人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第01课 集合、一元二次不等式、函数及其表示（2份打包，原卷版+教师版）

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知识梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
【例1】(1)设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.无数个
(2)已知集合A＝{x∈N|1＜x＜lg2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________.
【例2】(1)已知集合A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，则m的取值范围为______.
【例3】(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝( )
A.{1，6} B.{1，7} C.{6，7} D.{1，6，7}
(2)设全集U＝R，集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝( )
A.{x|x≤﹣3或x≥1} B.{x|x＜﹣1或x≥3}
C.{x|x≤3} D.{x|x≤﹣3}
充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
[注意] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题.
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
(2)全称命题和特称命题
常用结论
1.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A⫋B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若Aeq \(⊆,\s\up0(/))B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.
2.全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.
【例4】(1)已知a，b都是实数，那么“b＞a＞0”是“eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知p：x＝2，q：x﹣2＝eq \r(2－x)，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【例5】已知条件p：集合P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1＋m}.若p是q的必要条件，求m的取值范围.
一元二次不等式及其解法
一、知识梳理
1.一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集
(1)当a＞0时，解集为{x|x＞eq \f(b,a)}. (2)当a＜0时，解集为{x|x＜eq \f(b,a)}.
2.三个“二次”间的关系
常用结论
1.分式不等式的解法
(1)eq \f(f（x）,g（x）)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).
(2)eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))
2.记住两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0， ,b2－4ac<0.))
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0， ,b2－4ac<0.))
【例6】(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0，))则不等式f(x)＞3的解集为________.
(2)已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是{x|﹣eq \f(1,2)＜x＜﹣eq \f(1,3)}，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是________.
【例7】若不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
基本不等式
知识梳理
1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4).(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(3)eq \f(a2＋b2,2)≥(eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
【例8】(1)已知0＜x＜1，则x(4﹣3x)取得最大值时x的值为________.
(2)已知x＜eq \f(5,4)，则f(x)＝4x﹣2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为________.
函数及其表示
知识梳理
1.函数的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.
[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
【例9】(1)函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lg（x＋1）)的定义域为( )
A.(﹣1，3] B.(﹣1，0)∪(0，3] C. [﹣1，3] D.[﹣1，0)∪(0，3]
(2)已知函数f(x)的定义域是[﹣1，1]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定义域是( )
A.[0，1] B.(0，1) C.[0，1) D.(0，1]
【例10】(1)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)﹣f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________.
(2)已知函数f(x)满足f(﹣x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________.
【例11】(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1﹣x)，则当﹣1≤x≤0时，f(x)＝________.
【例12】(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝( )
A.﹣eq \f(1,2) B.2 C.4 D.11
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1（x≥2），,lg2x（0集合、一元二次不等式、函数及其表示 课时跟踪练习
1.已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
2.设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是( )
A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
3.已知集合A＝{x|x2﹣4x＋3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A.(3，＋∞) B.[3，＋∞) C.(﹣∞，1) D.(﹣∞，1]
4.(多选)若集合A＝{x|x(x﹣2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )
A.{﹣1} B.{0} C.{1} D.{2}
5.已知全集U＝R，函数y＝ln(1﹣x)的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是( )
A.M∩N＝N B.M∩(∁UN)＝∅ C.M∪N＝U D.M⊆(∁UN)
6.已知命题“∃x0∈R，使2xeq \\al(2,0)＋(a﹣1)x0＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣1) B.(﹣1，3) C.(﹣3，＋∞) D.(﹣3，1)
7.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0，2] B.[﹣2，0] C.[﹣2，＋∞) D.(﹣∞，﹣2]
8.若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.4
9.函数f(x)＝eq \f(3x,\r(x－1))＋ln(2x﹣x2)的定义域为( )
A.(2，＋∞) B.(1，2) C.(0，2) D.[1，2]
10已知f(eq \f(1,2)x﹣1)＝2x﹣5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.﹣eq \f(7,4) B.eq \f(7,4) C.eq \f(4,3) D.﹣eq \f(4,3)
11.若不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x|x＜﹣eq \f(1,2)，或x＞eq \f(1,3)}，则eq \f(a－b,a)的值为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(1,6) C.﹣eq \f(1,6) D.﹣eq \f(5,6)
12.知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,2)，则x＋y的最小值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
13.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.
14.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________.
15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________.
16.不等式|x(x﹣2)|＞x(x﹣2)的解集是________.
17.函数y＝eq \f(x2,x＋1)(x＞﹣1)的最小值为________.
18.若a＞0，b＞0，且a＋2b﹣4＝0，则ab的最大值为________，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为________.
19.已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.
20.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1，))则f(f(0))＝________，若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________.
21.若不等式ax2＋5x﹣2＞0的解集是{x|eq \f(1,2)＜x＜2}.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2﹣5x＋a2﹣1＞0的解集.
22.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)＝0，且c＝1，
F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))求F(2)＋F(﹣2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.
集合、一元二次不等式、函数及其表示 随堂检测
1.设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A∩C)∪B＝( )
A.{2} B.{2，3} C.{﹣1，2，3} D.{1，2，3，4}
2.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.(﹣2，1) B.[﹣1，0]∪[1，2) C.(﹣2，﹣1)∪[0，1] D.[0，1]
3.已知f(x)＝sin x﹣x，命题p：∃x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)＜0，则( )
A.p是假命题，﹁p：∀x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0 B.p是假命题，﹁p：∃x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0
C.p是真命题，﹁p：∀x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0 D.p是真命题，﹁p：∃x∈(0，eq \f(π,2))，f(x)≥0
4.不等式(x﹣2)(2x﹣3)＜0的解集是( )
A.(﹣∞，eq \f(3,2))∪(2，＋∞) B.R C.(eq \f(3,2)，2) D.∅
5.不等式eq \f(2,x＋1)＜1的解集是( )
A.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(﹣∞，﹣1) D.(﹣1，1)
6.函数y＝eq \f(1,ln（x－1）)的定义域为( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(1，2)∪(2，＋∞) D.(1，2)∪[3，＋∞)
7.已知集合A＝{x|(x﹣1)(x﹣3)＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________.
8.若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x)＞x＋1”，则命题p可写为____________________.
9.若函数y＝eq \r(mx2－（1－m）x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是________.
10.若正实数x，y满足x＋y＝2，则eq \f(1,xy)的最小值为
11.定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝{x|m≤x≤m+eq \f(1,2)}，N＝{x|n-eq \f(3,5)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
12.(1)当x＜eq \f(3,2)时，求函数y＝x＋eq \f(8,2x－3)的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝eq \r(x（4－2x）)的最大值.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈}B
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qeq \(⇒,\s\up0(/))p
p是q的必要不充分条件
peq \(⇒,\s\up0(/))q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
peq \(⇒,\s\up0(/))q且qeq \(⇒,\s\up0(/))p
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，﹁p(x0)
∀x∈M，﹁p(x)
判别式Δ＝b2﹣4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根
x1＝x2＝﹣eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
{x|x≠﹣eq \f(b,2a)}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
函数
两集合A，B
A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A