人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第06课 平面向量的概念（2份打包，原卷版+教师版）

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6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
1.向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.
(2)向量可以用有向线段eq \(AB,\s\up14(→))来表示.向量eq \(AB,\s\up14(→))的大小称为向量 eq \(AB,\s\up14(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up14(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→)).
思考：(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量.
3.向量的有关概念
1.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等
2.有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以看成是向量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知|eq \(AB,\s\up14(→))|＝1，|eq \(AC,\s\up14(→))|＝2，若∠ABC＝90°，则|eq \(BC,\s\up14(→))|＝________.
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号).
(1)eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))；(2)eq \(OB,\s\up14(→))与eq \(OD,\s\up14(→))；(3)eq \(AC,\s\up14(→))与eq \(BD,\s\up14(→))；(4)eq \(AO,\s\up14(→))与eq \(OC,\s\up14(→)).
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
1.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向.
2.共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.
提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度.
1.给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上.
其中正确命题的序号是________.
【例2】 (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量.
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①eq \(OA,\s\up14(→))，使|eq \(OA,\s\up14(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
②eq \(AB,\s\up14(→))，使|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，点B在点A正东；
③eq \(BC,\s\up14(→))，使|eq \(BC,\s\up14(→))|＝6，点C在点B北偏东30°.
1.向量的两种表示方法
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(EF,\s\up14(→))等.
2.两种向量表示方法的作用
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.
2.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up14(→))的模.
[探究问题]
1.两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
[提示] 不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.
2.若eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))，则从直线AB与直线CD的关系和eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
[提示] 分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))同向；
(2)直线AB和直线CD重合，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))反向；
(3)直线AB∥直线CD，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))同向；
(4)直线AB∥直线CD，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))反向.
【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，eq \(OC,\s\up14(→))＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
1.向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系.
2.从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的.向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段.
3.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
4.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
1.判断正误
(1)长度为0的向量都是零向量.( )
(2)零向量的方向都是相同的.( )
(3)单位向量的长度都相等.( )
(4)单位向量都是同方向. ( )
(5)任意向量与零向量都共线.( )
2.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D.以上都不对
3.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________.
4.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)写出与eq \(DA,\s\up14(→))平行的向量；
(2)写出与eq \(DA,\s\up14(→))模相等的向量.
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
1.向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
2.向量求和的法则
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
[提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法.
3.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
1.下列各式不一定成立的是( )
A.a＋b＝b＋a B.0＋a＝a C.eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→)) D.|a＋b|＝|a|＋|b|
2.eq \(CB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(BA,\s\up14(→))等于( )
A.eq \(DB,\s\up14(→)) B.eq \(CA,\s\up14(→)) C.eq \(CD,\s\up14(→)) D.eq \(DC,\s\up14(→))
3.如图，在平行四边形ABCD中，eq \(DA,\s\up14(→))＋eq \(DC,\s\up14(→))＝________.
4.小船以10eq \r(,3) km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
[探究问题]
1.求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
[提示] (1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等.
(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等.
2.设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，eq \(A1A2,\s\up14(→))＋eq \(A2A3,\s\up14(→))＋eq \(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An的运算结果是什么？
[提示] 将三角形法则进行推广可知eq \(A1A2,\s\up14(→))＋eq \(A2A3,\s\up14(→))＋eq \(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up14(→)).
【例1】 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
①eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(DF,\s\up14(→))＝________；②eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(FC,\s\up14(→))＝________；③eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(FC,\s\up14(→))＝________.
(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
甲 乙
1.向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.
提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
【例2】 (1)化简：
①eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))； ②eq \(DB,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))； ③eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(DF,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(FA,\s\up14(→)).
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①eq \(DG,\s\up14(→))＋eq \(EA,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→))； ②eq \(EG,\s\up14(→))＋eq \(CG,\s\up14(→))＋eq \(DA,\s\up14(→))＋eq \(EB,\s\up14(→)).
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
1.向量(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(PB,\s\up14(→)))＋(eq \(BO,\s\up14(→))＋eq \(BM,\s\up14(→)))＋eq \(OP,\s\up14(→))化简后等于( )
A.eq \(BC,\s\up14(→)) B.eq \(AB,\s\up14(→)) C.eq \(AC,\s\up14(→)) D.eq \(AM,\s\up14(→))
[思路探究]
[解] 如图所示，设eq \(CE,\s\up14(→))，eq \(CF,\s\up14(→))分别表示A，B所受的力，10 N的重力用eq \(CG,\s\up14(→))表示，则eq \(CE,\s\up14(→))＋eq \(CF,\s\up14(→))＝eq \(CG,\s\up14(→)).
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴|eq \(CE,\s\up14(→))|＝|eq \(CG,\s\up14(→))|·cs 30°＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)，|eq \(CF,\s\up14(→))|＝|eq \(CG,\s\up14(→))|·cs 60°＝10×eq \f(1,2)＝5.
∴A处所受的力的大小为5eq \r(3) N，B处所受的力的大小为5 N.
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
2.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.
1.判断正误
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量.( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.( )
2.对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为eq \(BC,\s\up14(→))的是( )
A.eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(DC,\s\up14(→)) B.eq \(BD,\s\up14(→))＋eq \(DA,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)) C.eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→))＋eq \(DC,\s\up14(→)) D.eq \(DC,\s\up14(→))＋eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))
3.若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
4.如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1)eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→))； (2)eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(FE,\s\up14(→)).
6.2.2 向量的减法运算
1.相反向量
(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.
(2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
2.向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
(2)作法：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，则向量eq \(BA,\s\up14(→))＝a－b，如图所示.
思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?
[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立.
1.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A.m＝n B.m＝－n C.|m|＝|n| D.方向相反
2.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是( )
A.eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→)) B.eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→)) C.eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→)) D.eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))
3.化简eq \(OP,\s\up14(→))－eq \(QP,\s\up14(→))＋eq \(PS,\s\up14(→))＋eq \(SP,\s\up14(→))的结果等于( )
A.eq \(QP,\s\up14(→)) B.eq \(OQ,\s\up14(→)) C.eq \(SP,\s\up14(→)) D.eq \(SQ,\s\up14(→))
4.如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，用a，b表示向量eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(BD,\s\up14(→))，则eq \(AC,\s\up14(→))＝________，eq \(BD,\s\up14(→))＝________.
【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，eq \(BC,\s\up14(→))＝c，则eq \(DC,\s\up14(→))＝( )
A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
1.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
【例2】 (1)如图所示，
①用a，b表示eq \(DB,\s\up14(→))； ②用b，c表示eq \(EC,\s\up14(→)).
(2)化简下列各向量的表达式：
①eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))； ②(eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→)))－(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(BD,\s\up14(→)))； ③(eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BO,\s\up14(→))＋eq \(OA,\s\up14(→)))－(eq \(DC,\s\up14(→))－eq \(DO,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))).
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和.
(2)起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
3.与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算.
2.化简下列向量表达式：
(1)eq \(OM,\s\up14(→))－eq \(ON,\s\up14(→))＋eq \(MP,\s\up14(→))－eq \(NA,\s\up14(→))； (2)(eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(BM,\s\up14(→)))＋(eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(MC,\s\up14(→))).
[探究问题]
1.以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？
[提示] 如图所示，平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，则a＋b＝eq \(AC,\s\up14(→))，a－b＝eq \(DB,\s\up14(→)).
2.已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.
(2)当a，b不共线时，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b，则a＋b＝eq \(OB,\s\up14(→))，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【例3】 (1)在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→))，若|eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(BA,\s\up14(→))|，则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
(2)已知|eq \(AB,\s\up14(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝9，求|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围.
1.将本例(2)的条件改为“|eq \(AB,\s\up14(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝5”，求|eq \(BD,\s\up14(→))|的取值范围.
2.在本例(2)条件不变的条件下，求：|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围.
3.本例(2)中条件“|eq \(AD,\s\up14(→))|＝9”改为“|eq \(BD,\s\up14(→))|＝9”，求|eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围.
1.用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.
(2)化归为向量问题，进行向量运算.
(3)将向量问题还原为平面几何问题.
2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(BA,\s\up14(→))就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
3.以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq \(AC,\s\up14(→))＝a＋b，eq \(BD,\s\up14(→))＝b－a，eq \(DB,\s\up14(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
1.判断正误
(1)0－a＝－a；( )
(2)－(－a)＝a；( )
(3)a＋(－a)＝0；( )
(4)a＋0＝a；( )
(5)a－b＝a＋(－b)；( )
(6)a＋(－a)＝0.( )
2.化简eq \(BA,\s\up14(→))－eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(DB,\s\up14(→))－eq \(DC,\s\up14(→))＝________.
3.若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
4.若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角.
平面向量的概念及加减运算 随堂检测
1.若|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(AD,\s\up16(→))|且eq \(BA,\s\up16(→))＝eq \(CD,\s\up16(→))，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
2.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A.eq \(FD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))＝eq \(FA,\s\up16(→)) B.eq \(FD,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(EF,\s\up16(→))＝0 C.eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))＝eq \(EC,\s\up16(→)) D.eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))＝eq \(FD,\s\up16(→))
3.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是( )
A.eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(CA,\s\up16(→)) B.eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→)) C.eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→)) D.eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(DC,\s\up16(→))
4.边长为1的正三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(BC,\s\up16(→))|的值为( )
A.1 B.2 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
5．在平行四边形ABCD中，下列式子：
①eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))；②eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))；③eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))；④eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))；⑤eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))；⑥eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(DC,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→)).其中不正确的个数是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
6.把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________.
7.若P为△ABC的外心，且eq \(PA,\s\up16(→))＋eq \(PB,\s\up16(→))＝eq \(PC,\s\up16(→))，则∠ACB＝________.
8.在某地大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，此时直升飞机位于A地________方向，与A地的距离为________km.
9.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中eq \(OB,\s\up16(→))＝b，eq \(OC,\s\up16(→))＝c，则eq \(EF,\s\up16(→))等于________.
10.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(5).
(1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up16(→))；
(2)求|eq \(BC,\s\up16(→))|的最大值与最小值.学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点)
2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点)
3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)
1.从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养.
2.类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养.
3.通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养.
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
向量a，b平行，记作a∥b
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等，记作a＝b
向量的有关概念
向量的表示及应用
相等向量和共线向量
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律.(难点)
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算.(重点)
3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点)
1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养.
2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养.
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(BC,\s\up14(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up14(→))叫做a与b的和，
记作a＋b，即a＋b＝Aeq \(B,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→)).
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，以eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→))为邻边作▱ABCD，
则对角线上的向量eq \(AC,\s\up14(→))＝a＋b.
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法运算律的应用
向量加法的实际应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义.(难点)
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算.(重点)
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
1.类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养数学抽象和数学建模的核心素养.
2.通过对向量的加法的学习，提升数学运算和逻辑推理能力.
向量减法的几何意义
向量减法的运算及简单应用
向量减法几何意义的应用