，对集合取并集即可得到答案.
【详解】集合，又集合，
所以.
故选：C.
2. 函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列不等式确定函数的定义域.
【详解】根据函数的解析式可知，要得到函数的定义域，需满足
，得且，
即函数的定义域为.
故选：C
3. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断．
【详解】命题“，”为真命题，
，
，时，取得最大值，由是，这是命题为真的充要条件，
因此只有D是必要不充分条件．
故选：D．
4. 已知函数若，则实数（ ）
A. －5B. 5C. －6D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先求，再由列方程求解即可.
【详解】由题意可得，
因为，即，
所以，得，
故选：A
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据指数函数、幂函数的性质确定范围并比较大小，再判断的范围，即可比较，，的大小关系.
【详解】在上单调递增，，
又在上单调递减，，，,
又，.
故选：D
6. 已知，则取到最小值时，的值为（ ）
A. 16B. 12C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】从条件得到a与b的关系，然后运用均值不等式的性质，找到取到最小值时的值，从而求得答案.
【详解】由，
得，则，
当且仅当时，等号成立，取最小值，此时；
则.
故选：B.
【点睛】方法点睛：基本不等式是建立多项式乘积和和之间的桥梁，可以快速解决多项式最值问题.
7. 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（ ）（参考数据：）
A. 308B. 309C. 1023D. 1024
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案.
【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态，
所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.
两边取以10为底的对数得，
所以.
由于，故是一个309位的数，即.
故选：B.
8. 已知函数对任意的，，都有，的图像关于对称、则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意函数对任意的，，都有可得函数在上单调递减，再根据的图像关于对称，将转化为，即可比较出三个函数的大小．
【详解】由题意得，函数在上单调递减，且的图像关于对称，可得为偶函数；
故选D．
【点睛】本题主要考查函数单调性和对称性的综合应用．
二、多选题（每题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，多选或错选得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】A. 取特殊值判断；B. 根据和的单调性判断；C. 在同一坐标系中作出函数的图象判断；D.根据和的单调性判断.
【详解】A. 当时，,故正确；
B. 因为在上递减，在上递增，
所以，即，，故正确；
C. 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，，故正确；
D. 因为在上递减，在上递减，
所以，，所以，故错误；
故选：ABC
10. 下列说法正确是（ ）
A. 函数的图象关于成中心对称
B. 函数（且）的图象一定经过点
C. 函数的图象不过第四象限，则的取值范围是
D. 函数（且），，则的单调递减区间是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据分式分离得，结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心，从而判断A；由指数函数的定点可得函数的定点，从而判断B； 由指数函数的图象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围，从而判断C；利用复合函数单调即可判断D.
【详解】函数，其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，
故函数的图象关于成中心对称，故A正确；
当时，，则函数（且）的图象一定经过点，故B错误；
由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限，则，所以的取值范围是，故C错误；
函数中，，又且，所以，则，
由于函数，单调减区间为上，单调增区间为，函数在上单调递减，
则函数的单调递减区间是，故D正确.
故选：AD
11. 今有函数又，使对都有成立，则下列选项正确的是（ ）
A. 对任意都有B. 函数是偶函数 (其中常数)
C. 实数的取值范围是D. 实数的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据的解析式可判断AB，，然后可得，然后可得，然后分、两种情况讨论，当时可得，当时，，然后求出右边的最小值即可判断CD.
【详解】因为，所以当时，故A正确；
令，则，
所以函数是奇函数，故B错误，
因为，所以
因为，使对都有成立，
所以，
所以，
当时，不等式恒成立，
当时，由可得
所以，所以
当时，成立，
当时，，
当时，取得最小值，所以，即
综上：，故C正确D错误
故选：AC
12. 若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存在保值区间
B. 函数存在保值区间
C. 若函数存在保值区间，则
D. 若函数存在保值区间，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，
【详解】对于A，在和上单调递增，
令，得，，故不存在保值区间，故A正确，
对于B，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，，
若存在保值区间，
若，令得无解，
若，则，作差后化简得或，不合题意，
故不存在保值区间，故B错误，
对于C，若存在保值区间，
而在上单调递增，故，得，故C正确，
对于D，函数在上单调递减，
若存在保值区间，
则，作差得，
得，则原式等价于在上有两解，
令，则在上有两解，
而在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，故D正确，
故选：ACD
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 函数是指数函数，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为函数为指数函数，则，解得.
故答案为：.
14. 将函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象，若为奇函数，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据题意可得知与之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.
【详解】由函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象，可得： ，
故，
所以,
故答案为：-2.
15. 已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”以及对数函数性质列出不等式求解即可.
【详解】由不等式可知，在上单调递增，
又因为在上单调递减，
则在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得．
故答案为：
16. 已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.
【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，
所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，
对任意的，恒成立
恒成立，
即在恒成立，
所以，
令，由，可得，
设，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；
②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算公式进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
18. 已知集合A={x|}，B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}.
（1）求A∪B，（）∩B；
（2）若C∩B=B，求a的取值范围.
【答案】（1）A∪B，（）∩B；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求解分式不等式解得集合，再根据集合的交并补运算，即可求得结果；
（2）根据的包含关系，列出不等关系，求解即可.
【小问1详解】
A={x|，
故A∪B，又或，
故（）∩B.
【小问2详解】
B={x|2 < x < 7}，C={x|5-a < x < a}
因为C∩B=B，故可得结合，则，且，解得，
故实数的取值范围为：.
19.
（1）已知，求的解析式．
（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
【答案】（1）（且）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用换元法即可求出函数的解析式；
（2）利用函数的对应关系，建立方程组，进而即可求出函数的解析式．
【小问1详解】
设，则()，
代入中，得，
所以的解析式为，(且)．
【小问2详解】
由于函数为一次函数，设，
又，整理得，
故，解得，，
故的解析式为．
20. 已知二次函数满足：关于不等式的解集为且.
（1）求表达式；
（2）若且在区间上的最小值为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法设，代入，根据不等式的解集求出，可得的表达式；
（2）设，当时，化为，的最小值为，当时，化为，的最小值为，根据二次函数知识列式可求出结果.
【小问1详解】
因为为二次函数，且，所以可设，
由，得，
因为关于的不等式的解集为，
所以关于的不等式的解集为，
所以的两根为和，
所以，，
所以，，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，设，
当时，由，得，
则，，其对称轴为，且，
所以，解得；
当时，由，得，
则，，其对称轴为，且，
所以，解得.
综上所述：的取值范围是或.
21. 设函数
（1）解关于的方程；
（2）令，求的值.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.
（2）根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.
【详解】（1）因为函数
代入可得
令
则
解得或
即或
解得或
（2）根据题意
则
所以
且
所以
【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.
22. 已知函数．
（1）若，求与值；
（2）由（1）的计算结果猜想函数在时满足什么性质，并证明你的猜想；
（3）证明：在区间上单调递增，在区间上单调递减．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式求函数值即可；
（2）猜想，化简即可；
（3）利用作差法结合增函数和减函数的定义即可得证.
【小问1详解】
解：若，，
则；
【小问2详解】
解：，
理由：因为，
所以；
【小问3详解】
证明：任取，
则
，
因为，
所以，
所以，
所以在区间上单调递增，
任取，
则
，
因为，
所以，
所以，