人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第10课 寒假复习阶段测试二（2份打包，原卷版+教师版）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|﹣λa|≥|a| D.|﹣λa|≥|λ|·a
设A(0，1)，B(1，3)，C(﹣1，5)，D(0，﹣1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A.﹣2eq \(AD,\s\up6(→)) B.2eq \(AD,\s\up6(→)) C.﹣3eq \(AD,\s\up6(→)) D.3eq \(AD,\s\up6(→))
已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，1)，c＝(k，eq \r(3)).若a＋2b与c垂直，则k＝( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.﹣1
已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为( )
A.12 B.8 C.﹣8 D.2
若在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2eq \r(6)，b＝4，则B等于( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.以上都不对
在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若c2＝(a﹣b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A.3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D.3eq \r(3)
向量a＝(eq \f(1,3)，tanα)，b＝(cs α，1)，且a∥b，则cs 2α＝( )
A.eq \f(1,3) B.﹣eq \f(1,3) C.eq \f(7,9) D.﹣eq \f(7,9)
已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(﹣k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A.﹣eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
已知a，b为非零向量，且eq \r(3)|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a﹣b|，则a与b夹角余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),8) B.eq \f(\r(3),16) C.eq \f(\r(6),8) D.eq \f(\r(6),16)
已知向量a＝(2，m)，b＝(3，1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A.(﹣6，＋∞) B.(﹣eq \f(2,3)，＋∞)
C.(﹣6，﹣eq \f(2,3))∪(eq \f(2,3)，＋∞) D.(﹣6，﹣eq \f(2,3))∪(﹣eq \f(2,3)，＋∞)
在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C﹣sin Bsin C，则A的取值范围是( )
A.(0，eq \f(π,6)) B.[eq \f(π,6)，π] C.(0，eq \f(π,3)] D.[eq \f(π,3)，π]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知点A(﹣1，2)，B(2，8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))的坐标为 .
设0＜θ＜eq \f(π,2)，向量a＝(sin2θ，csθ)，b＝(csθ，1)，若a∥b，则tanθ＝ .
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝_____.
在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.已知sin(2A＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,2)，b＝1，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b＋c,sin B＋sin C)的值为________.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up16(→))＝3(a﹣b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka﹣b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值.
已知A(1，1)，B(3，﹣1)，C(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标.
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(eq \f(\r(2),2)，﹣eq \f(\r(2),2))，n＝(sin x，cs x)，x∈(0，eq \f(π,2)).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值.
已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(3，﹣eq \r(3))，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
在△ABC中，a＝7，b＝8，cs B＝﹣eq \f(1,7).
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高.
23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b﹣eq \r(3)c)cs A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.