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    四川省绵阳市南山中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学(文)试题(Word版附解析)

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    这是一份四川省绵阳市南山中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学(文)试题(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了 若直线是圆的一条对称轴,则, 已知,则, 在菱形中,若,则等于等内容,欢迎下载使用。

    文科数学试题
    命题人:刘群建 审题人:李盛锦
    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 若直线是圆的一条对称轴,则( )
    A. B. C. 1D. -1
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意得到圆心必在直线上,列出方程,即可求解.
    【详解】由圆,可圆心坐标,
    因为直线是圆的对称轴,所以圆心必在直线上,即,解得.
    故选:C.
    2. 已知,则( )
    A. 1B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据复数的运算法则,求得,得到,即可求得,即可求解.
    【详解】由复数,可得,
    所以.
    故选:C.
    3. 若抛物线的焦点到直线的距离等于,则( )
    A. 1B. 4C. D. 2
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先将抛物线方程化为标准方程,进而得到焦点坐标,然后利用点到直线的距离求解.
    【详解】抛物线的标准方程为,焦点坐标为,
    所以焦点到直线的距离为,
    解得,
    故选:D
    4. 已知,则( )
    A. 25B. 5C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出.
    【详解】因为,,即,所以.
    故选:C.
    5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把个面包分给个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为,设公差为,可得,,求出,根据等差数列的通项公式,得到关于关系式,即可求出结论.
    【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为,设公差为,
    依题意可得,,

    ,解得,
    .
    故选:A.
    【点睛】本题以数学文化为背景,考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算,等差数列的性质应用是解题的关键,属于中档题.
    6. 在菱形中,若,则等于
    A. 2
    B. -2
    C.
    D. 与菱形的边长有关
    【答案】B
    【解析】
    【详解】试题分析:由题在菱形中,若,由,
    考点:向量的运算及几何意义.
    7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为,则( )
    A. 1B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】方法一:根据切线的性质求切线长,结合倍角公式运算求解;方法二:根据切线的性质求切线长,结合余弦定理运算求解;方法三:根据切线结合点到直线的距离公式可得,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
    【详解】方法一:因为,即,可得圆心,半径,
    过点作圆C的切线,切点为,
    因为,则,
    可得,
    则,

    即为钝角,
    所以;
    法二:圆的圆心,半径,
    过点作圆C的切线,切点为,连接,
    可得,则,
    因为
    且,则,
    即,解得,
    即为钝角,则,
    且为锐角,所以;
    方法三:圆的圆心,半径,
    若切线斜率不存在,则切线方程为,则圆心到切点的距离,不合题意;
    若切线斜率存在,设切线方程为,即,
    则,整理得,且
    设两切线斜率分别为,则,
    可得,
    所以,即,可得,
    则,
    且,则,解得.
    故选:B.

    8. 已知双曲线的离心率为,C的一条渐近线与圆交于A,B两点,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程,再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
    【详解】由,则,
    解得,
    所以双曲线的一条渐近线不妨取,
    则圆心到渐近线的距离,
    所以弦长.
    故选:D
    9. 记函数的最小正周期为T.若,且的图象关于点中心对称,则( )
    A. 1B. C. D. 3
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数,进而可得函数解析式,代入即可得解.
    【详解】由函数的最小正周期T满足,得,解得,
    又因为函数图象关于点对称,所以,且,
    所以,所以,,
    所以.
    故选:A
    10. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )
    A. B. C. 1D. 2
    【答案】C
    【解析】
    【分析】模拟运行程序,当为整数时,结束循环,输出的值.
    【详解】初始条件:,
    进行循环体,
    ,,,不是整数,
    再进行循环体,
    ,,,不是整数,
    再进行循环体,
    ,,,是整数,结束循环,输出,
    故选:C
    11. 椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】设,则,根据斜率公式结合题意可得,再根据,将用表示,整理,再结合离心率公式即可得解.
    【详解】[方法一]:设而不求
    设,则
    则由得:,
    由,得,
    所以,即,
    所以椭圆的离心率,故选A.
    [方法二]:第三定义
    设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知:
    故,
    由椭圆第三定义得:,

    所以椭圆的离心率,故选A.
    12. 设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】通过是奇函数和是偶函数条件,可以确定出函数解析式,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案.
    【详解】[方法一]:
    因为是奇函数,所以①;
    因为是偶函数,所以②.
    令,由①得:,由②得:,
    因为,所以,
    令,由①得:,所以.
    思路一:从定义入手.
    所以.
    [方法二]:
    因为是奇函数,所以①;
    因为是偶函数,所以②.
    令,由①得:,由②得:,
    因为,所以,
    令,由①得:,所以.
    思路二:从周期性入手
    由两个对称性可知,函数的周期.
    所以.
    故选:D.
    【点睛】在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.
    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________.
    【答案】
    【解析】
    【详解】由题意设所求双曲线的方程为,
    ∵点在双曲线上,
    ∴,
    ∴所求的双曲线方程为,即.
    答案:
    14. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+2y的最大值为_________.
    【答案】7
    【解析】
    【分析】作出可行域,利用截距的几何意义解决.
    【详解】不等式组所表示的可行域如图
    因为,所以,易知截距越大,则越大,
    平移直线,当经过A点时截距最大,此时z最大,
    由,得,,
    所以.
    故答案为:7.
    【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用,涉及到求线性目标函数的最大值,考查学生数形结合的思想,是一道容易题.
    15. 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米.若行车道总宽度AB为6米,则车辆通过隧道的限制高度是______米(精确到0.1米)
    【答案】3.2
    【解析】
    【分析】根据题意可以建立适当的平面直角坐标系,从而可以得到抛物线的解析式,然后根据要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,可以得到当x=-3时,求出相应的y值,此时汽车的顶部离隧道的顶部距离至少是0.5m,从而可以求得车辆经过隧道时的限制高度是多少米.
    【详解】取抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立直角坐标系,c(4,-4),
    设抛物线方程x2=-2py(p>0),将点C代入抛物线方程得p=2,
    ∴抛物线方程为x2=-4y,行车道总宽度AB=6m,
    ∴将x=3代入抛物线方程,y=-2.25m,
    ​ ∴限度为
    则车辆通过隧道的限制高度是3.2米.
    【点睛】本题主要考查了二次模型的实际应用,解题的关键是理解题意.
    16. 已知抛物线的焦点为,直线为:,设点为上的一个动点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点,则的最小值为__________.
    【答案】##4.5
    【解析】
    【分析】设切点为,,求导得到导函数,确定,利用韦达定理得到根与系数的关系,计算,根据二次函数性质计算最值即可.
    【详解】设切点为,,,即,,
    则,整理得到,恒成立.
    设,,则,是方程的两个根,,
    ,则

    当时,的最小值为.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:本题解题关键是利用抛物线定义将用点的横坐标表示,结合二次函数的性质解决.
    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分
    17. 已知数列满足,且.
    (1)证明:数列为等比数列;
    (2)设,求数列的前项和.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,由等比数列的定义,即可证明;
    (2)根据题意,结合等差数列的求和公式与等比数列的求和公式,代入计算,即可得到结果.
    【小问1详解】
    证明因为,所以,又,
    所以数列为等比数列,且首项为2,公比为2.
    【小问2详解】
    解由(1)知,所以.
    所以.
    18. 在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
    (1)求圆C方程;
    (2)若圆C与直线交于A,B两点,且,求a的值.
    【答案】(1)(2)
    【解析】
    【分析】(1)求出曲线与坐标轴的三个交点,根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径,从而可得圆的方程;
    (2)设A,B,联立直线与圆的方程,根据根与系数的关系可得,,根据得,化为,进而可解得 .
    【详解】(1)曲线与坐标轴的交点为(0,1),(,0),
    由题意可设圆C的圆心坐标为(3,),
    ∴,解得,
    ∴圆C的半径为,
    ∴圆C的方程为.
    (2)设点A、B的坐标分别为A,B,其坐标满足方程组,消去得到方程,
    由已知得,判别式①,
    由根与系数的关系得,②,
    由得.
    又∵,,∴可化为③,
    将②代入③解得,经检验,满足①,即,

    【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程,考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系,考查了运算求解能力,属于中档题.
    19. 已知函数的最小正周期为.
    (1)求的值;
    (2)已知分别为中角的对边,且满足,求的周长的最大值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据二倍角公式以及辅助角公式化简,即可由周期公式求解,代入即可求解,
    (2)根据可得,即可由余弦定理结合基本不等式求解最值.
    【小问1详解】
    因为最小正周期为,所以,解得,
    所以,所以.
    【小问2详解】
    由得,
    由余弦定理有,
    即(当且仅当时取“=”),
    故,即为等边三角形时,周长有最大值
    20. 已知长轴长为的椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)若经过点F2的直线l与C交于M,N两点,且M,N关于原点O的对称点分别为P,Q,求四边形MNPQ面积的最大值.
    【答案】(1)y2=1(2)2
    【解析】
    【分析】
    (1)由题意可得的值及,再由,,之间的关系求出,进而求出椭圆的方程;
    (2)由(1)可得右焦点的坐标,由题意可得直线的斜率不为0,设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积,由题意可得四边形为平行四边形,所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍,求出三角形的面积,由均值不等式可得面积的最大值.
    【详解】解:(1)由题意可得,且,又,所以可得,,
    所以椭圆的方程为:;
    (2)由(1)可得右焦点,再由题意可得直线的斜率不为0,设直线的方程为,
    设,,,,联立直线与椭圆的方程可得整理可得,所以,,
    由题意可得四边形为平行四边形,
    所以

    当且仅当即时取等号,
    所以四边形面积的最大值为.
    【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合,及四边形的面积公式及均值不等式的应用,属于中档题.
    21. 已知函数.
    讨论函数的极值点的个数;
    若函数有两个极值点,,证明:.
    【答案】(1)见解析 (2)见解析
    【解析】
    【分析】先求出函数的导函数,通过讨论a的范围确定导函数的符号,从而得出函数的单调区间,进而判断函数极值点个数;
    由可知当且仅当时有极小值和极大值,且,是方程的两个正根,则,根据函数表示出,令,通过对求导即可证明结论.
    【详解】解:函数,

    ,当时,,,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增;
    当时,有极小值;
    当时,,故,
    在上单调递减,故此时无极值;
    当时,,方程有两个不等的正根,.
    可得,.
    则当及时,
    ,单调递减;
    当时, ;单调递增;
    在处有极小值,在处有极大值.
    综上所述:当时,有1个极值点;
    当时,没有极值点;
    当时,有2个极值点.
    由可知当且仅当时有极小值点
    和极大值点,且,是方程的两个正根,
    则,.

    令,
    ;,
    在上单调递减,故,

    【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,注意分类讨论思想的运用,属于难题.
    (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
    [选修4-4:坐标系与参数方程]
    22.
    已知直线l经过点P,倾斜角,在极坐标系下,圆C的极坐标方程为.
    (1)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程;
    (2)设l与圆C相交于A,B两点,求点P到A,B两点的距离之积.
    【答案】(1),;(2).
    【解析】
    【分析】(1)直接由直线的参数方程以及极坐标方程和直角坐标方程的互化得到;
    (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,利用t的几何意义求解.
    【详解】(1)直线l参数方程是,
    圆的普通方程是.
    (2)将代入得:

    设A,B两点对应的参数分别为,
    .
    [选修4-5:不等式选讲]
    23. 选修4-5:不等式选讲
    已知函数,.
    (1)当时,解不等式;
    (2)若对任意实数,的最大值恒为,求证:对任意正数,当时,.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
    【解析】
    【详解】【试题分析】(1)依据绝对值的定义,运用分类整合思想分类分析求解;(2)借助柯西不等式及绝对值三角不等式进行分析推证:
    (Ⅰ)时,
    所以,解集为
    (Ⅱ)由绝对值不等式得
    所以最大值3,
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