人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第11课 平面向量的应用 二（2份打包，原卷版+教师版）

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1.基线的概念与选择原则
(1)定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
(2)性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
[提示] 利用正弦定理和余弦定理.
2.测量中的有关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图所示)
(2)方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)
思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
[提示] 东南方向.
1.如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )
A.α，a，b B.α，β，a C.a，b，γ D.α，β，b
2.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为( )
A.α＋β B.α﹣β C.β﹣α D.α
3.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为eq \r(3) km，那么x的值为( )
A.eq \r(3) B.2eq \r(3) C.2eq \r(3)或eq \r(3) D.3
【例1】 海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A.10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3) 海里 C.5eq \r(2) 海里 D.5eq \r(6) 海里
三角形中与距离有关问题的求解策略：
(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.
1.为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为 m.
【例2】 济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
解决测量高度问题的一般步骤：
(1)画图：根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.
2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.
[探究问题]
1.某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4 km，从B到C，方位角是120°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是3 km，试画出示意图.
[提示] 如图所示：
2.在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？
[提示] 在探究1图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°﹣120°)＝120°，
由余弦定理得AC＝eq \r(AB2＋BC2－2AB·BC·cs 120°)＝4eq \r(7)，则此人的最小速度为v＝eq \f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq \r(7) (km/h).
3.在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16eq \r(7) km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达C点的时间为t1＝eq \f(4＋8,24)＝eq \f(1,2)(小时)＝30(分钟)，
追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝eq \f(4\r(7),16\r(7))＝eq \f(1,4)(小时)＝15分钟；
由于30＞15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇.
【例3】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值.(结果保留根号，无需求近似值)
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东5° B.北偏西10° C.南偏东5° D.南偏西10°
2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A.50eq \r(3)米 B.100eq \r(3)米 C.50米 D.100米
3.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8eq \r(2)海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )
A.8(eq \r(6)＋eq \r(2))海里/时 B.8(eq \r(6)﹣eq \r(2))海里/时
C.16(eq \r(6)＋eq \r(2))海里/时 D.16(eq \r(6)﹣eq \r(2))海里/时
4.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为 m.
5.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12eq \r(6)海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8eq \r(3)海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离.
平面向量的应用二 课堂跟踪练习
一、选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m C.3eq \r(3) m D.4eq \r(3) m
2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B.34eq \r(6) n mile/h C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D.34eq \r(2) n mile/h
3.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )
A.28海里/时 B.14海里/时 C.14eq \r(2)海里/时 D.20海里/时
4.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA﹣OB＝40(m).]
5.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )
A.15eq \r(6) m B.20eq \r(6) m C.25eq \r(6) m D.30eq \r(6) m
6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米.
7.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
8.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4eq \r(2) dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球.
9.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq \f(\r(3)a,2)的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.
10.岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10eq \r(3)海里的速度前往拦截.
(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？
(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.
平面向量的应用二 随堂检测
1.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5eq \r(19) m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A.30 m B.eq \f(15\r(3),2) m C.15eq \r(3) m D.45 m
2.已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为( )
A.10 km B.eq \r(3) km C.10eq \r(5) km D.10eq \r(7) km
3.某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0＜β＜α＜eq \f(π,2)，则水塔CD高度为( )
A.eq \f(asinα－βsinβ,sinα) B.eq \f(asinαsinβ,sinα－β) C.eq \f(asinα－βsinα,sinβ) D.eq \f(asinα,sinα－βsinβ)
4.若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
A.eq \f(150,7) min B.eq \f(15,7) h C.21.5 min h
5.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km(精确到0.1 km).
6.学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
7.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10eq \r(3) m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ等于________.
8.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离.
9.一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？学 习 目 标
核 心 素 养
1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)
2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题.(重点)
1.通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养.
2.通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养.
测量距离问题
测量高度问题
角度问题