四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，
故，
故选：A
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用根式函数和对数函数的定义域求解.
【详解】解：因为函数，
所以，即，
解得，
故选：B
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式判断上的符号、上单调性，再结合零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】由解析式知：在上恒成立，
在上单调递减，且，，
综上，零点所在的区间为.
故选：B
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得且，
所以，函数的定义域为，
因为，函数为奇函数，排除CD选项，
当时，，则，排除B选项.
故选：A.
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.
【详解】函数在上单调递增，而，则，
，函数在R上单调递减，，则，即，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：C.
6. 已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性结合得出，再结合解析式得出答案.
【详解】由函数是定义域为的奇函数，且，，而，则
故选：A
7. 20世纪30年代 ，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），则里氏7.5级地震的最大振幅余里氏4级地震的最大振幅的比值约为（参考数据：）（ ）
A. 790B. 1580C. 3160D. 6320
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意给的公式列出关于对数的方程组，利用指数幂和对数的运算性质计算即可.
【详解】设里氏7.5级地震的最大振幅和里氏4级地震的最大振幅分别为、，
由题意得，得
故.
故选：C
8. 已知函数,若存在实数,,满足,其中,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为且,由图像可知在二次函数图像上且,数形结合求出的取值范围,即可求得的取值范围.
【详解】画出图像,如图
且,
由图像可知在二次函数图像上且
由图可知,,即

的取值范围是:.
故选:D.
【点睛】本题主要考查分段函数图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选题）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D. 已知，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.
【详解】A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，所以，则，故错误；
故选：BC
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】结合函数的单调性、特殊值确定正确选项.
【详解】若，但，A错误.
若，但，D错误.
由于和在上递增，所以，
所以BC选项正确.
故选：BC
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. ，为奇函数
B. ，为偶函数
C. ，的值为常数
D. ，有最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A、B，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C；对于D，将函数解析式变形为，分和两种情况讨论，即可判断.
【详解】解：因为，，
对于A：若为奇函数，则，即，
即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A错误；
对于B：若为偶函数，则，即，
即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；
对于C：当，时为常数函数，故C正确；
对于D：的定义域为，，
所以，
当，即时变形为，
当时方程有解，
当、时方程在上恒成立，
当，即时，
方程在上有解，所以，
即，
因为，
当、时变形为，解得，
当或时，可以求得的两个值，
不妨设为和，则，
所以解得，
所以当时，，有最小值，故D正确；
故选：BCD
12. 已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. 3D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，，得，即需小于等于的最小值即可得.
【详解】由，，则，
即恒成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即，
即，
解得或.
故选：ABC.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】由分段函数定义行计算出和，然后可得结论．
【详解】由题意，，
所以．
故答案为：1．
14. 某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.
【答案】12
【解析】
【分析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，列方程求解即可.
【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则.
故答案为：12.
15. 若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合的包含关系解不等式即可.
【详解】因为“”是“”的一个充分不必要条件，
所以是的真子集，故，
故答案为：
16. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意把函数的零点问题即的解，转化为函数和的图像交点问题，由题可得关于对称，由，可得的周期为4，根据函数图像，即可得解.
【详解】由可得关于对称，
由函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以周期为4，
把函数的零点问题即的解，
即函数和的图像交点问题，
根据的性质可得函数图像，结合的图像，
由图像可得共有2个交点，故共有2个零点，
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求值：
（1），
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算法则即可求得答案；
（2）根据对数的运算法则即可求得答案.
【小问1详解】
原式=.
【小问2详解】
原式=.
18. 已知集合，且.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
（1）解不等式组得解；（2）由题得或，解不等式得解.
【详解】解：（1）由题知得，所以，
解得．
所以实数的取值范围为．
（2）∵命题“”为真命题，则
∴或，
解得或．又∵
所以实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查集合的关系，考查充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19. 已知：.
（1）若为真命题，求实数取值范围；
（2）已知：，如果都是假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）为真命题，则，解得答案.
（2）当为真命题，在时恒成立，得到，再根据假命题得到答案.
【小问1详解】
若为真命题，则，解得或，实数的取值范围为.
【小问2详解】
若为真命题，则在时恒成立，
又在上单调递增，则，，故，即.
都是假命题，故，
实数的取值范围为.
20. 已知函数是定义域为R的奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】(1)由 f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.
【详解】(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,
又，则=-，
=-，b=1，

（2） =1-，所以在上单调递增；
由 可得在有解
分参得，
设, ，所以,
则的最小值为．
【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.
21. 某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的一些数据如下表所示.
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，且.
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】根据题意可知，代入数据列得关于的方程组，解方程组即可，故可得解析式.
设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为单位：，行驶时间为单位：，由题意得，根据二次函数的性质求出最值.
【小问1详解】
由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上单调递增.
函数在上单调递减，所以不符合题意
函数在上单调递减，所以不符合题意；
函数，且中的，即定义域不可能为，也不符合题意
所以选择函数模型.
由已知数据得
解得
所以.
【小问2详解】
设这辆车在该测试路段的总耗油量为，行驶时间为.
由题意得:
，因为，所以当时，有最小值.
所以这辆车在该测试路段上以的速度行驶才能使总耗油量最少，最少
为.
22. 若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数具有性质．
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数的定义域为且且具有性质，求的值；
（3）已知，函数的定义域为且具有性质，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）具有性质，理由见解析
（2）15 （3）
【解析】
【分析】（1）取，即可得到，再根据的性质即可判断；
（2）首先将函数配成顶点式，即可判断函数的单调性，依题意可得，从而得到，再根据、的取值情况得到方程组， 解得即可；
（3）根据复合函数的单调性可得在上单调递增，即可得到，从而求出的值，依题意可得对任意的恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
解：对于函数的定义域内任意的，取，则，
结合的图象可知对内任意的，是唯一存在的，
所以函数具有性质.
【小问2详解】
解：因为，且，所以在上是增函数，
又函数具有性质，所以，即，
因为，所以且，
又，所以，解得，所以．
【小问3详解】
解：因为，所以，且在定义域上单调递增，
又因，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为具有性质，
从而，即，所以，
解得或（舍去），
因为存在实数，使得对任意的，不等式都成立，
所以，
因为在上单调递增，所以
即对任意的恒成立．
所以或，
解得或，
综上可得实数的取值范围是．