2024年中考数学探究性试题总复习-- 一元一次方程（8）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 一元一次方程（8），共12页。试卷主要包含了填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．一般情况下a2＋b3＝a+b2+3不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得a2＋b3＝a+b2+3 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为 .
2．对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d).我们规定： (a，b)★(c，d)=bc−ad.例如： (1，2)★(3，4)=2×3−1×4=6−4=2.当满足等式(−7，2x−1)★(−2，x)=29时，x的值为 .
3．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程2x−1=3与方程x+5=3x+1 (填“是”或“不是”)同解方程；若关于x的两个方程2x=4与mx=m+1是同解方程，m= ；若关于x的两个方程2x=a+1与3x−a=−2是同解方程，a= ．
二、综合题
4．定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数，7-x与 是关于2的平衡数． (填一个含x的代数式)
（2）若a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．
5．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10.规定运算sum(a1：an)=a1+a2+a3+⋯+an.即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum(a1：a3)=2+4+6=12.
（1）已知一列数1，−2，3，−4，5，−6，7，−8，9，−10，则a3= ，sum(a1：a10)= .
（2）已知这列数1，−2，3，−4，5，−6，7，−8，9，−10，…，按照规律可以无限写下去，则a2022= ，sum(a1：a2022)= .
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum(a1：an)|=2022成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由.
6．已知一列，数a1，a2，a3，…，具有以下规律：a2n+1=an，a2n+2=an+an+1.
例：若a0=1，则a1=a2×0+1=a0=1，a2=a2×0+2=a0+a1=2a0=2，
a3=a2×1+1=a1=a0=1，a4=a2×1+2=a1+a2=3a0=3，
a5=a2×2+1=a2=2a0=2，…
请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.
（1）若a0=−2，求下列两个问题.
①a3= ，a6= .
②在数轴上点A所表示的数为a3，点B所表示的数为a9，求线段AB的长.
（2）已知|a9−3|+|a13+2|=8，求a0的值.
7．阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果a+b=a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为(a，b).
例如：2+2=2×2，12+(−1)=12×(−1)，3+32=3×32，
则称数对(2，2)，(12，−1)，(3，32)是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 (填序号)；
①(−23，2)； ②(54，5)； ③(−1，2).
（2）如果(x，4)是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果(m，n)是“和积等数对”，那么m= （用含n的代数式表示）.
8．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离AC= ，线段BC的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，MB=12．
（3）【拓展提升】
在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为－4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK=3．
9．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：
若x＞0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0
例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．
（1）求[32]，[﹣1]的值；
（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣4a+4b的值．
（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．
10．已知a，b为不相等的实数，且a，b均不为0，现定义有序实数对(a，b)的“真诚值”为：d(a，b)=ab2−a(a>b)ba2−b(a（1）根据上述的定义填空：d(−3，4)= ，d(3，−2)= ；
（2）数对(a，2)的“真诚值”d(a，2)=8，求a的值.
11．如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程x−3=0的解是x=3，方程x−1=0的解是x=1
所以：方程x−3=0是方程x−1=0的“2—后移方程”．
（1）判断方程2x−3=0是否为方程2x−1=0的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程2x+m+n=0是关于 x 的方程2x+m=0的“2—后移方程”，求n的值
（3）当a≠0时，如果方程ax+b=1是方程ax+c=1的“3—后移方程”求代数式6a+2b−2(c+3)的值．
12．阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a−2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5−2|=3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）请用上面的方法计算数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离；
（2）填空：|a−1|表示与理数a对应的点与有理数 对应的点的距离；如果|a−1|=3，那么有理数a的值是 ；
（3）填空：如果|a−1|+|a−6|=7，那么有理数a的值是 ．
（4）是否存在有理数a，使等式|a−1|+|a−6|的结果等于4？如果存在，请直接写出a的值；如果不存在，请说明原因．
13．数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x2+x﹣1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a2+a﹣1.当x＝3时，f（3）＝32+3﹣1＝11.
（1）已知f（x）＝x2﹣2x+3，求f（1）的值.
（2）已知f（x）＝mx2﹣2x﹣m，当f（﹣3）＝m﹣1时，求m的值.
（3）已知f（x）＝kx2﹣ax﹣bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（﹣2）＝﹣2，求a，b的值.
14．阅读理解：在解形如3|x−2|=|x−2|+4这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得3|x−2|−|x−2|=4，2|x−2|=4，
|x−2|=2，x−2=±2，x=4或x=0.
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分x<2和x≥2两种情况讨论：
①当x<2时，原方程可化为−3(x−2)=−(x−2)+4，解得x=0，符合x<2；
②当x≥2时，原方程可化为3(x−2)=(x−2)+4，解得x=4，符合x≥2.
∴原方程的解为x=0或x=4.
解题回顾：本解法中2为x−2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x<2和x≥2两部分，所以分x<2和x≥2两种情况讨论.
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
（1）解方程：|x−3|+8=3|x−3|
（2）解方程：|2−x|−3|x+1|=x−9
15．定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
（1）判断当k=1时是否为方程x+42+1=kx的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.
16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”.
（1）方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x−2=x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程2x−n+3=0与x+5n−1=0是“美好方程”，求n的值.
17．数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示，例如f(x)=x2+3x−5，并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如x=1时多项式x2+3x−5的值记为f(1)=12+3×1−5=−1.
（1）若f(x)=2x−3，①求f(−1)的值；②若f(x)=7，求x的值
（2）若g(x)=|x−2|，ℎ(x)=|x+3|，试探究g(x)+ℎ(x)的最小值，并指出此时x的取值范围.
18．探究题：阅读下列材料，规定一种运|abcd|=ad−bc，例如|2345|=2×5−4×3=10−12=−2，再如|xx−33−2|=−2x−3(x−3)=−5x+9，按照这种运算的规定，请解答下列问题：
（1）|1−33−2|= .（只填结果）；
（2）若|x+8x−132|=0，求x的值.（写出解题过程）
19．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为|2|=2，|2+(−1)|2=12，|2+(−1)+3|3=43，所以数列2，−1，3的最佳值为12．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为12；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列−5，−4，3的最佳值为
（2）将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】−89
2．【答案】9
3．【答案】是；1；-7
4．【答案】（1）-1；x-5
（2）解：a与b是关于2的平衡数，
理由：∵a=x2-4x-1， b=x2-2 (x2- 2x-1) +1，
∴a+b
= (x2-4x-1)+[x2-2(x2-2x-1)+1]
=x2-4x-1+x2-2(x2-2x-1) +1
=x2-4x- 1+x2- 2x2+4x+2+1
=2，
∴a与b是关于2的平衡数：
（3）解：∵c=kx+1， d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，
∴c+d=2，
∴kx+1+x- 3=2，
∴(k+1)x=4，
∵x为正整数，
∴当x=1时，k+1=4，得k=3，
当x=2时，k+1=2，得k=1，
当x=4时，k+1=1，得k=0，
∴非负整数k的值为0或1或3．
5．【答案】（1）3；-5
（2）-2022；-1011
（3）解：在（2）的条件下存在正整数n使等式|sum(a1：an)|=2022成立，
当n为奇数时，|sum(a1：an)|=|−n−12+n|=2022，解得，n=4043，
当n为偶数时，|sum(a1：an)|=|−n2|=2022，解得，n=4044.
6．【答案】（1）解：①-2；-6；②②a9=a2×4+1=a4=−6，
∴AB=−2−(−6)=4，
即线段AB的长4；
（2）解：由题意，a9=a2×4+1=a4=3a0，a13=a2×6+1=a6=3a0，
∵|a9−3|+|a13+2|=8，
∴|3a0−3|+|3a0+2|=8，
当3a0+2<0即a0<−23时，
3−3a0−3a0−2=8，解得a0=−76；
当−23≤a0<1时，
3−3a0+3a0+2=8，等式不成立，即a0不存在；
当a0≥1时，3a0−3+3a0+2=8，解得a0=32，
综上，a0=−76或a0=32.
7．【答案】（1）②
（2）解：由题意得：x+4=4x，
解得x=43；
（3）nn−1
8．【答案】（1）7；12；-2+2t
（2）解：M： −2+2t+52=t+32
∵MB=12
∴|t+32−3|=12 即 |t−32|=12
∴t−32=±12
解得 t=2 或 t=1，
所以 点M为PA的中点 ，当 t=2 或 t=1， MB=12；
（3）解：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9−t，点H表示的数为6−2t，
K点表示 9−t+6−2t2=152−32t
∵HK=3
∴152−32t−(6−2t)=32+12t=3 ，
解得 t=3
②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9−t，点H表示的数为−4，
M点表示 9−t+(−4)2=52−12t
∵HK=3
∴52−12t−(−4)=132−12t=3 ，
解得 t=7
综上所述，当t=3或t=7时，HK=3．
9．【答案】（1）解：[32]＝32﹣2＝﹣12，
[﹣1]＝﹣1+2＝1；
（2）解：a＞0，b＜0，[a]＝[b]，即a﹣2＝b+2，解得：a﹣b＝4，则b-a=-4，
故（b﹣a）3﹣4a+4b
＝（b﹣a）3-4（a﹣b）
＝（﹣4）3﹣16
＝﹣80；
（3）解：当x≥0时，方程为：2x﹣2+x+1﹣2＝1，
解得：x＝43，
当﹣1≤x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，
解得：x＝0（舍弃），
当x＜﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，
解得：x＝﹣43．
故方程的解为：x＝±43．
10．【答案】（1）32；9
（2）解：当a>2时，4a−a=8，解得，a=83；
当a<2时，2a2−2=8，则a2=5，
∴a=±5，
∵a<2，
∴a=−5；
综上所述，当d(a，2)=8时，a=83或a=−5.
11．【答案】（1）是
（2）解：解方程2x+m+n=0，得x=−m−n2，
解方程2x+m=0，得x=−m2，
∵关于x的方程2x+m+n=0是关于x的方程2x+m=0的“2—后移方程”，
∴−m−n2−−m2=2，
∴n=−4；
（3）解：解方程ax+b=1，得x=1−ba，
解方程ax+c=1，得x=1−ca，
∵方程ax+b=1是方程ax+c=1的“3—后移方程”，
∴1−ba−1−ca=3，
∴c=3a+b，
把c=3a+b代入6a+2b−2(c+3)，
∴原式=6a+2b−2(3a+b+3)
=6a+2b−6a−2b−6
=−6．
12．【答案】（1）解：数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离为 |−9−3|=12 ；
（2）1；4或-2
（3）0或7
（4）解：不存在，因为此等式表示数轴上有理数 a 所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数 a ．
13．【答案】（1）解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2+3＝2；
（2）解：当x＝﹣3时，f（﹣3）＝mx2﹣2x﹣m＝9m+6﹣m＝m﹣1，
∴m＝﹣1；
（3）解：当x＝﹣2时，f（﹣2）＝kx2﹣ax﹣bk＝4k+2a﹣bk＝﹣2，
∴（4﹣b）k+2a＝﹣2，
∵k为任意有理数，
∴4﹣b＝0，2a＝﹣2，
∴a＝﹣1，b＝4.
14．【答案】（1）解：移项得|x−3|−3|x−3|=−8，
合并得−2|x−3|=−8，
两边同时除以−2得|x−3|=4，
所以x−3=±4，
所以x=−1或x=7；
（2）解：当x≤−1时，原方程可化为2−x+3(x+1)=x−9，解得x=−14，符合x≤−1；
当−1当x>2时，原方程可化为−2+x−3(x+1)=x−9，解得x=43，不符合x>2.
所以原方程的解为x=−14或x=85.
15．【答案】（1）解：当k=1时，原方程化为：x+42+1=x，
整理得：x+6=2x，
解得：x=6，
即当k=1时，方程的解为整数.
根据新定义可得：k=1是方程x+42+1=kx的“友好系数”；
（2）解：方程x+42+1=kx“友好系数”个数是有限的，理由如下，
x+42+1=kx，
去分母得：x+4+2=2kx，
整理得：(2k−1)x=6，
方程的解为：x=62k−1，
当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，
此时k的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，
经检验，取上述k的值，2k−1均不为0，
其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1.
所以方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个，
分别为1，0，2，-1.
16．【答案】（1）解：是，理由如下：
由4x−(x+5)=1解得x=2；
由−2y−y=3解得：y=−1.
∵−1+2=1
∴方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”.
（2）解：由3x−2=x+4解得x=3；
由x2+m=0解得x=−2m.
∵方程3x−2=x+4与方程x2+m=0是“美好方程”
∴−2m+3=1，
解得m=1.
（3）解：由2x−n+3=0解得x=n−32；
由x+5n−1=0解得x=1−5n；
∵关于x方程2x−n+3=0与x+5n−1=0是“美好方程”
∴n−32+1−5n=1，
解得n=−13.
17．【答案】（1）解：①∵f(x)=2x−3，
∴f(−1)=2x−3=2×(−1)−3=−5；
②∵f(x)=7，
∴2x−3=7，
解得：x=5，
即值为5；
（2）解：∵g(x)=|x−2|，ℎ(x)=|x+3|，
∴g(x)+ℎ(x)=|x−2|+|x+3|，
当x＜−3时，g(x)+ℎ(x)=|x−2|+|x+3|=2−x−x−3=−1−2x＞5，
当−3≤x≤2时，g(x)+ℎ(x)=|x−2|+|x+3|=2−x+x+3=5，
当x＞2时，g(x)+ℎ(x)=|x−2|+|x+3|=x−2+x+3=2x+1＞5，
即g(x)+ℎ(x)最小值为5，此时x的取值范围为：−3≤x≤2.
18．【答案】（1）7
（2）解：|x+8x−132|=0
2(x+8)−3(x−1)=0
2x+16−3x+3=0
x=19
19．【答案】（1）2
（2）0.5；3，−4，−5或−4，3，−5
（3）解：当|2+a2|=1，则a=0或−4，不合题意；
当|−8+a2|=1， 则a=6或10，符合题意；
当|2−8+a3|=1， 则a=9或3，符合题意；
综上所述：a的值为6或10或9或3．