江苏省泰州中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、复数,则( )
A.B.iC.D.1
3、已知点,,若直线AB与直线垂直,则( )
A.B.C.D.
4、数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列,2,3,5,8,其中从第3项起,每一项都等于它前面两项之和,即,,这样的数列称为“斐波那契数列”若,则( )
A.B.C.D.
5、已知双曲线C的焦点在y轴上,渐近线方程为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6、已知函数的导函数为,且,则( )
A.B.C.D.
7、已知等差数列中,记,,则数列的前项和为( )
A.0B.4C.8D.16
8、已知函数及其导函数的定义域均为R,且是奇函数,记,若是奇函数,则( )
A.2B.0C.D.
二、多项选择题
9、已知圆,点,,则( )
A.点A在圆C外B.直线与圆C相切
C.直线AB与圆C相切D.圆与圆C相离
10、已知等差数列的前n项和为,当且仅当时取得最大值,则满足的最大的正整数k可能为( )
A.12B.13C.15D.15
11、已知抛物线的焦点为F,为C上一动点,点,则( )
A.当时,
B.当时,C在点P处的切线方程为
C.的最小值为3
D.的最大值为
12、已知,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、已知等比数列的公比不为1,,且,,成等差数列,则________.
14、已知点,,点P满足直线PA,PB的斜率之积为,则的面积的最大值为________.
15、已知函数及其导函数的定义域均为R,为奇函数,且则不等式的解集为________.
16、已知实数,,,满足,,,则的最大值是________.
四、解答题
17、已知中,.
（1）求;
（2）若,,求的面积.
18、已知数列中,,当时,记,.
（1）求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式
（2）求数列的前n项和.
19、已知函数.
（1）求函数的最大值;
（2）记,.若函数既有极大值,又有极小值,求a的取值范围.
20、设数列的前n项积为,且.
（1）求数列的通项公式
（2）记区间内整数的个数为,数列的前m项和为,求使得的最小正整数m.
21、已知椭圆的离心率为,左,右焦点分别为,,左,右顶点分别为,,上顶点为B,的周长为点P,Q异于两点且在C上,直线,,的斜率分别为,,,且
（1）证明为定值
（2）求点B到直线PQ距离的最大值.
22、已知函数,其中,.
（1）若,求函数的单调区间;
（2）若,函数有两个相异的零点,,求证:.
参考答案
1、答案：A
解析:集合,,所以.
故选:A
2、答案：A
解析:,
,
故选:A.
3、答案：B
解析:依题意可得直线AB的斜率为,
因为直线AB与直线垂直,
且直线的斜率为,
所以,解得.
故选:B.
4、答案：C
解析:由从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,,
由,得,所以,,,,
将这个式子左右两边分别相加可得:,所以.
所以.
故选:C.
5、答案：A
解析:由题意,双曲线的焦点在y轴上,
由于双曲线的渐近线方程为,
所以,即,
所以.
故选:A
6、答案：D
解析:,
,
令,则,
,
则,
故选:D.
7、答案：C
解析:由等差数列性质得
设,当,时,
故
故选:C
8、答案：B
解析:因为是奇函数,所以,
两边求导得,
即,
又,
所以,即,
令,可得,
因为是定义域为R的奇函数,所以,即.
因为是奇函数,
所以,又,
所以,则,,
所以4是函数的一个周期,
所以.
故选:B.
9、答案：AB
解析:由题,圆C的圆心坐标为,半径为,
对于A项,因为,所以点A在圆C外,故A正确;
对于B项,圆心到直线的距离为,故直线与圆C相切,故B项正确;
对于C项,直线的方程为,整理得,则圆心C到直线AB的距离为,
所以直线AB与圆C相离,故C错误;
对于D项,圆的圆心坐标为,半径为,则圆心间的距离为,
因为,所以圆与圆C相交,故D错误.
故选:AB.
10、答案：BC
解析:因为当且仅当时,取得最大值,
所以,公差,且,.
所以,,,
故时,.
当时,,则满足的最大的正整数k为14;
当时,,则满足的最大的正整数k为13,
故满足的最大的正整数k可能为13与14.
故选:BC.
11、答案：ACD
解析:因为抛物线,所以准线l的方程是.
对于,当时,,此时,故A正确;
对于B,当时,,令切线方程为:,与联立得,
令,解得,即切线方程为:,即,故B错误;
对于C,过点P,A分别作准线l的垂线,垂足为Q,B,
则,所以的最小值为3,故C正确.
对于D,因为焦点,所以,
所以的最大值为故D正确.
故选:ACD
12、答案：BC
解析:因为,即.
令,则有,
则,令,则,
令,可得,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
故,
所以总有,故单调递减;所以,即;
对于A,,故A错误;
对于B,设,则,
故在上单调递增,所以,
所以,因为,所以,故B正确;
对于C,,即.
设,则,
则,所以单调递增.
因为,所以,故C正确;
对于D,,即,
令,则,
因为,所以为偶函数,
所以即为.
则,令,则,所以单调递增.
又,
所以当时,,,函数单调递减;
当时,,,函数单调递增,
当时,,故D错误;
故选:BC.
13、答案：/0.0625
解析:根据题意得,,且,
解得,,;
故答案为:.
14、答案：20
解析:设,由题意可知,,
整理得;
得动点P的轨迹为以A,B为长轴顶点的椭圆(除去A,B两点),
显然当P点位于上下顶点时面积取得最大值,
因为,,
所以;
故答案为:20.
15、答案：
解析:设,则,故单调递减.
因为为奇函数,定义域为R,所以,故.
可转化为,即.
因为单调递减,所以,解得.
故答案为:.
16、答案：/
解析:由,可知,
点,分别在圆和圆上,
如图,作直线,过B作于D,过A作于E,
而,
其中表示A到直线的距离,
表示B到直线的距离,
因为与,平行,
且与的距离为,
与的距离为,
要使的取最大值,则A,B需在直线的左下角这一侧,
所以,,
由得,
设,,因为,所以,
从而,,
故,
其中,,
故当时,取最大值,
从而,
即的最大值为.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）设A,B,C对边长a,b,c
因为
由正弦定理,
所以,
所以,
即,
所以,
因为,
所以;
（2）中,,,,
因为,
所以,
所以,
因为,
所以
.
.
18、答案：（1）证明见解析,
（2）.
解析:（1）因为且当时,,
所以当时,,
所以,因为,即,
所以是以为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以;
（2）由（1）知,
则…①
…②,
①-②得
所以;
综上,,.
19、答案：（1）2
（2）
解析:（1）由函数,则其定义域为,,
当时,;当时,,
所以函数在区间上为增函数;在区间为减函数,
所以;
（2）由,
则,
因为既有极大值,又有极小值,
即等价于方程在区间上有两个不相等的实数根,
即,解得,
所以所求实数a的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）5
解析:（1）因为数列的前项积,
当时,,
当时,,
除以得,
又时,满足,
所以.
（2）因为区间内整数的个数为,
所以,
所以.
由,得,即,
当时,,
当时,,
因为随m的增大而增大,
所以的最小整数为5.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）设椭圆焦距为2c,
由题知,解得,
所以椭圆的标准方程为,
依题意,,设椭圆上任一点,则,
所以;
（2）设,若直线PQ的斜率为0,则P,Q关于y轴对称,必有,不合题意,
所以直线PQ斜率必不为0,设其方程为,
与椭圆C联立,整理得:,
所以,且,
由（1）知,即,
即,即,
即,
即,
所以,此时,
故直线恒过x轴上一定点,
所以点B到直线PQ的最大距离为
22、答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析:（1）当时,,定义域为,
所以,,
所以,时,在上恒成立,
故在上单调递增,
当时,令得,
所以,当时,,单调递增,
时,,单调递减,
综上,时,在上单调递增,
时,在上单调递增,在上单调递减;
（2）由题知,,
因为函数有两个相异零点,,且,
所以且,,即,
所以,方程有两个不相等的实数根,
令,则,
故当时,,时,,
所以,在,上单调递减,在上单调递增,
因为,,,,
所以,要使方程有两个不相等的实数根,
则,
不妨令,则,,
所以,,
要证,只需证,即证:,
因为,
所以,只需证,
只需证,即,
故令,
故只需证,成立,
令,,
则,
令,
在恒成立,
所以,在上单调递增,
因为,
所以在恒成立,
所以,在上单调递增,
所以,,即,
所以,成立.