广西桂林市秀峰区奎光学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份广西桂林市秀峰区奎光学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算 a6⋅a2 的结果是（ ）
A．a8B．﹣a8C．a12D．a4
2．（3分）下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．x﹣1＝2xB．C．x+z＝3D．x﹣y+z＝1
3．（3分）下列方程的解为的是（ ）
A．3x﹣4y＝10B．x+2y＝3C．x+3y＝2D．2（x﹣y）＝6y
4．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a5﹣a3＝d2C．（﹣a3）2＝a5D．a•a3＝a4
5．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x⋅x﹣1B．x2+2y+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+y
6．（3分）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣9B．9x﹣9C．x2﹣6x+9D．x2+9
7．（3分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4a+b）（4a﹣2b）B．（a﹣2b）（2b﹣a）
C．（2a﹣b）（﹣2a+b）D．（a﹣b）（b+a）
8．（3分）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数（ ）
A．26B．62C．71D．53
9．（3分）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．2560B．490C．70D．49
10．（3分）已知方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值是（ ）
A．k＝﹣1B．k＝1C．k＝3D．k＝5
11．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
二、填空题（每小题2分，12分）
13．（2分）（2m2n）3＝ ．
14．（2分）在有理数范围内分解因式：2a2﹣4a＝ ．
15．（2分）已知2x﹣y＝4，用含x的代数式表示y为：y＝ ．
16．（2分）已知a﹣b＝﹣3，ab＝2，则a+b＝ ．
17．（2分）设A、B为自然数，且满足，A+B＝ ．
18．（2分）若x2+x﹣1＝0，则x4+2x3﹣3x2﹣4x+5＝ ．
三、解答题（72分）
19．（8分）计算：
（1）a2b﹣（﹣2ab2）2；
 （2）（3x﹣2y）（3x+2y）．
20．（8分）因式分解：
（1）a2﹣25；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
21．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
22．（6分）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2，其中x＝2，y＝﹣1．
23．（6分）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽
24．（10分）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
25．（12分）温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案
26．（12分）综合探究：
图1是一个长为a，宽为b的长方形．现有相同的长方形若干，进行如下操作：
（1）用四块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图2所示的正方形．请利用图2中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2，（a•b）2，ab之间的等量关系 ．
（2）将六块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图3所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则说明这个等式成立；
（3）现有图1的小长方形若干个，图4边长为a的正方形两个，边长为b的正方形两个（不重叠），使其面积为 2a+5ab+2b2 画出你所拼成的长方形，并写出长方形的长和宽分别为多少．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）计算 a6⋅a2 的结果是（ ）
A．a8B．﹣a8C．a12D．a4
【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则：am•an＝am+n（m，n是正整数）求解即可求得答案．
【解答】解：a6•a2＝a6．
故选：A．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2．（3分）下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．x﹣1＝2xB．C．x+z＝3D．x﹣y+z＝1
【分析】根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、x﹣1＝2x是一元一次方程；
B、x﹣，不是整式方程，不符合题意；
C、x+z＝3含有两个未知数，是二元一次方程；
D、x﹣y+z＝1含有三个未知数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．
3．（3分）下列方程的解为的是（ ）
A．3x﹣4y＝10B．x+2y＝3C．x+3y＝2D．2（x﹣y）＝6y
【分析】直接把x＝2，y＝﹣1代入各方程进行检验即可．
【解答】解：A、当x＝2，3x﹣7y＝6+4＝10；
B、当x＝6，x+4y＝1﹣2＝﹣4≠3；
C、当x＝2，x+7y＝2﹣3＝﹣8≠2；
D、当x＝2，3（x﹣y）＝2×3＝6≠﹣6＝6y．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
4．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a5﹣a3＝d2C．（﹣a3）2＝a5D．a•a3＝a4
【分析】根据同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算以及合并同类项法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a5，故不符合题意；
B、a5与a5不是同类项，故不能合并；
C、原式＝a6，故不符合题意；
D、原式＝a4，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算以及合并同类项法则，本题属于基础题型．
5．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x⋅x﹣1B．x2+2y+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+y
【分析】将一个多项式化为几个整式积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：A．等号右边不是积的形式，
则A不符合题意；
B．等号右边不是积的形式，
则B不符合题意；
C．它符合因式分解的定义，
则C符合题意；
D．它是整式乘法运算，
则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣9B．9x﹣9C．x2﹣6x+9D．x2+9
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【解答】解：A、x2﹣9＝（x+5）（x﹣3），可以因式分解；
B、9x﹣4＝9（x﹣1），不符合题意；
C、x5﹣6x+9＝（x﹣4）2，可以因式分解，不符合题意；
D、x2+4不可以因式分解，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
7．（3分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4a+b）（4a﹣2b）B．（a﹣2b）（2b﹣a）
C．（2a﹣b）（﹣2a+b）D．（a﹣b）（b+a）
【分析】根据完全平方公式和平方差公式判断即可．
【解答】解：（4a+b）（4a﹣4b）只能用多项式乘多项式计算，故A选项不符合题意；
（a﹣2b）（2b﹣a）＝﹣（a﹣3b）2用完全平方公式计算，故B选项不符合题意；
（2a﹣b）（﹣5a+b）＝﹣（2a﹣b）2用完全平方公式计算，故C选项不符合题意；
（a﹣b）（b+a）＝（a﹣b）（a+b）用平方差公式计算，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
8．（3分）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数（ ）
A．26B．62C．71D．53
【分析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y
，
解得：，
则这个两位数为6×10+2＝62．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
9．（3分）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．2560B．490C．70D．49
【分析】利用面积公式得到ab＝10，由周长公式得到a+b＝7，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可．
【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+8a2b2+ab5＝ab（a+b）2＝10×77＝490．
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解，正确分解因式，整体代入求值是解题的关键．
10．（3分）已知方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值是（ ）
A．k＝﹣1B．k＝1C．k＝3D．k＝5
【分析】对于方程组，利用①﹣②得到x﹣y＝1﹣k+2＝﹣k+3，而x﹣y＝2，则﹣k+3＝2，然后解关于k的一次方程即可．
【解答】解：，
①﹣②得x﹣y＝1﹣k+6＝﹣k+3，
∵x﹣y＝2，
∴﹣k+5＝2，
∴k＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．也考查了整体思想的运用．
11．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据制作两种纸盒共用60张正方形纸板和140张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共用了60张正方形纸板，
∴x+2y＝60；
∵共用了140张长方形纸板，
∴4x+7y＝140．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（3分）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】设正方形A、B的边长，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；
【解答】解：设A的边长为x，B的边长为y，
由甲、乙阴影面积分别是、，
将②化简得2xy＝③，
由①得，将③代入可知x8+y2＝3.5．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，表达出阴影面积再变形即可得到答案．
二、填空题（每小题2分，12分）
13．（2分）（2m2n）3＝ 8m6n3 ．
【分析】根据积的乘计算法则解答．
【解答】解：原式＝8m6n6．
故答案是：8m6n7．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
14．（2分）在有理数范围内分解因式：2a2﹣4a＝ 2a（a﹣2） ．
【分析】直接提公因式即可分解．
【解答】解：2a2﹣3a＝2a（a﹣2），
故答案为：2a（a﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了了提公因式法，注意分解要彻底．
15．（2分）已知2x﹣y＝4，用含x的代数式表示y为：y＝ 2x﹣4 ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x﹣y＝4，
解得：y＝5x﹣4，
故答案为：2x﹣7
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
16．（2分）已知a﹣b＝﹣3，ab＝2，则a+b＝ 17 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣3，ab＝2，
∴（a+b）7＝（a﹣b）2+4ab＝（﹣7）2+4×8＝9+8＝17．
a+b＝±
故答案为：．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，（a±b）2＝a2±2ab+b2．
17．（2分）设A、B为自然数，且满足，A+B＝ 3 ．
【分析】原方程可变形为3A+11B＝17，结合A，B均为自然数即可求出A，B的值，再将其代入A+B即可求出结论．
【解答】解：∵＝，
∴3A+11B＝17．
又∵A，B均为自然数，
∴，
∴A+B＝2+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据A，B之间的关系及A，B均为自然数，求出A，B的值是解题的关键．
18．（2分）若x2+x﹣1＝0，则x4+2x3﹣3x2﹣4x+5＝ 2 ．
【分析】由x2+x﹣1＝0，得出x2+x＝1，然后将代数式x4+2x3﹣3x2﹣4x+5变形为x2（x2+x）+x（x2+x）﹣4（x2+x）+5，再整体代入求得答案即可．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝2，
∴x2+x＝1，
∴x7+2x3﹣8x2﹣4x+2
＝x2（x2+x）+x（x2+x）﹣4（x2+x）+2
＝x2+x﹣4+6
＝1﹣4+6
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，把x2+x看作一个整体，将所求代数式变形为x2（x2+x）+x（x2+x）﹣4（x2+x）+5，是解决问题的关键．
三、解答题（72分）
19．（8分）计算：
（1）a2b﹣（﹣2ab2）2；
 （2）（3x﹣2y）（3x+2y）．
【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）a2b﹣（﹣2ab6）2
＝a2b﹣5a2b4；
 （2）（2x﹣2y）（3x+8y）
＝（3x）2﹣（5y）2
＝9x6﹣4y2．
【点评】本题考查了平方差公式和幂的乘方与积的乘方，能熟记平方差公式和积的乘方法则是解此题的关键．
20．（8分）因式分解：
（1）a2﹣25；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a+5）（a﹣5）；
（2）原式＝2y（x2﹣4x+7）
＝2y（x﹣2）6．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：7x﹣6x＝2，
解得：x＝2，
把x＝6代入①得：y＝6，
则方程组的解为；
（2），
①+②得：8x+7y＝7，即x+y＝4③，
③×5﹣①得：3x＝3，
解得：x＝3，
把x＝3代入③得：7+y＝1，
解得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（6分）先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】先用平方差公式和乘法分配律展开，再合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣y7﹣6x2+5xy+y2
＝﹣2x2+3xy，
当x＝2，y＝﹣3时，
原式＝﹣2×24+3×2×（﹣4）
＝﹣8﹣6
＝﹣14．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则将所求式子化简．
23．（6分）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽
【分析】首先设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，利用车间有工人90人，每人每天生产螺栓15个或螺母24个，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套
，
解得：，
答：40人生产螺栓，50人生产螺母刚好配套．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．
24．（10分）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
【分析】（1）由题意可知空白部分的面积＝长方形的面积﹣阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即（3a+b）（2a+b）；阴影部分是正方形，其面积是b2，所以空白部分的面积是（2a+b）（3a+b）﹣b2；
（2）将a，b的数值代入（1）题中的代数式求值即可．
【解答】解：（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
（2a+b）（3a+b）﹣b8
＝6a2+2ab+3ab+b2﹣b8
＝6a2+3ab，
答：广场上需要硬化部分的面积是（6a2+3ab）m2．
（2）把a＝30，b＝10代入，
6a8+5ab＝6×305+5×30×10＝6900 （m2）．
答：广场上需要硬化部分的面积是6900m3．
【点评】本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用．图中空白部分的面积不方便直接求出，可通过间接求面积法获得，这种方法在很多几何图形求面积的题目中应用广泛，需重点把握．
25．（12分）温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案
【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装80套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600元，列方程组即可求解；
（3）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
【解答】解：（1）买80套所花费为：80×60＝4800（元），
最多可以节省：5600﹣4800＝800（元）．
（2）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．
根据题意，得
解得
答：甲乐团有40人；乙乐团有35人．
（3）由题意，得3a+5b＝65
变形，得b＝13﹣a
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数
得：或．
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人，从乙乐团抽调3人．
【点评】此题考查二元一次方程组与二元一次方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（12分）综合探究：
图1是一个长为a，宽为b的长方形．现有相同的长方形若干，进行如下操作：
（1）用四块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图2所示的正方形．请利用图2中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2，（a•b）2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
（2）将六块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图3所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则说明这个等式成立；
（3）现有图1的小长方形若干个，图4边长为a的正方形两个，边长为b的正方形两个（不重叠），使其面积为 2a+5ab+2b2 画出你所拼成的长方形，并写出长方形的长和宽分别为多少．
【分析】（1）根据面积的两种不同的表示方法列出等式；
（2）根据面积的两种不同表示方法列出等式，再用整式的乘法进行证明；
（3）先分解因式，再拼图形．
【解答】解：（1）图2中的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：（a﹣b）8+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）7+4ab；
（2）（2a+b）（a+b）﹣3ab＝（a﹣b）（2a﹣b），
整个矩形面积为：（a+2b）（a+b），7个长方形面积为ab，
阴影部分矩形的面积为：（2a﹣b）（a﹣b），
∴（2a+b）（a+b）﹣2ab＝（a﹣b）（2a﹣b），
证明：左边＝2a4+2ab+ab+b2﹣4ab＝2a2﹣2ab+b2，
右边＝2a3﹣ab﹣2ab+b2＝7a2﹣3ab+b2，
∵左边＝右边，
∴（2a+b）（a+b）﹣6ab＝（a﹣b）（8a﹣b），
（3）如图：
∵2a2+4ab+2b2＝（8a+b）（a+2b），
该长方形的长为2a+b，宽为a+7b．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
80元
70元
60元
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