2024年中考数学探究性试题总复习-- 一次函数与反比例函数（11）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 一次函数与反比例函数（11），共16页。试卷主要包含了一次函数，反比例函数等内容，欢迎下载使用。

一、一次函数
1．【类比研究】类比数的运算的学习，小明发现初中所学习的函数就是变量的运算.对于一个变量x，对它进行运算，得到另一个变量y，则y是x的函数.
【概念提出】若对x只加上（减去）一个常数，则该函数为一级函数：对x只乘（除以）一个常数（不为1），则该函数为二级函数：对x只进行乘方（开方）运算，则该函数为三级函数；若对某级函数中自变量的代数式再进行不同的运算，则新函数为该级函数的衍生函数.
（1）【特例辨别】
下列函数：①y=−12x，②y=x−1，③y=5x，④y=x4，⑤y=2x2+3x，⑥y=x，其中是三级函数的是 .（填写所有符合要求的函数的序号）
（2）【运算与变化】
将二级函数y=1x的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为 ；也可对y=1x进行乘法运算→×2所得衍生函数y=2x的图象与y=1x的图象的关系为 .
（3）对于函数y=3x的运算与变化，下列说法中正确的是（ ）
①y=3x是二级函数；
②将y=3x再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行；
③将y=3x再除以2所得衍生函数的图象是把函数y=3x的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍；
④将y=3x先减3再平方与先平方再减3所得衍生函数是同一个函数.
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
（4）【知识应用】请写出一级函数y=x如何对变量x进行运算得到衍生函数y=kx2−m（k、m是常数，k≠0，m>0），并写出衍生函数的两条不同类型的性质.
2．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点(1，1)是函数y=12x+12的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数y=x+1，y=x2−x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0)，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.
3．在平面直角坐标系xOy中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得∠MTN=90∘，且MT=NT，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点 ．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数y=3x−2的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数y=kx+b(k≠0)图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
4．
（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.
5．定义：y=kx+b(x>m)−kx+b(x≤m)叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”y=3x−6(x>4)−3x−6(x≤4)
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=4x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”y=kx+k(x>m)−kx+k(x≤m)的图象被直线x=m与y轴所夹的线段长为5⋅|m|，则k的值为 ．
二、反比例函数
6．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如(−3，−3)、(1，1)、(2023，2023)都是“不动点”，已知双曲线y=9x
（1）下列说法错误的是（ ）
A．直线y=x的图象上有无数个“不动点”
B．函数y=−1x的图象上没有“不动点”
C．直线y=x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y=x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线y=9x上的“不动点”；
（3）若抛物线y=ax2−3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a>1时，求c的取值范围．
②如果a=1，过双曲线y=9x图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．
7．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.
例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离.
（1）【应用】
如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.若AB=6，AD=4，则DE与BC之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线l3：y=−x+4与双曲线C1：y=kx(x>0)交于A(1，m)与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线C1之间的距离是 ；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y=−x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y=2400x(x>0)，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
8．【探究函数y=x+1x的图象与性质】
（1）函数y=x+1x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+1x的图象大致是 ；
（3）对于函数y=x+1x，求当x>0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x>0，∴y=x+1x=(x)2+(1x)2=(x−1x)2+ ．
∵(x−1x)2≥0，∴y≥ ．
（4）【拓展说明】
若函数y=x2−5x+4x(x>0)，求y的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中cs∠OBC=45，OC=3.已知反比例函数y=kx(x>0)的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E.
（1）求k的值；
（2）猜想ΔOCD的面积与ΔOBE的面积之间的关系，请说明理由.
（3）若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围.
10．已知一次函数y1=12x+2与反比例函数y2=kx的图象交于A(2，m)、B两点，交y轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标xQ的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）④，⑥
（2）y=1x+5；将y=1x的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得y=2x的图象
（3）B
（4）解：将一级函数y=x先平方运算，再进行减法运算减去m，最后进行除法运算：k除以x2−m.
函数图象关于y轴对称.
当k>0时，x<−m时，y随增大而增大；−mm时，y随增大而减小.
当k<0时，x<−m时，y随增大而减小；−mm时，y随增大而增大.
2．【答案】（1）解：在y=x+1中，令x=x+1，得0=1不成立，
∴函数y=x+1的图像上不存在“等值点”；
在y=x2−x中，令x2−x=x，
解得：x1=0，x2=2，
∴函数y=x2−x的图像上有两个“等值点”(0，0)或(2，2)，
综上所述，y=x+1不存在“等值点”，y=x2−x存在“等值点”，有两个“等值点”(0，0)或(2，2).
（2）解：在函数y=3x(x>0)中，令x=3x，解得：x=3，
∴A(3，3)，
在函数y=−x+b中，令x=−x+b，解得：x=12b，
∴B(12b，12b)，
∵BC⊥x轴，
∴C(12b，0)，
∴BC=12|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴12×12|b|×|3−12b|=3，
当<0时，b2−23b−24=0，解得b=−23，
当0≤b<23时，b2−23b+24=0，
∵Δ=(−23)2−4×1×24=−84<0，
∴方程b2−23b+24=0没有实数根，
当b≥23时，b2−23b−24=0，解得：b=43，
综上所述，b的值为−23或43.
（3）解：m<−98或−13．【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得4k+b=0b=3
解得k=−34b=3
∴直线MT为：y=−34x+3，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：y=43x+3，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点Na，43a+3，
则可得a2+43a+3−32=32+42，
解得a=±3，
∴当a=3时，43a+3=7，
当a=-3时，43a+3=−1，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴∠A ′EA=90∘，A ′E=AE
∴∠A'EF=90∘−∠AEO=∠EAO
∵∠A ′FE=∠EOA=90∘
∴ΔA ′FE≅ΔEOA(AAS)
∴EF=AO=2，A ′F=OE ，
设 OE=A ′F=m ，则 OF=m+EF=OE+EF=m+2
∴(m，m+2)
将 (m，m+2) 代入 y=3x−2 得：
m+2=3m−2 ，解得 m=2 ，
∴A′ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 ΔAOG≅ΔGHA' （AAS），
∴A ′H=OG，GH=OA=2 ，
设 A ′H=OG=n ，则 OH=GH−OG=2−n
∴A'（-n，n-2），
将 A′ （-n，n-2）代入 y=3x−2 得：
n−2=−3n−2 ，解得 n=0
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
4．【答案】（1）证明：由题意可得，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∠EBC=∠ACD∠E=∠DBC=AC，
∴△BEC≌△CDA.
（2）解：①过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，
在y=34x+3中，令y=0可求得x=−4，令x=0可求得y=3，
∴OA=3，OB=4
同（1）可证得△CDB≌△BOA，
∴CD=BO=4，BD=AO=3，
∴OD=4+3=7，
∴C(−7，4)且A(0，3)，
设直线AC解析式为y=kx+3，把C点坐标代入可得−7k+3=4，解得k=−17，
∴直线AC解析式为y=−17x+3；
②(3，1)或(9，13)或(193，233)
5．【答案】（1）解：①将x=0代入y=-3x-6得y=-6，
∴ 该函数与y轴的交点坐标 （0，-6）；
②将x=4代入y=3x-6得y=6
令y=4x+t经过点（4，6）
∴6=16+t
∴t=-10
同理，将x=4代入y=-3x-6得y=-18
令y=4x+t经过点（4，-18）
∴-18=16+t
∴t=-34
综上分析所得，当t≥-10或t<-34时y=4x+t与该函数只有一个交点；
（2）2或−2
6．【答案】（1）C
（2）解：根据题意得：y=xy=9x，
解得x=3y=3或x=−3y=−3，
故双曲线y=9x上的“不动点”为(3，3)和(−3，−3)；
（3）解：①∵抛物线y=ax2−3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
∴方程组y=xy=ax2−3x+c只有一组解，
∵a>1
∴方程ax2−4x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=42−4ac=0，
解得ac=4，
∵a>1，
∴0故c的取值范围为0②m的取值范围为07．【答案】（1）2
（2）22；6
（3）解：如图，作直线AB∥l4，设AB的解析式为y=−x+b，与双曲线y=2400x(x>0)交于点A、B，过点O作OP⊥AB于点P，过点P作PH⊥x轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，
则OP=80m，
∵直线y=−x平分第二、四象限角，
∴∠FOH=45°，
∴∠POH=90°−45°=45°，
∴△POH是等腰直角三角形，
∴PH=OH=22OP=402，
∴P(402，402)，
代入y=−x+b，得402=−402+b，
解得：b=802，
∴y=−x+802，
联立得：−x+802=2400x，
解得：x=202或602，
∴A(202，602)，B(602，202)，
∴AB=(602−202)2+(202−602)2=80，
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE⊥EF，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=80m，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
8．【答案】（1）x≠0
（2）C
（3）2；2
（4）解：∵x>0，
∴y=x2−5x+4x=x+4x−5
=(x)2+(2x)2−4−1
=(x−2x)2−1，
∵(x−2x)2≥0，
∴y≥−1．
9．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴cs∠OBC=BCOB=45，
设BC=4x，OB=5x，
由勾股定理得，OC2+BC2=OB2，
∵OC=3，
∴9+16x2=25x2，
∴x=1，
∴BC=4，OB=5，
∵D是BC的中点，
∴CD=12BC=2，
∴D(2，3)，
设y=kx，
把D(2，3)代入得，k=6.
（2）解：SΔOCD=SΔOBE，
由题意可知，SΔOCD=k2=3，
∵D是BC的中点，
∴SΔOCD=SΔOBD=12SΔBDC，
∵ΔOBC≅ΔOBA，
∴SΔOBA=SΔOBC=6，
∵E在反比例函数图象上，
∴SΔOAE=k2=3，
∴SΔOBE=SΔOBA−SΔOAE=3，
∴SΔOCD=SΔOBE.
（3）解：当0S矩形QCRP=CQ⋅PQ，
∴S=x(6x−3)=6−3x，
当x>2时，如图所示：
S矩形QCRP=CQ⋅PQ，
∴S=x(3−6x)=3x−6，
综上所述，S=6−3x，(0S=3x−6(x>2)
10．【答案】（1）解：∵y1=12x+2过(2，m)，
∴m=12×2+2=3，
∴m=3，则A(2，3)，
又∵y2=kx过(2，3)，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y2=6x.
∴y=12x+2y=6x，解得：x=2y=3或x=−6y=−1，
∴B(−6，−1).
（2）解：令x=0，则y=2，
∴C(0，2).
设直线CE的解析式为设yCE=kx+2，
∴y=kx+2y=6x，即：kx2+2x−6=0，
∵直线CE与反比例函数图象只有一个交点，
∴Δ=4+24k=0，
∴k=−16，
∴yCE=−16x+2，令y=0，则x=12，
∴E(12，0)，
∴CE=122+22=237.
（3）解：由图可知在第一象限QB、QA不可能相等，
如图，当∠APB=90°，PB=PA时，点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，
设P点的坐标为(0，n)，
∵∠APM+∠BPN=90°=∠APM+∠PAM，
∴∠BPN=∠PAM，
∵∠AMP=∠PNB=90°，PA=BP，
∴△APM≌△PBN(AAS)，
∴PN=AM，BN=PM，
∴3−n=6，
∴n=−3，
∴P(0，−3)，
设Q(x，6x)（x>0），
∴D(12x，3x−32)，
∵点D在一次函数y1=12x+2图象上，
∴3x−32=12×12x+2，整理得x2+14x−12=0，
解得x=−7+61（负数舍去），
∴Q点的横坐标xQ的值为−7+61.