人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第04课 三角恒等变换（2份打包，原卷版+教师版）

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1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ；
cs(α∓β)＝csαcsβ±sinαsinβ；
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±β，α，β均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sinαcsα；
cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，2α均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
3．三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
(2)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1﹣cs 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2， 1﹣sin 2α＝(sin α﹣cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sin(α±eq \f(π,4)).
(4)辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
【例1】(1)化简：eq \f(sin 50°,sin 65°·\r(1－cs 50°))＝________．
(2)若tan α＝3，tan(α﹣β)＝2，则tan β＝________．
(3)已知α∈(0，eq \f(π,2))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(\r(5),5) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(5),5)
【例2】(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．﹣eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．﹣eq \f(1,2)
(2)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【例3】(1)已知α，β∈(eq \f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝﹣eq \f(3,5)，sin(β﹣eq \f(π,4))＝eq \f(24,25)，则cs(α＋eq \f(π,4))＝________．
(2)求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)﹣sin 10°().
【例4】(1)化简：eq \f(2sin（π－α）＋sin 2α,cs2\f(α,2))＝________．
(2)计算eq \f(2cs 10°－2\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝________．
(3)化简：.
三角恒等变换 课时跟踪练习
1.(1﹣tan215°)cs215°的值等于( )
A．eq \f(1－\r(3),2) B．1 C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,2)
2．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2(α﹣eq \f(π,4))＝( )
A．﹣eq \f(1,3) B．eq \f(1,3) C．﹣eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
3．计算eq \r(3)cs 15°﹣4sin215°cs 15°＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．1 D．eq \r(2)
4．已知eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(8\r(2),9) B．eq \f(2\r(2),3) C．eq \f(4\r(2),9) D．eq \f(2\r(2),9)
5．计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．﹣eq \f(2\r(3),3) C．eq \f(2\r(3),9) D．﹣eq \f(2\r(3),9)
6．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．﹣eq \f(\r(3),5) B．eq \f(3\r(3),5) C．eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
7．已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)(eq \f(tan α,tan β))2等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知cs(2α﹣eq \f(π,3))＝﹣eq \f(1,3)，则sin(α＋eq \f(π,6))﹣cs α＝( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．﹣eq \f(\r(6),3) C．eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(6),3)
9．若＝eq \r(3)·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C．﹣eq \f(2,3) D．﹣eq \f(1,3)
10．已知3π≤θ≤4π，且 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( )
A．eq \f(10π,3)或eq \f(11π,3) B．eq \f(37π,12)或eq \f(47π,12) C．eq \f(13π,4)或eq \f(15π,4) D．eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)
11．设α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(0，eq \f(π,4))，且tan α＝eq \f(1＋sin 2β,cs 2β)，则下列结论中正确的是( )
A．α﹣β＝eq \f(π,4) B．α＋β＝eq \f(π,4) C．2α﹣β＝eq \f(π,4) D．2α＋β＝eq \f(π,4)
12．若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β﹣α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈[eq \f(π,4)，π]，β∈[π，eq \f(3π,2)]，则α＋β的值是( )
A．eq \f(7π,4) B．eq \f(9π,4) C．eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D．eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
13.若α，β为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则cs(α＋β)＝________，α＋β＝________．
14.在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq \f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq \f(3\r(3),14)，则2α﹣β的值为________．
15.已知sin(α﹣β)cs α﹣cs(β﹣α)sin α＝eq \f(3,5)，β是第三象限角，则sin(β＋eq \f(5π,4))＝________．
16.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝
A．8 B．4 C．2 D．1
17．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β﹣cs αsin β＝1，则sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)的取值范围为________．
18．已知sin α＝﹣eq \f(4,5)(α∈[eq \f(3π,2)，2π])，若eq \f(sin（α＋β）,cs β)＝2，则tan(α＋β)＝________．
19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(﹣eq \f(3,5)，﹣eq \f(4,5)).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋π))的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
20．已知函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,12))，x∈R.
(1)求f(﹣eq \f(π,4))的值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈(0，eq \f(π,2))，求f( 2θ﹣eq \f(π,3))的值．
21．已知sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，α∈(0，eq \f(π,4))，sin(β﹣eq \f(π,4))＝eq \f(3,5)，β∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2)).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cs(α＋2β)的值．
22.已知sin(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),10)，α∈(eq \f(π,2)，π).求：
(1)cs α的值；
(2)sin(2α﹣eq \f(π,4))的值．
23．已知函数f(x)＝Acs(eq \f(x,4)＋eq \f(π,6))，x∈R，且f(eq \f(π,3))＝eq \r(2).
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0,eq \f(π,2)]，f(4α＋eq \f(4π,3))＝﹣eq \f(30,17)，f(4β﹣eq \f(2π,3))＝eq \f(8,5)，求cs(α＋β)的值．
三角恒等变换 随堂检测
1．计算﹣sin 133°cs 197°﹣cs 47°cs 73°的结果为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
2．已知cs(eq \f(π,4)﹣α)＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝( )
A．eq \f(1,5) B．﹣eq \f(1,5) C．eq \f(7,25) D．﹣eq \f(7,25)
3．已知cs(x﹣eq \f(π,6))＝eq \f(1,4)，则cs x＋cs(x﹣eq \f(π,3))＝( )
A．eq \f(\r(3),4) B．﹣eq \f(\r(3),4) C．eq \f(1,4) D．±eq \f(\r(3),4)
4．已知tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(1,7)，且α为第二象限角，若β＝eq \f(π,8)，则sin(α﹣2β)cs 2β﹣cs(α﹣2β)sin 2β＝( )
A．﹣eq \f(3,5) B．eq \f(3,5) C．﹣eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)
5．已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(5),2)，则cs 4α＝________．
6．若tan(α＋2β)＝2，tan β＝﹣3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
7．已知sin α＋3cs α＝﹣eq \r(10)，则tan 2α＝________．
8．已知tan α＝2.
(1)求tan(α＋eq \f(π,4))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值．
9.已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝﹣eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α﹣β)的值．