四川省南充市阆中东风中学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省南充市阆中东风中学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知直线过、两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点坐标求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.
【详解】因为直线过、两点，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以直线的倾斜角.
故选：B.
2. 直线：与直线：互相垂直，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得.
故选：C.
3. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解．
【详解】设球半径为，则圆柱底面半径为，高为，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：C．
4. 圆和圆，则这两圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心距与半径的和差比较可得．
【详解】由已知两圆心坐标分别为，半径分别为1，6，
，两圆内切．
故选：C．
5. 通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.
【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，
代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.
故选：B
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.
【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，
则,
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题.
7. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
8. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方程确定直线过定点，曲线是半圆，作出图形后，由图形易得参数范围．
【详解】由已知直线过定点，
曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，
作出它们的图形，如图，
直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，
由图可知，它们有两个交点时，，
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量的相关运算即可得解.
【详解】因为向量，，所以，故A正确；
，故B错误；
因为，所以，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
10. 常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由椭圆方程得出其长轴与短轴长，再由已知可得参数值．
【详解】由已知椭圆标准方程是，
若，则由已知得，，
若，则，，
故选：BC．
11. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径为B. 圆的圆心坐标为
C. 直线被圆截得的最短弦长为D. 直线被圆截得的最长弦长为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断．
【详解】由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误；
记点为，
，
当时弦长最短，最短弦长为，当直线过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确．
故选：ACD．
12. 在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意确定点的轨迹，利用线面角定义可得与平面所成角即为，利用圆的几何性质确定的范围，即可求出线面角正切值的范围，从而得出正确选项.
【详解】由题意建系如图，
因为底面是边长为2的正方形，，
则，，设，
可得，，
由题意得，故，
可得，
故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分（不含边界），
由题可知为的中点，如图，
根据圆几何性质可得：
当共线时，取得最小值为，
而，所以，
因为平面，所以与平面所成角即为，
所以，
所以正确选项有AD.
故选：AD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知两直线与之间的距离为_________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】由两直线间距离公式计算．
【详解】由题意所求距离为．
故答案为：．
14. 已知点P(1，-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部，则实数m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由点与圆的位置关系可得关于实数m的不等式，即可求出其取值范围.
【详解】由题意，得(1+2)2+(-1)2>m，即m0，故m的取值范围是(0，10).
故答案为: .
【点睛】本题考查了由点与圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.
15. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量法求点面距离公式求解即可.
【详解】设点到平面的距离为，
则，
故答案为：
16. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节，活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为_______．

【答案】##
【解析】
【分析】作出示意图，利用正弦定理解三角形求出椭圆的长半轴长，以及半焦距，即可求得椭圆离心率.
【详解】由题意知伞的伞沿与地面的接触点B是椭圆的长轴上的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点A为椭圆长轴的另一个端点，
O为伞所在圆的圆心，F为伞柄底端即为椭圆的左焦点，

设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由，得，
在中，，则，
由正弦定理得，即，
而，
故，则，
故，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线；
（1）证明：直线l过定点；
（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识得结论；
（2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大可得．
【小问1详解】
由直线方程可得，，
，
直线l过恒过定点.
【小问2详解】
由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，
此时直线l与过点与定点的直线垂直，
则过与定点的直线的斜率为，所以，
所以．
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.
【小问1详解】
设，由，得，
化简得，
所以P点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2圆，
当直线l斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是，解得，因此直线的方程为，即，
所以直线l的方程为或.

19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点E是的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面平行；
（2）利用空间向量研究平面夹角即可.
【小问1详解】
易知，又底面底面，，
故可以为中心，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，

设平面的一个法向量为
则．
取，则．
所以是平面的一个法向量．
因为，且平面，
所以平面．
【小问2详解】
由（1）可知，
又因为平面，所以平面．
所以是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20. 已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用点差法计算直线的斜率，再用点斜式求直线方程即可；
（2）利用弦长公式计算即可.
小问1详解】
设交点坐标，
因为弦被点平分，
所以
又，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的方程为
【小问2详解】
由（1）可知，与椭圆方程联立，
所以，
由弦长公式可知.
21. 在直角梯形中，，O为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）；
（1）求证：；
（2）若M为线段的中点，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质判定线面垂直再证线线垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角即可.
【小问1详解】
在中，，且O为中点，则，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，且平面，
所以；
【小问2详解】
在直角梯形中，，
所以，
则，
∴，
又∵O、M分别为、的中点，
∴，∴，
以O为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
可得，
令平面的一个法向量为，
由，令，则，可得，
令与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．
22. 已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
（1）求曲线H的方程；
（2）经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式即可化简求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，即可结合斜率公式求解.
【小问1详解】
设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得，
化简可得
【小问2详解】
设直线方程为：，
则与椭圆方程联立可得：，
则，故或，
设，则，.
故
.